Χρυσή αναλογία- αυτή είναι μια τόσο αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στα οποία το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο, όπως το μεγαλύτερο είναι με το σύνολο.

α: β = β: γή γ: β = β: α.

Αυτή η αναλογία είναι:

Για παράδειγμα, σε ένα κανονικό πεντάκτινο αστέρι, κάθε τμήμα διαιρείται με ένα τμήμα που το τέμνει στη χρυσή τομή (δηλαδή, η αναλογία του μπλε τμήματος προς το πράσινο, το κόκκινο προς το μπλε, το πράσινο προς το βιολετί είναι ίση 1.618

Είναι γενικά αποδεκτό ότι η έννοια της χρυσής τομής εισήχθη στην επιστημονική χρήση από τον Πυθαγόρα. Υπάρχει η υπόθεση ότι ο Πυθαγόρας δανείστηκε τις γνώσεις του από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους. Πράγματι, οι αναλογίες της πυραμίδας του Χέοπα, των ναών, των ανάγλυφων, των οικιακών ειδών και των κοσμημάτων από τον τάφο του Τουταγχαμών δείχνουν ότι οι Αιγύπτιοι τεχνίτες χρησιμοποίησαν τις αναλογίες της χρυσής διαίρεσης κατά τη δημιουργία τους.

Το 1855, ο Γερμανός ερευνητής της χρυσής τομής, καθηγητής Zeising, δημοσίευσε το έργο "Αισθητική Έρευνα".
Ο Zeising μέτρησε περίπου δύο χιλιάδες ανθρώπινα σώματα και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η χρυσή τομή εκφράζει τον μέσο στατιστικό νόμο.

Χρυσές αναλογίες σε σημεία του ανθρώπινου σώματος

Η διαίρεση του σώματος με το σημείο του ομφαλού είναι ο πιο σημαντικός δείκτης της χρυσής τομής. Οι αναλογίες του ανδρικού σώματος κυμαίνονται εντός της μέσης αναλογίας 13: 8 = 1,625 και είναι κάπως πιο κοντά στη χρυσή τομή από τις αναλογίες του γυναικείου σώματος, σε σχέση με τις οποίες η μέση τιμή της αναλογίας εκφράζεται στην αναλογία 8: 5 = 1,6.

Σε ένα νεογέννητο η αναλογία είναι 1:1, στην ηλικία των 13 είναι 1,6 και στα 21 είναι ίση με αυτή ενός άνδρα.
Οι αναλογίες της χρυσής τομής εμφανίζονται επίσης σε σχέση με άλλα μέρη του σώματος - το μήκος του ώμου, του αντιβραχίου και του χεριού, του χεριού και των δακτύλων κ.λπ.
Ο Ζάιζινγκ δοκίμασε την εγκυρότητα της θεωρίας του στα ελληνικά αγάλματα. Ανέπτυξε τις αναλογίες του Apollo Belvedere με τις περισσότερες λεπτομέρειες. Μελετήθηκαν ελληνικά αγγεία, αρχιτεκτονικές κατασκευές διαφόρων εποχών, φυτά, ζώα, αυγά πτηνών, μουσικοί τόνοι και ποιητικοί μετρητές.

Ο Zeising έδωσε έναν ορισμό για τη χρυσή τομή και έδειξε πώς εκφράζεται σε ευθύγραμμα τμήματα και σε αριθμούς. Όταν λήφθηκαν οι αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των τμημάτων, ο Zeising είδε ότι ήταν Σειρά Fibonacci.

Μια σειρά αριθμών 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 κ.λπ. γνωστή ως σειρά Fibonacci. Η ιδιαιτερότητα της ακολουθίας των αριθμών είναι ότι κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το τρίτο, ίσο με το άθροισμα των δύο προηγούμενων 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, κ.λπ., και η αναλογία των διπλανών αριθμών στη σειρά πλησιάζει την αναλογία της χρυσής διαίρεσης.

Άρα, 21: 34 = 0,617 και 34: 55 = 0,618. (ή 1.618 , αν διαιρέσετε έναν μεγαλύτερο αριθμό με έναν μικρότερο).

Σειρά Fibonacciθα μπορούσε να παραμείνει μόνο ένα μαθηματικό περιστατικό, αν όχι για το γεγονός ότι όλοι οι ερευνητές της χρυσής διαίρεσης στον φυτικό και ζωικό κόσμο, για να μην αναφέρουμε την τέχνη, ήρθαν πάντα σε αυτή τη σειρά ως αριθμητική έκφραση του νόμου της χρυσής τομής.

Χρυσή αναλογία στην τέχνη

Πίσω στο 1925, ο κριτικός τέχνης L.L. Sabaneev, έχοντας αναλύσει 1.770 μουσικά έργα 42 συγγραφέων, έδειξε ότι η συντριπτική πλειονότητα των εξαιρετικών έργων μπορεί εύκολα να χωριστεί σε μέρη είτε με θέμα, είτε με τον τονισμό, είτε με τροπική δομή, τα οποία είναι σε σχέση χρυσή αναλογία μεταξύ τους.

Επιπλέον, όσο πιο ταλαντούχος είναι ο συνθέτης, τόσο περισσότερες χρυσές τομές βρίσκονται στα έργα του. Στο Arensky, τον Beethoven, τον Borodin, τον Haydn, τον Mozart, τον Scriabin, τον Chopin και τον Schubert, βρέθηκαν χρυσές τομές στο 90% όλων των έργων. Σύμφωνα με τον Sabaneev, η χρυσή τομή οδηγεί στην εντύπωση μιας ιδιαίτερης αρμονίας μιας μουσικής σύνθεσης.

Στον κινηματογράφο, ο Σ. Αϊζενστάιν κατασκεύασε τεχνητά την ταινία Θωρηκτό Ποτέμκιν σύμφωνα με τους κανόνες της «χρυσής αναλογίας». Έσπασε την ταινία σε πέντε μέρη. Στα τρία πρώτα η δράση διαδραματίζεται σε ένα πλοίο. Στα δύο τελευταία - στην Οδησσό, όπου εκτυλίσσεται η εξέγερση. Αυτή η μετάβαση στην πόλη συμβαίνει ακριβώς στο σημείο της χρυσής αναλογίας. Και κάθε μέρος έχει το δικό του κάταγμα, το οποίο συμβαίνει σύμφωνα με το νόμο της χρυσής αναλογίας.

