Ոսկե հարաբերակցություն- սա հատվածի այնպիսի համամասնական բաժանումն է անհավասար մասերի, որոնցում փոքր հատվածը կապված է ավելի մեծի հետ, ինչպես ավելի մեծը ամբողջի հետ:

a: b = b: cկամ c: b = b: a.

Այս համամասնությունը հետևյալն է.

Օրինակ՝ կանոնավոր հնգաթև աստղի մեջ յուրաքանչյուր հատված բաժանվում է այն հատվածով, որը հատում է այն ոսկե հարաբերակցությամբ (այսինքն՝ կապույտ հատվածի հարաբերակցությունը կանաչի, կարմիրի և կապույտի, կանաչի և մանուշակի միջև հավասար է։ 1.618

Ընդհանրապես ընդունված է, որ ոսկե հարաբերակցության հասկացությունը գիտական ​​կիրառության մեջ է մտցվել Պյութագորասի կողմից։ Ենթադրություն կա, որ Պյութագորասը փոխառել է իր գիտելիքները եգիպտացիներից և բաբելոնացիներից։ Իրոք, Քեոպսի բուրգի, տաճարների, խորաքանդակների, կենցաղային իրերի և Թութանհամոնի գերեզմանի զարդերի համամասնությունները ցույց են տալիս, որ եգիպտացի արհեստավորները դրանք ստեղծելիս օգտագործել են ոսկե բաժանման հարաբերակցությունները:

1855 թվականին ոսկե հարաբերակցության գերմանացի հետազոտող, պրոֆեսոր Զայզինգը հրապարակել է իր. աշխատություն «Գեղագիտական ​​հետազոտություններ».
Զայզինգը չափել է մոտ երկու հազար մարդու մարմին և եկել այն եզրակացության, որ ոսկե հարաբերակցությունը արտահայտում է միջին վիճակագրական օրենքը։

Ոսկե համամասնությունները մարդու մարմնի մասերում

Մարմնի բաժանումը անոթային կետով ոսկե հարաբերակցության ամենակարեւոր ցուցանիշն է։ Տղամարդու մարմնի համամասնությունները տատանվում են 13: 8 = 1,625 միջին հարաբերակցությամբ և մի փոքր ավելի մոտ են ոսկե հարաբերակցությանը, քան կանանց մարմնի համամասնությունները, որոնց նկատմամբ համամասնության միջին արժեքը արտահայտված է 8 հարաբերակցությամբ: 5 = 1,6:

Նորածնի մոտ հարաբերակցությունը 1։1 է, 13 տարեկանում՝ 1,6, իսկ 21 տարեկանում՝ տղամարդու։
Ոսկե հարաբերակցության համամասնությունները հայտնվում են նաև մարմնի այլ մասերի նկատմամբ՝ ուսի, նախաբազկի և ձեռքի երկարության, ձեռքի և մատների և այլնի նկատմամբ։
Զայզինգը փորձարկեց իր տեսության վավերականությունը հունական արձանների վրա։ Նա ամենայն մանրամասնությամբ մշակել է Ապոլոն Բելվեդերեի համամասնությունները։ Ուսումնասիրվել են հունական ծաղկամաններ, տարբեր դարաշրջանների ճարտարապետական ​​կառույցներ, բույսեր, կենդանիներ, թռչունների ձվեր, երաժշտական ​​հնչերանգներ, բանաստեղծական մետրեր։

Զայզինգը տվեց ոսկե հարաբերակցության սահմանումը և ցույց տվեց, թե ինչպես է այն արտահայտվում ուղիղ հատվածներով և թվերով: Երբ ստացվեցին հատվածների երկարություններն արտահայտող թվերը, Զեյզինգը տեսավ, որ դրանք կազմում են Ֆիբոնաչիի շարք.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 և այլն թվերի շարք։ հայտնի է որպես Ֆիբոնաչիի շարք: Թվերի հաջորդականության առանձնահատկությունն այն է, որ նրա յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երրորդից. հավասար է նախորդ երկուսի գումարին 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 և այլն, իսկ շարքի հարակից թվերի հարաբերակցությունը մոտենում է ոսկե բաժանման հարաբերակցությանը:

Այսպիսով, 21: 34 = 0,617 և 34: 55 = 0,618. (կամ 1.618 , եթե ավելի մեծ թիվը բաժանեք փոքրի):

Ֆիբոնաչիի շարքկարող էր մնալ միայն մաթեմատիկական միջադեպ, եթե ոչ այն փաստը, որ բույսերի և կենդանական աշխարհի ոսկե բաժանման բոլոր հետազոտողները, էլ չեմ խոսում արվեստի մասին, անփոփոխ կերպով եկան այս շարքը՝ որպես ոսկե հատվածի օրենքի թվաբանական արտահայտություն:

Ոսկե հարաբերակցությունը արվեստում

Դեռևս 1925թ.-ին արվեստաբան Լ. միմյանց ոսկե հարաբերակցությունը:

Ընդ որում, որքան տաղանդավոր է կոմպոզիտորը, այնքան ոսկե հատվածներ են գտնում նրա ստեղծագործություններում։ Արենսկիում, Բեթհովենում, Բորոդինում, Հայդնում, Մոցարտում, Սկրյաբինում, Շոպենում և Շուբերտում ոսկե հատվածներ են հայտնաբերվել բոլոր աշխատանքների 90%-ում։ Սաբանեևի խոսքով, ոսկե հարաբերակցությունը հանգեցնում է երաժշտական ​​ստեղծագործության հատուկ ներդաշնակության տպավորության։

Կինոյում Ս. Էյզենշտեյնը արհեստականորեն կառուցեց «Պոտյոմկին» մարտանավը «ոսկե հարաբերակցության» կանոններով։ Նա ժապավենը բաժանեց հինգ մասի։ Առաջին երեքում գործողությունները տեղի են ունենում նավի վրա։ Վերջին երկուսում՝ Օդեսայում, որտեղ ծավալվում է ապստամբությունը։ Այս անցումը դեպի քաղաք տեղի է ունենում հենց ոսկե հարաբերակցության կետում: Եվ յուրաքանչյուր մաս ունի իր կոտրվածքը, որը տեղի է ունենում ոսկե հարաբերակցության օրենքի համաձայն:

Հին հունական ճարտարապետության ամենագեղեցիկ գործերից է Պարթենոնը (մ.թ.ա. 5-րդ դար):

Նկարները ցույց են տալիս ոսկե հարաբերակցության հետ կապված մի շարք նախշեր: Շենքի համամասնությունները կարող են արտահայտվել Ф=0,618 թվի տարբեր հզորությունների միջոցով...

Պարթենոնի հատակագծի վրա կարելի է տեսնել նաև «ոսկե ուղղանկյունները».

Ոսկե հարաբերակցությունը կարող ենք տեսնել Աստվածամոր տաճարի շենքում (Նոտր Դամ դե Փարիզ) և Քեոպսի բուրգում.

Ոչ միայն եգիպտական ​​բուրգերը կառուցվել են ոսկե հարաբերակցության կատարյալ համամասնություններին համապատասխան. նույն երեւույթը հայտնաբերվել է Մեքսիկայի բուրգերում:

Ոսկե համամասնությունը օգտագործվել է շատ հին քանդակագործների կողմից: Հայտնի է Ապոլլոն Բելվեդերի արձանի ոսկե համամասնությունը՝ պատկերված մարդու հասակը ոսկե հատվածում բաժանված է պորտալարի վրա։

Անցնելով գեղանկարչության «ոսկե հարաբերակցության» օրինակներին՝ չի կարելի չկենտրոնանալ Լեոնարդո դա Վինչիի աշխատանքի վրա։ Ուշադիր նայենք «La Gioconda» կտավին։ Դիմանկարի կոմպոզիցիան հիմնված է «ոսկե եռանկյունների» վրա։

Տառատեսակների և կենցաղային իրերի ոսկե հարաբերակցությունը

Ոսկե հարաբերակցությունը բնության մեջ

Կենսաբանական ուսումնասիրությունները ցույց են տվել, որ վիրուսներից և բույսերից սկսած և վերջացրած մարդու մարմնով, ոսկե համամասնությունը բացահայտվում է ամենուր՝ բնութագրելով դրանց կառուցվածքի համաչափությունն ու ներդաշնակությունը։ Ոսկե հարաբերակցությունը ճանաչվում է որպես կենդանի համակարգերի համընդհանուր օրենք:

Պարզվել է, որ Ֆիբոնաչիի թվերի թվային շարքը բնութագրում է բազմաթիվ կենդանի համակարգերի կառուցվածքային կազմակերպումը։ Օրինակ՝ ճյուղի վրա պտուտակավոր տերևների դասավորությունը կազմում է կոտորակ (ցողունի վրա պտույտների թիվը/տևերի քանակը ցիկլի մեջ, օրինակ՝ 2/5; 3/8; 5/13), որը համապատասխանում է Ֆիբոնաչիի շարքին։

Հայտնի է խնձորի, տանձի և շատ այլ բույսերի հինգ թերթիկ ծաղիկների «ոսկե» հարաբերակցությունը։ Գենետիկ կոդի կրողները՝ ԴՆԹ-ի և ՌՆԹ-ի մոլեկուլները, ունեն կրկնակի պարուրաձև կառուցվածք; դրա չափերը գրեթե ամբողջությամբ համապատասխանում են Ֆիբոնաչիի շարքի թվերին։

Գյոթեն ընդգծել է բնության հակվածությունը դեպի սպիրալիզմը։

Սարդը հյուսում է իր ցանցը պարուրաձև ձևով։ Փոթորիկը պարույրի պես պտտվում է։ Հյուսիսային եղջերուների վախեցած երամակը ցրվում է պարույրով։

Գյոթեն պարույրն անվանեց «կյանքի կոր»: Պարույրը երևում էր արևածաղկի, սոճու կոների, արքայախնձորների, կակտուսների և այլնի դասավորության մեջ։

Արևածաղկի ծաղիկներն ու սերմերը, երիցուկը, թեփուկները արքայախնձորի մրգերում, փշատերևի կոները «փաթեթավորված» են լոգարիթմական («ոսկե») պարույրներով՝ ոլորվելով դեպի միմյանց, իսկ «աջ» և «ձախ» պարույրների թիվը միշտ կապված է յուրաքանչյուրի հետ։ այլ, ինչպես հարևան Ֆիբոնաչի թվերը:

Դիտարկենք եղերդակի կադրը: Հիմնական ցողունից գոյացել է ծիլ։ Առաջին տերեւը գտնվում էր հենց այնտեղ։ Կրակոցը ուժգին արտանետում է տարածություն, կանգ է առնում, արձակում է տերեւ, բայց այս անգամ այն ​​ավելի կարճ է, քան առաջինը, կրկին դուրս է նետվում տարածություն, բայց ավելի քիչ ուժով, արձակում է ավելի փոքր չափի տերեւ և նորից դուրս է նետվում։ .