Ένα από τα ωραιότερα έργα της αρχαίας ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι ο Παρθενώνας (5ος αιώνας π.Χ.).

Οι εικόνες δείχνουν έναν αριθμό μοτίβων που σχετίζονται με τη χρυσή τομή. Οι αναλογίες του κτιρίου μπορούν να εκφραστούν με διάφορες δυνάμεις του αριθμού Ф=0,618...

Στην κάτοψη του Παρθενώνα μπορείτε επίσης να δείτε τα «χρυσά ορθογώνια»:

Μπορούμε να δούμε τη χρυσή τομή στο κτήριο της Παναγίας των Παρισίων (Notre Dame de Paris) και στην Πυραμίδα του Χέοπα:

Όχι μόνο οι αιγυπτιακές πυραμίδες χτίστηκαν σύμφωνα με τις τέλειες αναλογίες της χρυσής τομής. το ίδιο φαινόμενο βρέθηκε και στις μεξικανικές πυραμίδες.

Η χρυσή αναλογία χρησιμοποιήθηκε από πολλούς αρχαίους γλύπτες. Η χρυσή αναλογία του αγάλματος του Απόλλωνα Μπελβεντέρε είναι γνωστή: το ύψος του εικονιζόμενου διαιρείται με την ομφαλική γραμμή στη χρυσή τομή.

Προχωρώντας σε παραδείγματα της «χρυσής τομής» στη ζωγραφική, δεν μπορούμε παρά να επικεντρωθούμε στο έργο του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ας δούμε προσεκτικά τον πίνακα «La Gioconda». Η σύνθεση του πορτρέτου βασίζεται σε «χρυσά τρίγωνα».

Χρυσή αναλογία σε γραμματοσειρές και είδη σπιτιού

Χρυσή αναλογία στη φύση

Βιολογικές μελέτες έχουν δείξει ότι, ξεκινώντας από τους ιούς και τα φυτά και τελειώνοντας με το ανθρώπινο σώμα, η χρυσή αναλογία αποκαλύπτεται παντού, χαρακτηρίζοντας την αναλογικότητα και την αρμονία της δομής τους. Η χρυσή τομή αναγνωρίζεται ως παγκόσμιος νόμος των ζωντανών συστημάτων.

Διαπιστώθηκε ότι η αριθμητική σειρά των αριθμών Fibonacci χαρακτηρίζει τη δομική οργάνωση πολλών ζωντανών συστημάτων. Για παράδειγμα, η ελικοειδής διάταξη φύλλων σε έναν κλάδο σχηματίζει ένα κλάσμα (αριθμός στροφών στο στέλεχος/αριθμός φύλλων σε έναν κύκλο, π.χ. 2/5, 3/8, 5/13), που αντιστοιχεί στη σειρά Fibonacci.

Η «χρυσή» αναλογία των λουλουδιών με πέντε πέταλα μήλου, αχλαδιού και πολλών άλλων φυτών είναι γνωστή. Οι φορείς του γενετικού κώδικα - μόρια DNA και RNA - έχουν δομή διπλής έλικας. οι διαστάσεις του αντιστοιχούν σχεδόν πλήρως στους αριθμούς της σειράς Fibonacci.

Ο Γκαίτε τόνισε την τάση της φύσης προς τη σπείρα.

Η αράχνη υφαίνει τον ιστό της σε σπειροειδή μοτίβο. Ένας τυφώνας περιστρέφεται σαν σπείρα. Ένα φοβισμένο κοπάδι ταράνδων σκορπίζεται σε μια σπείρα.

Ο Γκαίτε αποκάλεσε τη σπείρα «καμπύλη της ζωής». Η σπείρα φάνηκε στη διάταξη ηλιόσπορων, κουκουνάρια, ανανάδες, κάκτοι κ.λπ.

Λουλούδια και σπόροι ηλίανθων, χαμομηλιών, λέπια σε φρούτα ανανά, κώνοι κωνοφόρων είναι «συσκευασμένα» σε λογαριθμικές («χρυσές») σπείρες, κουλουριασμένες μεταξύ τους και οι αριθμοί των «δεξιών» και «αριστερών» σπειρών σχετίζονται πάντα με το καθένα. άλλα, όπως γειτονικοί αριθμοί Fibonacci.

Σκεφτείτε ένα βλαστό κιχωρίου. Ένας βλαστός έχει σχηματιστεί από το κύριο στέλεχος. Το πρώτο φύλλο βρισκόταν ακριβώς εκεί. Ο βλαστός κάνει μια ισχυρή εκτόξευση στο κενό, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά αυτή τη φορά είναι πιο κοντό από το πρώτο, πάλι εκτινάσσεται στο διάστημα, αλλά με λιγότερη δύναμη, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμη μικρότερου μεγέθους και εκτοξεύεται ξανά. .

Εάν η πρώτη εκπομπή λαμβάνεται ως 100 μονάδες, τότε η δεύτερη είναι ίση με 62 μονάδες, η τρίτη είναι 38, η τέταρτη είναι 24 κ.λπ. Το μήκος των πετάλων υπόκειται επίσης στη χρυσή αναλογία. Κατά την ανάπτυξη και την κατάκτηση του χώρου, το φυτό διατηρούσε ορισμένες αναλογίες. Οι παρορμήσεις της ανάπτυξής του μειώθηκαν σταδιακά ανάλογα με τη χρυσή τομή.

Σε πολλές πεταλούδες, η αναλογία των μεγεθών των θωρακικών και κοιλιακών τμημάτων του σώματος αντιστοιχεί στη χρυσή τομή. Διπλώνοντας τα φτερά του, ο σκόρος σχηματίζει ένα κανονικό ισόπλευρο τρίγωνο. Αλλά αν ανοίξετε τα φτερά σας, θα δείτε την ίδια αρχή της διαίρεσης του σώματος σε 2,3,5,8. Η λιβελλούλη δημιουργείται επίσης σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής αναλογίας: η αναλογία των μηκών της ουράς και του σώματος είναι ίση με την αναλογία του συνολικού μήκους προς το μήκος της ουράς.