Եթե ​​առաջին արտանետումը վերցված է 100 միավոր, ապա երկրորդը հավասար է 62 միավորի, երրորդը՝ 38, չորրորդը՝ 24 և այլն։ Ոսկե համամասնությանը ենթակա է նաև ծաղկաթերթիկների երկարությունը։ Տիեզերքի աճի և նվաճման ժամանակ բույսը պահպանեց որոշակի համամասնություններ: Նրա աճի ազդակները աստիճանաբար նվազում էին ոսկե հարաբերակցության համեմատ։

Շատ թիթեռների մեջ մարմնի կրծքային և որովայնային մասերի չափերի հարաբերակցությունը համապատասխանում է ոսկե հարաբերակցությանը։ Թևերը ծալելով՝ ցեցը կազմում է կանոնավոր հավասարակողմ եռանկյունի։ Բայց եթե բացեք ձեր թեւերը, ապա կտեսնեք մարմինը 2,3,5,8-ի բաժանելու նույն սկզբունքը։ Ճպուռը ստեղծվում է նաև ոսկե համամասնության օրենքներով՝ պոչի և մարմնի երկարությունների հարաբերակցությունը հավասար է ընդհանուր երկարության և պոչի երկարության հարաբերությանը։

Մողեսի մոտ նրա պոչի երկարությունը կապված է մնացած մարմնի երկարության հետ՝ 62-ից 38: Դուք կարող եք նկատել ոսկե համամասնությունները, եթե ուշադիր նայեք թռչնի ձվին:

Երկրաչափությունն ունի երկու գանձ՝ դրանցից մեկը Պյութագորասի թեորեմն է, իսկ մյուսը՝ հատվածի բաժանումը միջին և ծայրահեղ հարաբերակցությամբ։ Առաջինը կարելի է համեմատել ոսկու չափման հետ. երկրորդն ավելի շատ թանկարժեք քար է հիշեցնում։

I. Kepler

Գիտե՞ք, որ դպրոց կամ աշխատանքի գնալիս, երաժշտություն լսելիս, տնային գործեր կատարելիս, ծովում հանգստանալիս կամ բիզնես պայմանագրեր կնքելիս մենք անընդհատ հանդիպում ենք ոսկե հարաբերակցության օրինակների։ Բույսերը, կենդանիները, սպասքը և նույնիսկ որոշ տառեր կառուցված են ոսկե հարաբերակցության սկզբունքով։ Ոսկե հարաբերակցությունը նույնիսկ հայտնաբերվել է ԴՆԹ-ի մոլեկուլում։

Կցանկանայի ձեզ ավելի մոտ ներկայացնել այս անհավանական, իմ կարծիքով, երևույթը և կոնկրետ պատմել, թե որտեղ և ինչպես ենք հանդիպում և ինչպես ենք այն օգտագործում։

Ընդհանրապես ընդունված է, որ ոսկե բաժանման հասկացությունը գիտական ​​կիրառություն է մտցրել հին հույն փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Պյութագորասը (մ.թ.ա. VI դար): Ենթադրություն կա, որ Պյութագորասը ոսկե բաժանման մասին իր գիտելիքները փոխառել է եգիպտացիներից և բաբելոնացիներից: Իրոք, Քեոպսի բուրգի, տաճարների, խորաքանդակների, կենցաղային իրերի և Թութանհամոնի գերեզմանի զարդերի համամասնությունները ցույց են տալիս, որ եգիպտացի արհեստավորները դրանք ստեղծելիս օգտագործել են ոսկե բաժանման հարաբերակցությունները: Ֆրանսիացի ճարտարապետ Լե Կորբյուզիեն պարզել է, որ Աբիդոսում գտնվող Սեթի I փարավոն տաճարի ռելիեֆում և փարավոն Ռամզես պատկերող ռելիեֆում պատկերների համամասնությունները համապատասխանում են ոսկե բաժանման արժեքներին: Ճարտարապետ Խեսիրան, որը պատկերված է իր անունը կրող դամբարանի փայտե տախտակի ռելիեֆի վրա, իր ձեռքում պահում է չափիչ գործիքներ, որոնցում արձանագրված են ոսկե բաժանման համամասնությունները։ Հույները հմուտ երկրաչափեր էին։ Նրանք նույնիսկ թվաբանություն էին սովորեցնում իրենց երեխաներին՝ օգտագործելով երկրաչափական պատկերներ: Պյութագորասյան քառակուսին և այս քառակուսու անկյունագիծը հիմք են հանդիսացել դինամիկ ուղղանկյունների կառուցման համար։

Ինչ է ոսկե հարաբերակցությունը, ոսկե հարաբերակցության կիրառումը մաթեմատիկայի մեջ:

Ոսկե հարաբերակցությունը հատվածի այնպիսի համամասնական բաժանումն է անհավասար մասերի, որում ամբողջ հատվածը կապված է ավելի մեծ մասի հետ, ինչպես որ մեծ մասը ինքնին կապված է փոքրի հետ. կամ այլ կերպ ասած՝ փոքր հատվածը մեծի նկատմամբ է, ինչպես մեծը ամբողջի նկատմամբ՝ b = b: c կամ c: b = b: a.

Այս համամասնությունը կարող է կառուցվել հետևյալ կերպ.

B կետից մենք վերականգնում ենք AB կեսին հավասար ուղղահայաց: Ստացված C կետը գծով միացված է A կետին: Ստացված գծի վրա մենք դնում ենք BC հատված, որն ավարտվում է D կետով: AD հատվածը տեղափոխվում է AB տող: Ստացված E կետը բաժանում է AB հատվածը ոսկե համամասնությամբ:

Ոսկե հարաբերակցության հատկությունները նկարագրվում են հավասարմամբ՝ x*x – x – 1 = 0։

Այս հավասարման լուծում.

Բնության մեջ հայտնաբերվել է նաև երկրորդ ոսկե հարաբերակցությունը, որը բխում է հիմնական հատվածից և տալիս է մեկ այլ հարաբերակցություն՝ 44։56։ Այս համամասնությունը հայտնաբերվել է ճարտարապետության մեջ, ինչպես նաև տեղի է ունենում երկարաձգված հորիզոնական ձևաչափի պատկերների կոմպոզիցիաներ կառուցելիս:

Այս AB հատվածը բաժանում ենք ոսկե հատվածի համամասնությամբ: C կետից մենք վերականգնում ենք ուղղահայաց CD-ն։ AB շառավղով մենք գտնում ենք D կետը, այնուհետև այն մի գծով միացնում ենք A կետին: ACD-ի ուղիղ անկյունը կիսում ենք կիսով չափ: C կետից գծում ենք AD-ի հետ հատվող հատվածը: Ստացված կետը անվանենք E տառ, որը AD հատվածը բաժանում է 44:56 հարաբերակցությամբ։

Նկարը ցույց է տալիս երկրորդ ոսկե հարաբերակցության գծի դիրքը: Այն գտնվում է ոսկե հարաբերակցության գծի և ուղղանկյունի միջին գծի միջև:

Եթե ​​քառակուսի AEFD մեկուսացված է ոսկե ուղղանկյունից ABCD, ապա մնացած EBCF մասը ստացվում է նոր ոսկե ուղղանկյուն, որը կրկին կարելի է բաժանել քառակուսի GHCF և ավելի փոքր ոսկե ուղղանկյուն EBHG: Այս պրոցեդուրան բազմիցս կրկնելով՝ մենք կստանանք քառակուսիների և ոսկե ուղղանկյունների անսահման հաջորդականություն, որոնք ի վերջո միանում են O կետին: Նկատի ունեցեք, որ նույն երկրաչափական պատկերների նման անվերջ կրկնությունը, այսինքն՝ քառակուսի և ոսկե ուղղանկյուն, մեզ տալիս է. ռիթմի և ներդաշնակության անգիտակից գեղագիտական ​​զգացում: Ենթադրվում է, որ հենց այս հանգամանքն է պատճառը, որ շատ ուղղանկյուն իրեր, որոնց հետ գործ ունի մարդը (լուցկու տուփեր, կրակայրիչներ, գրքեր, ճամպրուկներ) հաճախ ունենում են ոսկե ուղղանկյունի տեսք։ Օրինակ, մենք լայնորեն օգտագործում ենք կրեդիտ քարտեր մեր Առօրյա կյանք, բայց մենք ուշադրություն չենք դարձնում այն ​​փաստին, որ վարկային քարտերը շատ դեպքերում ունեն ոսկե ուղղանկյունի ձև:

Ոսկե ուղղանկյուն և վարկային քարտ

Պենտագրամ և Պենտագոն

Եթե ​​գծենք հնգագրի բոլոր անկյունագծերը, արդյունքը կլինի հայտնի հնգանկյուն աստղը։ Ապացուցված է, որ հնգագրամում անկյունագծերի հատման կետերը միշտ շեղանկյունների ոսկե հարաբերակցության կետեր են։ Այս դեպքում այս կետերը կազմում են նոր պենտագրամ FGHKL: Նոր հնգագրամում կարելի է գծել անկյունագծեր, որոնց խաչմերուկը կազմում է մեկ այլ հնգագրամ, և այդ գործընթացը կարելի է անվերջ շարունակել։ Այսպիսով, ABCDE հնգագրամը կարծես կազմված է անսահման թվով հնգագրամներից, որոնք ամեն անգամ ձևավորվում են անկյունագծերի հատման կետերից։ Նույն երկրաչափական պատկերի այս անվերջ կրկնությունը ստեղծում է ռիթմի և ներդաշնակության զգացում, որն անգիտակցաբար գրանցվում է մեր մտքի կողմից: Պենտագրամը հատկապես հիանում էր պյութագորասցիների կողմից և համարվում էր նրանց հիմնական նույնականացման նշանը: ԱՄՆ ռազմական գերատեսչության շենքը հնգագրամի տեսք ունի և կոչվում է «Պենտագոն», որը նշանակում է սովորական հնգանկյուն։

Այսպիսով, ես ձեզ ասացի, թե որն է ոսկե հարաբերակցությունը, և այժմ, քանի որ իմ զեկույցը նվիրված է ոսկե հարաբերակցության կիրառմանը, այժմ կխոսեմ դրա մասին։

Նապաստակի խնդիրը. Ֆիբոնաչիի թվեր.