Σε μια σαύρα, το μήκος της ουράς της σχετίζεται με το μήκος του υπόλοιπου σώματος από 62 έως 38. Μπορείτε να παρατηρήσετε τις χρυσές αναλογίες αν κοιτάξετε προσεκτικά το αυγό ενός πουλιού.

Η γεωμετρία έχει δύο θησαυρούς: ένας από αυτούς είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και ο άλλος είναι η διαίρεση ενός τμήματος στη μέση και την ακραία αναλογία. Το πρώτο μπορεί να συγκριθεί με ένα μέτρο χρυσού. το δεύτερο μοιάζει περισσότερο με πολύτιμο λίθο.

Ι. Κέπλερ

Γνωρίζατε ότι όταν πηγαίνουμε σχολείο ή δουλειά, ακούγοντας μουσική, κάνουμε δουλειές του σπιτιού, χαλαρώνουμε στη θάλασσα ή υπογράφουμε επαγγελματικές συμβάσεις, συναντάμε συνεχώς παραδείγματα της χρυσής τομής. Τα φυτά, τα ζώα, τα πιάτα και ακόμη και μερικά γράμματα είναι χτισμένα σύμφωνα με την αρχή της χρυσής αναλογίας. Η χρυσή τομή έχει βρεθεί ακόμη και στο μόριο του DNA.

Θα ήθελα να σας παρουσιάσω πιο κοντά σε αυτό το απίστευτο, κατά τη γνώμη μου, φαινόμενο και να σας πω συγκεκριμένα πού και πώς το συναντάμε και πώς το χρησιμοποιούμε.

Είναι γενικά αποδεκτό ότι η έννοια της χρυσής διαίρεσης εισήχθη στην επιστημονική χρήση από τον Πυθαγόρα, έναν αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο και μαθηματικό (VI αιώνα π.Χ.). Υπάρχει η υπόθεση ότι ο Πυθαγόρας δανείστηκε τις γνώσεις του για τη χρυσή διαίρεση από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους. Πράγματι, οι αναλογίες της πυραμίδας του Χέοπα, των ναών, των ανάγλυφων, των οικιακών ειδών και των κοσμημάτων από τον τάφο του Τουταγχαμών δείχνουν ότι οι Αιγύπτιοι τεχνίτες χρησιμοποίησαν τις αναλογίες της χρυσής διαίρεσης κατά τη δημιουργία τους. Ο Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier διαπίστωσε ότι στο ανάγλυφο από το ναό του Φαραώ Seti I στην Άβυδο και στο ανάγλυφο που απεικονίζει τον Φαραώ Ramses, οι αναλογίες των μορφών αντιστοιχούν στις τιμές της χρυσής διαίρεσης. Ο αρχιτέκτονας Khesira, που απεικονίζεται σε ανάγλυφο ξύλινης σανίδας από τάφο που φέρει το όνομά του, κρατά στα χέρια του όργανα μέτρησης στα οποία καταγράφονται οι αναλογίες της χρυσής διαίρεσης. Οι Έλληνες ήταν επιδέξιοι γεωμέτρους. Δίδαξαν ακόμη και αριθμητική στα παιδιά τους χρησιμοποιώντας γεωμετρικά σχήματα. Το Πυθαγόρειο τετράγωνο και η διαγώνιος αυτού του τετραγώνου αποτέλεσαν τη βάση για την κατασκευή δυναμικών ορθογωνίων.

Τι είναι η χρυσή τομή, εφαρμογή της χρυσής τομής στα μαθηματικά.

Η χρυσή τομή είναι μια τέτοια αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στα οποία ολόκληρο το τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος όπως το ίδιο το μεγαλύτερο τμήμα σχετίζεται με το μικρότερο. ή με άλλα λόγια, το μικρότερο τμήμα είναι στο μεγαλύτερο όπως το μεγαλύτερο είναι στο σύνολο a: b = b: c ή c: b = b: a.

Μπορείτε να δημιουργήσετε μια τέτοια αναλογία ως εξής:

Από το σημείο Β επαναφέρουμε μια κάθετη ίση με το μισό ΑΒ. Το σημείο Γ που προκύπτει συνδέεται με μια γραμμή στο σημείο Α. Στη γραμμή που προκύπτει αφήνουμε ένα τμήμα BC που τελειώνει στο σημείο D. Το τμήμα AD μεταφέρεται στην ευθεία ΑΒ. Το σημείο Ε που προκύπτει διαιρεί το τμήμα ΑΒ στη χρυσή αναλογία.

Οι ιδιότητες της χρυσής αναλογίας περιγράφονται από την εξίσωση: x*x – x – 1 = 0.

Λύση αυτής της εξίσωσης:

Στη φύση, ανακαλύφθηκε επίσης μια δεύτερη χρυσή τομή, η οποία προκύπτει από την κύρια τομή και δίνει μια άλλη αναλογία 44:56. Αυτή η αναλογία έχει ανακαλυφθεί στην αρχιτεκτονική και εμφανίζεται επίσης κατά την κατασκευή συνθέσεων εικόνων με επιμήκη οριζόντια μορφή.

Διαιρούμε αυτό το τμήμα ΑΒ στην αναλογία της χρυσής τομής. Από το σημείο Γ επαναφέρουμε το κάθετο CD. Χρησιμοποιώντας την ακτίνα ΑΒ βρίσκουμε το σημείο D, μετά το συνδέουμε με μια ευθεία στο σημείο Α. Διαιρούμε τη σωστή γωνία ACD στη μέση. Από το σημείο Γ τραβάμε μια ευθεία στην τομή με την ΑΔ. Ας ονομάσουμε το σημείο που προκύπτει γράμμα Ε, το οποίο διαιρεί το τμήμα AD σε αναλογία 44:56.

Το σχήμα δείχνει τη θέση της γραμμής της δεύτερης χρυσής αναλογίας. Βρίσκεται στο μέσον της γραμμής της χρυσής αναλογίας και της μεσαίας γραμμής του ορθογωνίου.