ՃԱԳԱՐԻ ԽՆԴԻՐ

Ինչ-որ մեկը մի զույգ նապաստակ դրեց մի որոշ վայրում, բոլոր կողմերից պատով պարսպապատված, որպեսզի պարզի, թե տարվա ընթացքում քանի զույգ նապաստակ կծնվի, եթե նապաստակների բնույթն այնպիսին է, որ մեկ ամիս հետո զույգ նապաստակ է տալիս. ծնվում է մեկ այլ զույգ, իսկ ճագարները ծնում են նրա ծնվելուց հետո երկրորդ ամսից:

Հասկանալի է, որ եթե ճագարների առաջին զույգը համարենք նորածին, ապա երկրորդ ամսում մենք դեռ կունենանք մեկ զույգ; 3-րդ ամսվա համար՝ 1+1=2; 4-րդ ամսին - 2 + 1 = 3 զույգ (երկու առկա զույգերի պատճառով միայն մեկ զույգ է սերունդ տալիս); 5-րդ ամսին՝ 3+2=5 զույգ (3-րդ ամսին ծնված միայն 2 զույգը սերունդ կծնի 5-րդ ամսին); 6-րդ ամսին՝ 5 + 3 = 8 զույգ (որովհետև միայն 4-րդ ամսում ծնված զույգերը սերունդ կտան) և այլն։

Այս խնդրից հետևեց բնական թվերի հաջորդականության որոշակի շարքի հայտնաբերումը, որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երրորդից, հավասար է երկու նախորդ անդամների գումարին. Uk = 1,1,2,3,5,8: ,13,21,34,55,89,144,233,377,. Այս հաջորդականությունը կոչվում է Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն, իսկ դրա անդամները՝ Ֆիբոնաչիի թվեր։ Շարքի հաջորդ անդամի և նախորդի հարաբերակցությունը հակված է ոսկե հարաբերակցությանը

Հանրահաշվում այն ​​սովորաբար նշվում է հունարեն ֆի տառով։

Ոսկե հարաբերակցությունը չի շրջանցել նաև մարդկանց.

Ոսկե հարաբերակցությունը հիմք է հանդիսանում ներդաշնակ ձևերի կառուցման համար, քանի որ այն բնության մեջ ձևավորման բացարձակ օրենքն է, որի մի մասն ենք մենք։ Ներդաշնակության օրենքները թվային օրենքներ են։

Սովորական մարդուն մոդելավորելիս, ամենայն հավանականությամբ, մենք չենք վերցնում քանոն և հաշվիչ ոսկե համամասնությունները հաշվարկելու համար։ Մենք պարզապես ինտուիտիվորեն զգում ենք այդ ձևերը, քանի որ մարդու ձևերը մեր աչքին ավելի հաճախ են հանդիպում, քան որևէ այլ բան, բայց անսովոր արարածի, բույսի, կառուցվածքի մոդել ստեղծելիս մենք պետք է օգտագործենք երկրաչափության և ոսկե հարաբերակցության գիտելիքները, որպեսզի աշխատանքի արդյունքին կարելի է նայել առանց զզվանքի, թեև եթե դա զզվանքի զգացումն է, որին ձգտում ես, ապա գիտես, թե ինչ պետք է անես։

Ամեն դեպքում, բնության օրենքների (թվային օրենքների) իմացությունը մեզ օգնում է հնարավորինս արագ հասնել ցանկալի արդյունքի:

Գերմանացի պրոֆեսոր Զայզինգը մեծ աշխատանք է կատարել 18-րդ դարի կեսերին. նա չափել է ավելի քան 2000 մարմին և առաջարկել, որ ոսկե հարաբերակցությունը արտահայտում է միջին վիճակագրական օրենքը. մարմինը անոթի կետի վրա բաժանելը ոսկե հարաբերակցության հիմնական ցուցիչներից մեկն է։ . Տղամարդու մարմնի համամասնությունները տատանվում են 13: 8 = 1,625 միջին հարաբերակցությամբ և մի փոքր ավելի մոտ են ոսկե հարաբերակցությանը, քան կանանց մարմնի համամասնությունները, որոնց նկատմամբ համամասնության միջին արժեքը արտահայտված է 8 հարաբերակցությամբ: 5 = 1,6: Նորածնի մոտ հարաբերակցությունը 1։1 է, 13 տարեկանում՝ 1,6, իսկ 21 տարեկանում՝ տղամարդու։ Ոսկե հարաբերակցության համամասնությունները հայտնվում են նաև մարմնի այլ մասերի նկատմամբ՝ ուսի, նախաբազկի և ձեռքի երկարության, ձեռքի և մատների և այլնի նկատմամբ։

փոքր երեխաների մոտ (մոտ մեկ տարեկան) համամասնությունը 1:1 է:

Վերջերս մեր ժամանակակից, ամերիկացի վիրաբույժ Սթիվեն Մարկվարտը, օգտագործելով «ոսկե հարաբերակցության» սկզբունքը, ստեղծեց երկրաչափական դիմակ, որը կարող է չափանիշ ծառայել գեղեցիկ դեմքի համար: Պարզելու համար, թե արդյոք դեմքը համապատասխանում է իդեալին, պարզապես պատճենեք դիմակը թափանցիկ թաղանթի վրա և ծածկեք այն համապատասխան չափի լուսանկարի վրա:

Այսպիսով, պսակի և Ադամի խնձորի միջև հատվածը բաժանելով «ոսկե հատվածի» նկատմամբ, մենք ստանում ենք մի կետ, որը ընկած է հոնքերի գծի վրա (B): Ստացված մասերի հետագա ոսկե բաժանմամբ մենք հաջորդաբար ստանում ենք քթի ծայրը (C), կզակի ծայրը (D):

Ոսկե հարաբերակցությունը մարդու ականջում.