Εάν το τετράγωνο AEFD απομονωθεί από το χρυσό ορθογώνιο ABCD, τότε το υπόλοιπο τμήμα EBCF αποδεικνύεται ότι είναι ένα νέο χρυσό ορθογώνιο, το οποίο μπορεί και πάλι να χωριστεί στο τετράγωνο GHCF και στο μικρότερο χρυσό ορθογώνιο EBHG. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία πολλές φορές, θα λάβουμε μια άπειρη ακολουθία τετραγώνων και χρυσών ορθογωνίων, τα οποία τελικά συγκλίνουν στο σημείο Ο. Σημειώστε ότι μια τέτοια ατελείωτη επανάληψη των ίδιων γεωμετρικών σχημάτων, δηλαδή ενός τετραγώνου και ενός χρυσού παραλληλογράμμου, μας δίνει μια ασυνείδητη αισθητική αίσθηση ρυθμού και αρμονίας. Πιστεύεται ότι αυτή ακριβώς η περίσταση είναι ο λόγος που πολλά ορθογώνια αντικείμενα με τα οποία ασχολείται ένα άτομο (σπιρτόκουτα, αναπτήρες, βιβλία, βαλίτσες) έχουν συχνά το σχήμα ενός χρυσού ορθογωνίου. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε εκτενώς πιστωτικές κάρτες στο δικό μας Καθημερινή ζωή, αλλά δεν δίνουμε σημασία στο γεγονός ότι σε πολλές περιπτώσεις οι πιστωτικές κάρτες έχουν το σχήμα ενός χρυσού ορθογωνίου.

Χρυσό ορθογώνιο και πιστωτική κάρτα

Πεντάγραμμο και Πεντάγωνο

Αν σχεδιάσουμε όλες τις διαγώνιους στο πεντάγραμμο, το αποτέλεσμα θα είναι το γνωστό πεντάγωνο αστέρι. Έχει αποδειχθεί ότι τα σημεία τομής των διαγωνίων σε ένα πεντάγραμμο είναι πάντα σημεία της χρυσής τομής των διαγωνίων. Σε αυτή την περίπτωση, αυτά τα σημεία σχηματίζουν ένα νέο πεντάγραμμο FGHKL. Σε ένα νέο πεντάγραμμο, μπορούν να σχεδιαστούν διαγώνιες, η τομή των οποίων σχηματίζει ένα άλλο πεντάγραμμο, και αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Έτσι, το πεντάγραμμο ABCDE φαίνεται να αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό πενταγράμμων, τα οποία κάθε φορά σχηματίζονται από τα σημεία τομής των διαγωνίων. Αυτή η ατελείωτη επανάληψη της ίδιας γεωμετρικής φιγούρας δημιουργεί μια αίσθηση ρυθμού και αρμονίας που καταγράφεται ασυνείδητα από το μυαλό μας. Το πεντάγραμμο θαυμαζόταν ιδιαίτερα από τους Πυθαγόρειους και θεωρούνταν το κύριο σημείο αναγνώρισής τους. Το κτίριο του αμερικανικού στρατιωτικού τμήματος έχει σχήμα πενταγράμμου και ονομάζεται «Πεντάγωνο», που σημαίνει κανονικό πεντάγωνο.

Λοιπόν, σας είπα ποια είναι η χρυσή τομή και τώρα, καθώς η έκθεσή μου είναι αφιερωμένη στην εφαρμογή της χρυσής τομής, θα μιλήσω τώρα γι' αυτήν.

Το πρόβλημα του κουνελιού. Αριθμοί Fibonacci.

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΚΟΥΝΕΛΙΟΥ

Κάποιος τοποθέτησε ένα ζευγάρι κουνέλια σε ένα συγκεκριμένο μέρος, περιφραγμένο από όλες τις πλευρές από έναν τοίχο, για να μάθει πόσα ζευγάρια κουνελιών θα γεννιούνταν κατά τη διάρκεια του έτους, εάν η φύση των κουνελιών είναι τέτοια που μετά από ένα μήνα ένα ζευγάρι κουνελιών δίνει γέννηση ενός άλλου ζεύγους, και τα κουνέλια γεννούν από τον δεύτερο μήνα μετά τη γέννησή του.

Είναι σαφές ότι αν θεωρήσουμε ότι το πρώτο ζευγάρι κουνελιών είναι νεογέννητα, τότε τον δεύτερο μήνα θα έχουμε ακόμα ένα ζευγάρι. για τον 3ο μήνα - 1+1=2; τον 4ο μήνα - 2 + 1 = 3 ζεύγη (λόγω των δύο υπαρχόντων ζευγών, μόνο ένα ζευγάρι παράγει απογόνους). τον 5ο μήνα - 3+2=5 ζευγάρια (μόνο 2 ζευγάρια που γεννήθηκαν τον 3ο μήνα θα γεννήσουν απογόνους τον 5ο μήνα). τον 6ο μήνα - 5 + 3 = 8 ζευγάρια (γιατί μόνο τα ζευγάρια που γεννήθηκαν τον 4ο μήνα θα βγάλουν απογόνους) κ.λπ.

Από αυτό το πρόβλημα ακολούθησε η ανακάλυψη μιας ορισμένης σειράς ακολουθιών φυσικών αριθμών, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων μελών: Uk = 1,1,2,3,5,8 ,13,21,34,55,89,144,233,377,. Αυτή η ακολουθία ονομάζεται Ακολουθία Fibonacci και τα μέλη της ονομάζονται αριθμοί Fibonacci. Η αναλογία του επόμενου μέλους της σειράς προς το προηγούμενο τείνει στη χρυσή τομή

Στην άλγεβρα, συνήθως δηλώνεται με το ελληνικό γράμμα φι.

Η χρυσή τομή δεν έχει παρακάμψει ούτε τους ανθρώπους.

Η χρυσή τομή είναι η βάση για την κατασκευή αρμονικών μορφών, καθώς είναι ο απόλυτος νόμος του σχηματισμού σχήματος στη φύση, μέρος του οποίου είμαστε κι εμείς. Οι νόμοι της αρμονίας είναι αριθμητικοί νόμοι.

Όταν μοντελοποιούμε ένα συνηθισμένο άτομο, πιθανότατα δεν παίρνουμε χάρακα και αριθμομηχανή για να υπολογίσουμε τις χρυσές αναλογίες. Απλώς αισθανόμαστε διαισθητικά αυτές τις μορφές, επειδή οι μορφές ενός ανθρώπου έρχονται στα μάτια μας πιο συχνά από οτιδήποτε άλλο, αλλά όταν δημιουργούμε ένα μοντέλο ενός ασυνήθιστου πλάσματος, φυτού, δομής, θα πρέπει να χρησιμοποιούμε γνώση της γεωμετρίας και της χρυσής τομής έτσι ώστε το αποτέλεσμα της δουλειάς μπορεί να φανεί χωρίς αηδία, αν και αν είναι το αίσθημα αηδίας που αναζητάς, τότε ξέρεις τι πρέπει να κάνεις.

Σε κάθε περίπτωση, η γνώση των νόμων της φύσης (αριθμητικοί νόμοι) μας βοηθά να πετύχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα όσο το δυνατόν γρηγορότερα.

Ο Γερμανός καθηγητής Zeising έκανε σπουδαία δουλειά στα μέσα του 18ου αιώνα: μέτρησε περισσότερα από 2000 σώματα και πρότεινε ότι η χρυσή τομή εκφράζει τον μέσο στατιστικό νόμο: η διαίρεση ενός σώματος με το σημείο του ομφαλού είναι ένας από τους κύριους δείκτες της χρυσής τομής . Οι αναλογίες του ανδρικού σώματος κυμαίνονται εντός της μέσης αναλογίας 13: 8 = 1,625 και είναι κάπως πιο κοντά στη χρυσή τομή από τις αναλογίες του γυναικείου σώματος, σε σχέση με τις οποίες η μέση τιμή της αναλογίας εκφράζεται στην αναλογία 8: 5 = 1,6. Σε ένα νεογέννητο η αναλογία είναι 1:1, στην ηλικία των 13 είναι 1,6 και στα 21 είναι ίση με αυτή ενός άνδρα. Οι αναλογίες της χρυσής τομής εμφανίζονται επίσης σε σχέση με άλλα μέρη του σώματος - το μήκος του ώμου, του αντιβραχίου και του χεριού, του χεριού και των δακτύλων κ.λπ.

στα μικρά παιδιά (περίπου ενός έτους) η αναλογία είναι 1:1.

Πρόσφατα, ο σύγχρονος μας, Αμερικανός χειρουργός Stephen Marquart, δημιούργησε, χρησιμοποιώντας την αρχή της «χρυσής τομής», μια γεωμετρική μάσκα που μπορεί να χρησιμεύσει ως πρότυπο για ένα όμορφο πρόσωπο. Για να μάθετε αν ένα πρόσωπο ταιριάζει με το ιδανικό, απλώς αντιγράψτε τη μάσκα σε διαφανές φιλμ και επικαλύψτε την σε μια φωτογραφία του κατάλληλου μεγέθους.

Έτσι, διαιρώντας το τμήμα μεταξύ της κορώνας και του μήλου του Αδάμ σε σχέση με τη "χρυσή τομή", παίρνουμε ένα σημείο που βρίσκεται στη γραμμή των φρυδιών (Β). Με περαιτέρω χρυσαφί διαίρεση των τμημάτων που προκύπτουν, λαμβάνουμε διαδοχικά την άκρη της μύτης (C), το άκρο του πηγουνιού (D).

Χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο αυτί.

Στο ανθρώπινο εσωτερικό αυτί υπάρχει ένα όργανο που ονομάζεται Κοχλίας («Σαλιγκάρι»), το οποίο εκτελεί τη λειτουργία της μετάδοσης ηχητικών κραδασμών. Αυτή η οστική δομή είναι γεμάτη με υγρό και έχει επίσης σχήμα σαν σαλιγκάρι, με σταθερό λογαριθμικό σπειροειδές σχήμα = 73º 43'.

Δεδομένου ότι η χρυσή τομή έχει αγγίξει ένα άτομο, θα πω ότι υπάρχει ακόμη και στη δομή του μορίου του DNA.

Όλες οι πληροφορίες σχετικά με τα φυσιολογικά χαρακτηριστικά των ζωντανών όντων αποθηκεύονται σε ένα μικροσκοπικό μόριο DNA, η δομή του οποίου περιέχει επίσης το νόμο της χρυσής αναλογίας. Το μόριο DNA αποτελείται από δύο κάθετα συνυφασμένες έλικες. Το μήκος καθεμιάς από αυτές τις σπείρες είναι 34 angstroms και το πλάτος είναι 21 angstroms. (1 angstrom είναι εκατο εκατομμυριοστό του εκατοστού). Άρα, το 21 και το 34 είναι αριθμοί που ακολουθούν ο ένας τον άλλον στην ακολουθία των αριθμών Fibonacci, δηλαδή ο λόγος του μήκους και του πλάτους της λογαριθμικής σπείρας του μορίου DNA φέρει τον τύπο της χρυσής αναλογίας 1:1,618.

Καθένας από εμάς, τουλάχιστον μία φορά στη ζωή του, έχει βρεθεί στη θάλασσα και κρατάει στα χέρια του ένα σπειροειδές κοχύλι. Λοιπόν, εδώ είναι: ένα τέτοιο κέλυφος είναι στριμμένο σε μια σπείρα. Αν το ξεδιπλώσετε, θα έχετε ένα μήκος ελαφρώς μικρότερο από το μήκος του φιδιού. Ένα μικρό κέλυφος δέκα εκατοστών έχει μια σπείρα μήκους 35 cm Οι σπείρες είναι πολύ συνηθισμένες στη φύση. Η ιδέα της χρυσής τομής θα είναι ελλιπής χωρίς να μιλάμε για τη σπείρα.

Σπείρα Αρχιμήδη

Το σχήμα του σπειροειδώς κατσαρωμένου κελύφους τράβηξε την προσοχή του Αρχιμήδη. Το μελέτησε και κατέληξε σε μια εξίσωση για τη σπείρα. Η σπείρα που σχεδιάζεται σύμφωνα με αυτή την εξίσωση ονομάζεται με το όνομά του. Η αύξηση στο βήμα της είναι πάντα ομοιόμορφη. Επί του παρόντος, η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία.

Χρυσή τομή στη ζωγραφική και τη φωτογραφία.

Στη φωτογραφία

Όταν θέλουμε να τραβήξουμε μια όμορφη φωτογραφία, παρατηρούμε συχνά ότι δεν ξέρουμε πώς να τακτοποιήσουμε διανοητικά τα αντικείμενα έτσι ώστε αργότερα να βλέπουν τα καλύτερα τους στην τελική φωτογραφία. Ο κανόνας της χρυσής αναλογίας μπορεί να μας βοηθήσει σε αυτό. Χρησιμοποιώντας οριζόντιες και κάθετες γραμμές, χωρίζουμε νοερά το σκόπευτρο σε εννέα πανομοιότυπους τομείς. Τα τέσσερα κεντρικά σημεία τομής οριζόντιων και κάθετων γραμμών θα είναι βασικά για εμάς.

Πρακτική χρήση του κανόνα Golden Ratio κατά τη σύνθεση ενός καρέ.

Παρακάτω υπάρχουν διάφορες επιλογές για πλέγματα που δημιουργήθηκαν με βάση τον κανόνα "τμήμα Ζλότι", για διάφορες επιλογές σύνθεσης. Για να κατανοήσετε τις αρχές, πρέπει να πειραματιστείτε μόνοι σας, να προσπαθήσετε να συνδυάσετε τα πλέγματα με τις φωτογραφίες σας. Τα βασικά πλέγματα μοιάζουν με αυτό:

Εδώ είναι μια φωτογραφία μιας γάτας, η οποία βρίσκεται σε τυχαία θέση στο πλαίσιο.

Τώρα ας χωρίσουμε υπό όρους το πλαίσιο σε τμήματα, σε αναλογία 1,62 συνολικών μηκών από κάθε πλευρά του πλαισίου. Στη διασταύρωση των τμημάτων θα υπάρχουν τα κύρια "οπτικά κέντρα" στα οποία αξίζει να τοποθετήσετε τα απαραίτητα βασικά στοιχεία της εικόνας.

Ας μετακινήσουμε τη γάτα μας στα σημεία των «οπτικών κέντρων».

Αυτή είναι η σύνθεση τώρα. Δεν είναι πολύ καλύτερα;

Για να κατανοήσετε την ουσία της χρυσής τομής, δοκιμάστε να τραβήξετε μόνοι σας μερικές φωτογραφίες ενός ατόμου που κάθεται σε έναν πάγκο κήπου. Βεβαιωθείτε ότι η πιο αρμονική φωτογραφία θα είναι αυτή στην οποία το άτομο δεν κάθεται στο κέντρο ή στην άκρη, αλλά σε σημείο που αντιστοιχεί στη χρυσή τομή (διαιρώντας τον πάγκο σε αναλογία περίπου 2:3).

Στη ζωγραφική

Οι δάσκαλοι της Αρχαίας Ελλάδας, που ήξεραν πώς να χρησιμοποιούν συνειδητά τη χρυσή αναλογία, η οποία στην ουσία είναι πολύ απλή, εφάρμοσαν επιδέξια τις αρμονικές της αξίες σε όλα τα είδη τέχνης και πέτυχαν τέτοια τελειότητα στη δομή των μορφών που εκφράζουν τα κοινωνικά τους ιδανικά. , που σπάνια συναντάται στην άσκηση της παγκόσμιας τέχνης. Ολόκληρος ο αρχαίος πολιτισμός πέρασε κάτω από το σημάδι της χρυσής αναλογίας. Γνώριζαν αυτή την αναλογία στην Αρχαία Αίγυπτο. Θα το δείξω χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ζωγράφων όπως: Ραφαήλ, Λεονάρντο ντα Βίντσι, Μποτιτσέλι, Σίσκιν.

Στο προπαρασκευαστικό σκίτσο του Ραφαήλ, σχεδιάζονται κόκκινες γραμμές που τρέχουν από το σημασιολογικό κέντρο της σύνθεσης - το σημείο όπου τα δάχτυλα του πολεμιστή έκλεισαν γύρω από τον αστράγαλο του παιδιού - κατά μήκος των φιγούρων του παιδιού, της γυναίκας που το κρατάει κοντά, του πολεμιστή με το σπαθί του υψωμένο, και στη συνέχεια κατά μήκος των μορφών της ίδιας ομάδας στη δεξιά πλευρά σκίτσο. Εάν συνδέσετε φυσικά αυτά τα κομμάτια με μια καμπύλη διακεκομμένη γραμμή, τότε έχετε πολύ ακριβή αποτελέσματα. χρυσή σπείρα! Αυτό μπορεί να ελεγχθεί μετρώντας την αναλογία των μηκών των τμημάτων που κόβονται από μια σπείρα σε ευθείες γραμμές που διέρχονται από την αρχή της καμπύλης. «Σφαγή των Αθώων» Ραφαήλ

Στην περίφημη τοιχογραφία «Η Σχολή των Αθηνών», όπου στον ναό της επιστήμης υπάρχει μια κοινωνία μεγάλων φιλοσόφων της αρχαιότητας, τραβάει την προσοχή μας η ομάδα του Ευκλείδη, του μεγαλύτερου αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, που αναλύει ένα περίπλοκο σχέδιο. Ο έξυπνος συνδυασμός δύο τριγώνων κατασκευάζεται επίσης σύμφωνα με την αναλογία της χρυσής τομής: μπορεί να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο με λόγο διαστάσεων 5/8. Αυτό το σχέδιο είναι εκπληκτικά εύκολο να εισαχθεί στο επάνω τμήμα της αρχιτεκτονικής. Η επάνω γωνία του τριγώνου στηρίζεται στον θεμέλιο λίθο της αψίδας στην περιοχή που βρίσκεται πιο κοντά στον θεατή, η κάτω γωνία αγγίζει το σημείο φυγής των προοπτικών και το πλευρικό τμήμα υποδεικνύει τις αναλογίες του χωρικού χάσματος μεταξύ των δύο τμημάτων των τόξων .

Λεονάρντο Ντα Βίντσι

Το πορτρέτο της Μόνα Λίζα (La Gioconda) του Λεονάρντο ντα Βίντσι είναι ελκυστικό γιατί η σύνθεση της εικόνας είναι χτισμένη σε «χρυσά τρίγωνα», πιο συγκεκριμένα σε τρίγωνα που είναι κομμάτια ενός κανονικού πενταγώνου σε σχήμα αστεριού.

Ο «Μυστικός Δείπνος» είναι το πιο ώριμο και ολοκληρωμένο έργο του Λεονάρντο. Σε αυτόν τον πίνακα, ο πλοίαρχος αποφεύγει κάθε τι που θα μπορούσε να συσκοτίσει την κύρια πορεία της δράσης που απεικονίζει, επιτυγχάνει μια σπάνια πειστικότητα της συνθετικής λύσης. Στο κέντρο τοποθετεί τη μορφή του Χριστού, τονίζοντας την με το άνοιγμα της πόρτας. Απομακρύνει σκόπιμα τους αποστόλους από τον Χριστό για να τονίσει περισσότερο τη θέση του στη σύνθεση. Τέλος, για τον ίδιο σκοπό, αναγκάζει όλες τις προοπτικές γραμμές να συγκλίνουν σε ένα σημείο ακριβώς πάνω από το κεφάλι του Χριστού. Ο Λεονάρντο χωρίζει τους μαθητές του σε τέσσερις συμμετρικές ομάδες, γεμάτες ζωή και κίνηση. Κάνει το τραπέζι μικρό, και την τραπεζαρία - αυστηρή και απλή. Αυτό του δίνει την ευκαιρία να εστιάσει την προσοχή του θεατή σε φιγούρες με τεράστια πλαστική δύναμη. Όλες αυτές οι τεχνικές αντικατοπτρίζουν τη βαθιά σκοπιμότητα του δημιουργικού σχεδίου, στο οποίο όλα ζυγίζονται και λαμβάνονται υπόψη. "

Μποτιτσέλι - "Γέννηση της Αφροδίτης"

Ο πίνακας δεν απεικονίζει τη γέννηση της ίδιας της θεάς, αλλά τη στιγμή που ακολούθησε, όταν αυτή, ορμώμενη από την πνοή των μεγαλοφυιών του αέρα, φτάνει στην ακτή, όπου την συναντά μια από τις χάρες. Σύμφωνα με τον αρχαίο Έλληνα ποιητή Ησίοδο (Θεογονία, 188-200), η Αφροδίτη γεννήθηκε από τη θάλασσα - από τον αφρό που παράγεται από τα γεννητικά όργανα του ευνουχισμένου Ουρανού (ΚΡΟΝΟ), που πέταξε στο νερό ο Κρόνος. Επιπλέει στην ακτή σε ένα ανοιχτό κέλυφος, οδηγούμενη από ένα απαλό αεράκι, και τελικά προσγειώνεται στην Πάφο (Κύπρος) - ένα από τα κύρια μέρη λατρείας και λατρείας στην αρχαιότητα. Το ελληνικό της όνομα Αφροδίτη μπορεί να προέρχεται από το aphros, που σημαίνει «αφρός».

Κοντά στο νησί των Κυθήρων, γεννήθηκε η Αφροδίτη, κόρη του Ουρανού, από τον κατάλευκο αφρό των θαλάσσιων κυμάτων. Ένα ελαφρύ, χαϊδευτικό αεράκι την έφερε στο νησί της Κύπρου. Εκεί η νεαρή Όρας περικύκλωσε τη θεά του έρωτα που αναδύθηκε από τα κύματα της θάλασσας. Την έντυσαν με χρυσά υφαντά ρούχα και τη στεφάνωσαν με ένα στεφάνι από μυρωδάτα λουλούδια. Όπου πατούσε η Αφροδίτη, τα λουλούδια φύτρωναν υπέροχα. Όλος ο αέρας ήταν γεμάτος ευωδιές. Ο Έρως και ο Χίμεροτ οδήγησαν τη θαυμάσια θεά στον Όλυμπο. Οι θεοί τη χαιρέτησαν δυνατά. Από τότε η χρυσή Αφροδίτη, για πάντα νέα, η ωραιότερη των θεών, ζούσε πάντα ανάμεσα στους θεούς του Ολύμπου.

Σε αυτόν τον διάσημο πίνακα του I. I. Shishkin, τα μοτίβα της χρυσής τομής είναι ευδιάκριτα. Ένα ηλιόλουστο πεύκο (που στέκεται στο προσκήνιο) διαιρεί το μήκος της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα δεξιά του πεύκου υπάρχει ένας ηλιόλουστος λόφος. Χωρίζει τη δεξιά πλευρά της εικόνας οριζόντια σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα αριστερά του κύριου πεύκου υπάρχουν πολλά πεύκα - αν θέλετε, μπορείτε να συνεχίσετε με επιτυχία τη διαίρεση της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή τομή περαιτέρω.

Η παρουσία στην εικόνα φωτεινών κάθετων και οριζόντιων, χωρίζοντάς την σε σχέση με τη χρυσή τομή, της προσδίδει έναν χαρακτήρα ισορροπίας και ηρεμίας, σύμφωνα με την πρόθεση του καλλιτέχνη. Όταν η πρόθεση του καλλιτέχνη είναι διαφορετική, αν, ας πούμε, δημιουργήσει μια εικόνα με ταχέως αναπτυσσόμενη δράση, ένα τέτοιο σχήμα γεωμετρικής σύνθεσης (με επικράτηση κάθετων και οριζόντιων) γίνεται απαράδεκτο.

Χρυσή αναλογία στην αρχιτεκτονική

Αρχιτεκτονική είναι η ικανότητα της συνείδησής μας να εδραιώνει την αίσθηση μιας εποχής σε υλικές μορφές. Λε Κορμπιζιέ

Ένα από τα ωραιότερα έργα της αρχαίας ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι ο Παρθενώνας (5ος αιώνας π.Χ.).

Το σχήμα δείχνει έναν αριθμό μοτίβων που σχετίζονται με τη χρυσή τομή.

Στην κάτοψη του Παρθενώνα μπορείτε επίσης να δείτε τα «χρυσά ορθογώνια»:

Στις αναλογίες του κτιρίου του καθεδρικού ναού της Notre Dame στο Παρίσι βλέπουμε και τη χρυσή αναλογία.

Ο M. Kazakov χρησιμοποίησε τη «χρυσή τομή» αρκετά ευρέως στο έργο του.

Το ταλέντο του ήταν πολύπλευρο, αλλά αποκαλύφθηκε σε μεγαλύτερο βαθμό στα πολυάριθμα ολοκληρωμένα έργα οικιστικών κτιρίων και κτημάτων. Για παράδειγμα, η «χρυσή τομή» μπορεί να βρεθεί στην αρχιτεκτονική του κτιρίου της Γερουσίας στο Κρεμλίνο.

Πολλοί αρχαίοι γλύπτες χρησιμοποιούσαν τον κανόνα της χρυσής αναλογίας κατά την κατασκευή των έργων τους.

Σκεφτείτε το χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του αγάλματος του Απόλλωνα Μπελβεντέρε: η ομφαλική γραμμή διαιρεί το ύψος του ατόμου που απεικονίζεται σε σχέση με τη χρυσή τομή.

Και μερικά ακόμη παραδείγματα για να αποδείξουμε ότι παρατηρούμε τη χρυσή τομή στη γλυπτική.

Ο Δωρύφορος του Πολύκλειτου και η αρμονική του ανάλυση

Η Αφροδίτη της Μήλου και η αρμονική της ανάλυση

Ο Δαβίδ του Μιχαήλ Άγγελου

6. Χρυσή αναλογία στη ζωντανή φύση

Τα πάντα στον κόσμο συνδέονται με μια μόνο αρχή:

Στην κίνηση των κυμάτων - ένα σονέτο του Σαίξπηρ,

Στη συμμετρία ενός λουλουδιού βρίσκονται τα θεμέλια του σύμπαντος,

Και στο τραγούδι των πουλιών υπάρχει μια συμφωνία πλανητών.

Η ζωντανή φύση στην ανάπτυξή της προσπάθησε για την πιο αρμονική οργάνωση, το κριτήριο της οποίας είναι η χρυσή αναλογία, που εκδηλώνεται σε διάφορα επίπεδα - από ατομικούς συνδυασμούς έως τη δομή των σωμάτων ανώτερων ζώων.

Λουλούδια και σπόροι ηλίανθων, χαμομηλιών, λέπια σε καρπούς ανανά, κώνοι κωνοφόρων «συσκευάζονται» σε λογαριθμικές σπείρες, κουλουριασμένες ο ένας προς τον άλλο. Επιπλέον, οι αριθμοί των «δεξιών» και «αριστερών» σπειρών σχετίζονται πάντα μεταξύ τους, όπως οι γειτονικοί αριθμοί Fibonacci.

Στους τύπους για τη διάταξη των φύλλων (φυλλοταξία) πολλών φυτών υπάρχουν αριθμοί Fibonacci διατεταγμένοι αυστηρά τακτικά - μέσω ενός, για παράδειγμα, φουντουκιά -1/3, δρυς, κερασιά - 2/5, ιπποφαές -5/13

Σκεφτείτε ένα βλαστό κιχωρίου. Ένας βλαστός έχει σχηματιστεί από το κύριο στέλεχος. Το πρώτο φύλλο βρισκόταν ακριβώς εκεί. Ο βλαστός κάνει μια ισχυρή εκτόξευση στο κενό, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά αυτή τη φορά είναι πιο κοντό από το πρώτο, πάλι εκτινάσσεται στο διάστημα, αλλά με λιγότερη δύναμη, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμη μικρότερου μεγέθους και εκτοξεύεται ξανά. .

Εάν η πρώτη εκπομπή λαμβάνεται ως 100 μονάδες, τότε η δεύτερη είναι ίση με 62 μονάδες, η τρίτη – 38, η τέταρτη – 24, κ.λπ. Το μήκος των πετάλων υπόκειται επίσης στη χρυσή αναλογία. Κατά την ανάπτυξη και την κατάκτηση του χώρου, το φυτό διατηρούσε ορισμένες αναλογίες. Οι παρορμήσεις της ανάπτυξής του μειώθηκαν σταδιακά ανάλογα με τη χρυσή τομή.

Πολλές πεταλούδες και άλλα έντομα δεν έχουν αποφύγει τις συγκρούσεις με αυτό το αξιοσημείωτο, κατά τη γνώμη μου, φαινόμενο της χρυσής τομής. Η αναλογία των μεγεθών των θωρακικών και κοιλιακών τμημάτων του σώματος αντιστοιχεί στη χρυσή αναλογία. Διπλώνοντας τα φτερά του, ο σκόρος σχηματίζει ένα κανονικό ισόπλευρο τρίγωνο. Μόλις όμως ανοίξει τα φτερά της, θα δείτε την ίδια αρχή της διαίρεσης του σώματος με το 2,3,5,8. Η λιβελλούλη δημιουργείται επίσης σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής αναλογίας: η αναλογία των μηκών της ουράς και του σώματος είναι ίση με την αναλογία του συνολικού μήκους προς το μήκος της ουράς.

Οι νιφάδες χιονιού είναι κρύσταλλοι νερού που είναι ορατοί με γυμνό μάτι. Είναι απίστευτα όμορφα και διαφορετικά σε σχήμα, αλλά όλα τα συστατικά τους είναι γεωμετρικά σχήματα και χωρίς εξαίρεση, είναι κατασκευασμένα σύμφωνα με την αρχή της χρυσής αναλογίας.

Η χρυσή τομή έχει επηρεάσει ακόμη και την ποίηση και τη μουσική.

Στην ποίηση

Στη δομή κάθε ποιήματος δεν μπορούμε να μην παρατηρήσουμε ορισμένα μοτίβα, και, κατά συνέπεια, υπάρχουν η χρυσή αναλογία και οι αριθμοί Fibonacci. Κάθε δεύτερο ποίημα του A. S. Pushkin περιέχει ένα παράδειγμα (μοτίβο) της χρυσής αναλογίας. Και ένα δείγμα (μοτίβο) συμμετρίας καθρέφτη υπάρχει σε κάθε τρίτο. Ένα από τα δύο μοτίβα βρίσκεται σε δύο από τα τρία ποιήματα (524 ή 66%) και και τα δύο μοτίβα βρίσκονται σε κάθε πέμπτο ποίημα (150 ή 19%).

Οι κύριες λειτουργίες της χρυσής τομής στα έργα του Πούσκιν είναι:

}