Մարդու ներքին ականջում կա Կոխլեա («Խխունջ») կոչվող օրգան, որը կատարում է ձայնային թրթռումը փոխանցելու գործառույթը։ Այս ոսկրային կառուցվածքը լցված է հեղուկով և ունի նաև խխունջի ձև, որը պարունակում է կայուն լոգարիթմական պարուրաձև = 73º 43':

Քանի որ ոսկե հարաբերակցությունը կպել է մարդուն, ասեմ, որ այն առկա է նույնիսկ ԴՆԹ-ի մոլեկուլի կառուցվածքում։

Կենդանի էակների ֆիզիոլոգիական բնութագրերի մասին ամբողջ տեղեկատվությունը պահվում է ԴՆԹ-ի մանրադիտակային մոլեկուլում, որի կառուցվածքը պարունակում է նաև ոսկե համամասնության օրենքը: ԴՆԹ-ի մոլեկուլը բաղկացած է երկու ուղղահայաց միահյուսված պարույրներից։ Այս պարույրներից յուրաքանչյուրի երկարությունը 34 անգստրոմ է, իսկ լայնությունը՝ 21 անգստրոմ։ (1 անգստրոմը սանտիմետրի հարյուր միլիոներորդականն է): Այսպիսով, 21-ը և 34-ը Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությամբ իրար հաջորդող թվեր են, այսինքն՝ ԴՆԹ-ի մոլեկուլի լոգարիթմական պարույրի երկարության և լայնության հարաբերակցությունը կրում է ոսկե հարաբերակցության 1:1,618 բանաձևը:

Մեզանից յուրաքանչյուրը կյանքում գոնե մեկ անգամ եղել է ծովում և մեր ձեռքերում պահել է պարուրաձև պատյան։ Դե, ահա, այդպիսի պատյանը ոլորված է պարույրով: Եթե ​​դուք բացեք այն, դուք կստանաք երկարություն մի փոքր ավելի կարճ, քան օձի երկարությունը: Փոքրիկ տասը սանտիմետր պատյան ունի 35 սմ երկարությամբ պարույր: Ոսկե հարաբերակցության գաղափարը թերի կլինի առանց պարույրի մասին խոսելու։

Արքիմեդի պարույր

Արքիմեդի ուշադրությունը գրավեց պարուրաձև գանգուր պատյանի ձևը։ Նա ուսումնասիրեց այն և ստացավ պարույրի հավասարումը: Այս հավասարման համաձայն գծված պարույրը կոչվում է նրա անունով։ Նրա քայլի աճը միշտ միատեսակ է։ Ներկայումս Արքիմեդի պարույրը լայնորեն կիրառվում է տեխնիկայում։

Ոսկե հարաբերակցություն գեղանկարչության և լուսանկարչության մեջ.

Լուսանկարչության մեջ

Երբ մենք ուզում ենք գեղեցիկ լուսանկար անել, հաճախ նկատում ենք, որ չգիտենք, թե ինչպես մտովի դասավորել առարկաները, որպեսզի նրանք հետագայում իրենց լավագույն տեսքը տեսնեն պատրաստի լուսանկարում: Այս հարցում մեզ կարող է օգնել ոսկե հարաբերակցության կանոնը։ Օգտագործելով հորիզոնական և ուղղահայաց գծեր, մենք տեսադաշտը մտովի բաժանում ենք ինը նույնական հատվածների: Մեզ համար առանցքային կլինեն հորիզոնական և ուղղահայաց գծերի հատման չորս կենտրոնական կետերը։

Ոսկե հարաբերակցության կանոնի գործնական օգտագործումը շրջանակ կազմելիս:

Ստորև ներկայացված են «Զլոտի հատվածի» կանոնի հիման վրա ստեղծված ցանցերի տարբեր տարբերակներ՝ կոմպոզիցիոն տարբեր տարբերակների համար: Սկզբունքները հասկանալու համար դուք պետք է ինքնուրույն փորձեր կատարեք, փորձեք և համատեղեք ցանցերը ձեր լուսանկարների հետ: Հիմնական ցանցերն այսպիսի տեսք ունեն.

Ահա կատվի լուսանկարը, որը գտնվում է շրջանակի պատահական տեղում։

Այժմ շրջանակը պայմանականորեն բաժանենք հատվածների՝ շրջանակի յուրաքանչյուր կողմից 1,62 ընդհանուր երկարության համամասնությամբ: Հատվածների խաչմերուկում կլինեն հիմնական «տեսողական կենտրոնները», որոնցում արժե տեղադրել պատկերի անհրաժեշտ հիմնական տարրերը:

Եկեք մեր կատվին տեղափոխենք «տեսողական կենտրոնների» կետեր։

Ահա թե ինչպիսի տեսք ունի կազմն այժմ. Շատ ավելի լավ չէ՞:

Որպեսզի հասկանաք ոսկե հարաբերակցության էությունը, փորձեք ինքներդ մի քանի լուսանկար անել այգու նստարանին նստած մարդուն: Համոզվեք, որ ամենաներդաշնակ լուսանկարը կլինի այն լուսանկարը, որտեղ մարդը նստած է ոչ թե կենտրոնում կամ եզրին, այլ ոսկե հարաբերակցությանը համապատասխան կետում (նստարանը բաժանելով մոտավորապես 2:3 հարաբերակցությամբ):

Նկարչության մեջ

Հին Հունաստանի վարպետները, ովքեր գիտեին գիտակցաբար օգտագործել ոսկե համամասնությունը, որը, ըստ էության, շատ պարզ է, հմտորեն կիրառեցին դրա ներդաշնակ արժեքները արվեստի բոլոր տեսակների մեջ և հասան այդպիսի կատարելության իրենց սոցիալական իդեալներն արտահայտող ձևերի կառուցվածքում: , որը հազվադեպ է հանդիպում համաշխարհային արվեստի պրակտիկայում։ Ամբողջ հնագույն մշակույթն անցել է ոսկե համամասնության նշանի տակ։ Նրանք գիտեին այս համամասնությունը Հին Եգիպտոսում: Ես դա ցույց կտամ այնպիսի նկարիչների օրինակով, ինչպիսիք են Ռաֆայելը, Լեոնարդո դա Վինչին, Բոտիչելին, Շիշկինը:

Ռաֆայելի նախապատրաստական ​​էսքիզում կարմիր գծեր են գծվում կոմպոզիցիայի իմաստային կենտրոնից՝ այն կետից, որտեղ ռազմի մատները փակվում են երեխայի կոճի շուրջը, երեխայի ֆիգուրների երկայնքով, նրան մոտ պահող կինը, բարձրացրած սուրը մարտիկը, այնուհետև նույն խմբի ֆիգուրների երկայնքով աջ կողմի ուրվագիծը: Եթե ​​դուք բնականաբար միացնում եք այս կտորները կոր կետավոր գծով, ապա այն ստանում եք շատ մեծ ճշգրտությամբ: ոսկե պարույր! Սա կարելի է ստուգել՝ չափելով կորի սկզբով անցնող ուղիղ գծերի վրա պարույրով կտրված հատվածների երկարությունների հարաբերակցությունը։ «Անմեղների կոտորածը» Ռաֆայել

Հանրահայտ «Աթենքի դպրոցը» որմնանկարում, որտեղ գիտության տաճարում կա հնության մեծ փիլիսոփաների հասարակություն, մեր ուշադրությունը հրավիրվում է Էվկլիդեսի՝ հին հույն մեծագույն մաթեմատիկոսի խմբի վրա, որը վերլուծում է բարդ գծանկար: Երկու եռանկյունների հնարամիտ համադրությունը նույնպես կառուցված է ոսկե հարաբերակցության համամասնությամբ. այն կարելի է մակագրել 5/8 հարաբերակցությամբ ուղղանկյան մեջ: Այս գծագիրը զարմանալիորեն հեշտ է տեղադրվել ճարտարապետության վերին հատվածում: Եռանկյան վերին անկյունը հենվում է դիտողին ամենամոտ հատվածում գտնվող կամարի հիմնաքարի վրա, ներքևի անկյունը դիպչում է հեռանկարների անհետացման կետին, իսկ կողային հատվածը ցույց է տալիս կամարների երկու մասերի միջև տարածական բացվածքի համամասնությունները: .

Լեոնարդո դա Վինչի

Լեոնարդո դա Վինչիի Մոնա Լիզայի (La Gioconda) դիմանկարը գրավիչ է, քանի որ նկարի կոմպոզիցիան կառուցված է «ոսկե եռանկյունիների», ավելի ճիշտ՝ եռանկյունների վրա, որոնք սովորական աստղաձեւ հնգանկյունի կտորներ են։

«Վերջին ընթրիքը» Լեոնարդոյի ամենահաս և ամբողջական ստեղծագործությունն է։ Այս նկարում վարպետը խուսափում է այն ամենից, ինչը կարող է մթագնել իր պատկերած գործողության հիմնական ընթացքը, նա հասնում է կոմպոզիցիոն լուծման հազվագյուտ համոզիչի. Կենտրոնում նա դնում է Քրիստոսի կերպարը՝ այն ընդգծելով դռան բացվածքով։ Նա դիտավորյալ հեռացնում է առաքյալներին Քրիստոսից, որպեսզի ավելի ընդգծի իր տեղը շարադրության մեջ: Վերջապես, նույն նպատակով, նա ստիպում է բոլոր հեռանկարային գծերին միանալ Քրիստոսի գլխից ուղիղ մի կետում: Լեոնարդոն իր ուսանողներին բաժանում է չորս սիմետրիկ խմբերի՝ լի կյանքով և շարժումով։ Սեղանը փոքր է դարձնում, իսկ սեղանատունը՝ խիստ ու պարզ։ Սա նրան հնարավորություն է տալիս դիտողի ուշադրությունը կենտրոնացնել հսկայական պլաստիկ ուժ ունեցող գործիչների վրա: Այս բոլոր տեխնիկան արտացոլում է ստեղծագործական պլանի խորը նպատակասլացությունը, որում ամեն ինչ կշռված և հաշվի է առնվում։ «

Բոտիչելի - «Վեներայի ծնունդը»

Նկարում պատկերված է ոչ թե բուն աստվածուհու ծնունդը, այլ դրան հաջորդած պահը, երբ նա, օդի հանճարների շնչով մղված, հասնում է ափ, որտեղ նրան դիմավորում է շնորհներից մեկը։ Ըստ հին հույն բանաստեղծ Հեսիոդոսի (Թեոգոնիա, 188-200), Վեներան ծնվել է ծովից՝ ամորձատված Ուրանի (ՍԱՏՈՒՐՆ) սեռական օրգանների արտադրած փրփուրից, որը ջուրը նետել է Կրոնոսի կողմից: Նա լողում է դեպի ափ բաց պատյանով, որը քշվում է մեղմ քամիով, և վերջապես վայրէջք է կատարում Պաֆոսում (Կիպրոս)՝ հնության պաշտամունքի և պաշտամունքի գլխավոր վայրերից մեկը: Նրա հունարեն Աֆրոդիտե անունը կարող է ծագել aphros-ից, որը նշանակում է «փրփուր»:

Կիթերա կղզու մոտ ծովի ալիքների ձյունաճերմակ փրփուրից ծնվել է Աֆրոդիտեն՝ Ուրանի դուստրը։ Թեթև, շոյող քամին նրան բերեց Կիպրոս կղզի։ Այնտեղ երիտասարդ Օրասը շրջապատեց սիրո աստվածուհուն, ով դուրս էր եկել ծովի ալիքներից։ Նրան ոսկյա գործվածք հագցրին և պսակեցին անուշահոտ ծաղիկներով։ Ուր էլ որ Աֆրոդիտեն քայլում էր, ծաղիկները փարթամ աճում էին: Ամբողջ օդը լի էր բուրմունքով։ Էրոսը և Հիմերոտը հրաշագեղ աստվածուհուն տարան Օլիմպոս: Աստվածները բարձր ողջունեցին նրան։ Այդ ժամանակից ի վեր ոսկե Աֆրոդիտեն, հավերժ երիտասարդ, աստվածուհիներից ամենագեղեցիկը, միշտ ապրել է Օլիմպոսի աստվածների մեջ:

Ի.Ի.Շիշկինի այս հայտնի նկարում հստակ երևում են ոսկե հարաբերակցության մոտիվները։ Վառ արևածառ սոճին (առաջին պլանում կանգնած) նկարի երկարությունը բաժանում է ըստ ոսկե հարաբերակցության։ Սոճու ծառից աջ արևով լուսավորված բլուր է: Այն նկարի աջ կողմը բաժանում է հորիզոնական՝ ըստ ոսկե հարաբերակցության։ Հիմնական սոճու ձախ կողմում կան շատ սոճիներ. ցանկության դեպքում կարող եք հաջողությամբ շարունակել նկարը բաժանել ըստ ոսկե հարաբերակցության:

Նկարում վառ ուղղահայաց և հորիզոնականների առկայությունը, այն բաժանելով ոսկե հարաբերակցության հետ, նրան տալիս է հավասարակշռության և հանգստության բնույթ՝ նկարչի մտադրությանը համապատասխան: Երբ նկարչի մտադրությունն այլ է, եթե, ասենք, նա կերտում է արագ զարգացող գործողությամբ նկար, ապա երկրաչափական կոմպոզիցիոն սխեման (ուղղահայացների և հորիզոնականների գերակշռությամբ) դառնում է անընդունելի։

Ոսկե հարաբերակցությունը ճարտարապետության մեջ

Ճարտարապետությունը մեր գիտակցության կարողությունն է՝ համախմբելու դարաշրջանի զգացողությունը նյութական ձևերով: Լե Կորբյուզիե

Հին հունական ճարտարապետության ամենագեղեցիկ գործերից է Պարթենոնը (մ.թ.ա. 5-րդ դար):

Նկարը ցույց է տալիս ոսկե հարաբերակցության հետ կապված մի շարք նախշեր:

Պարթենոնի հատակագծի վրա կարելի է տեսնել նաև «ոսկե ուղղանկյունները».

Փարիզի Աստվածամոր տաճարի շենքի համամասնություններում մենք տեսնում ենք նաև ոսկե համամասնությունը:

Մ.Կազակովն իր աշխատանքում բավականին լայնորեն օգտագործել է «ոսկե հարաբերակցությունը»։

Նրա տաղանդը բազմակողմանի էր, բայց այն ավելի մեծ չափով բացահայտվեց բնակելի շենքերի և կալվածքների բազմաթիվ ավարտված նախագծերում: Օրինակ, «ոսկե հարաբերակցությունը» կարելի է գտնել Կրեմլի Սենատի շենքի ճարտարապետության մեջ:

Շատ հին քանդակագործներ իրենց աշխատանքները կառուցելիս օգտագործում էին ոսկե համամասնության կանոնը։

Դիտարկենք սա՝ օգտագործելով Ապոլլոն Բելվեդերի արձանի օրինակը. պորտալարի գիծը բաժանում է պատկերված անձի հասակը ոսկե հարաբերակցության նկատմամբ:

Եվ ևս մի քանի օրինակ՝ ապացուցելու համար, որ մենք ոսկե հարաբերակցությունը դիտարկում ենք քանդակագործության մեջ։

Պոլիկլեիտոսի Դորիֆորոսը և նրա հարմոնիկ վերլուծությունը

Վեներա դե Միլոն և նրա ներդաշնակ վերլուծությունը

Միքելանջելոյի Դավիթը

6. Ոսկե հարաբերակցություն կենդանի բնության մեջ

Աշխարհում ամեն ինչ կապված է մեկ սկզբի հետ.

Ալիքների շարժման մեջ՝ շեքսպիրյան սոնետ,

Ծաղկի համաչափության մեջ են տիեզերքի հիմքերը,

Իսկ թռչունների երգեցողության մեջ կա մոլորակների սիմֆոնիա։

Կենդանի բնությունն իր զարգացման մեջ ձգտում էր առավել ներդաշնակ կազմակերպությանը, որի չափանիշը ոսկե համամասնությունն է, որը դրսևորվում է տարբեր մակարդակներում ՝ ատոմային համակցություններից մինչև բարձրագույն կենդանիների մարմինների կառուցվածքը:

Արևածաղկի ծաղիկներն ու սերմերը, երիցուկը, թեփուկները արքայախնձորի մրգերում, փշատերևի կոները «փաթեթավորված» են լոգարիթմական պարույրների մեջ՝ ոլորվելով դեպի միմյանց: Ավելին, «աջ» և «ձախ» պարույրների թվերը միշտ կապված են միմյանց հետ, ինչպես հարևան Ֆիբոնաչիի թվերը:

Շատ բույսերի տերևների դասավորության (ֆիլոտաքսիս) բանաձևերում կան Ֆիբոնաչիի թվեր, որոնք դասավորված են խիստ կանոնավոր՝ մեկի միջոցով, օրինակ՝ պնդուկ -1/3, կաղնու, բալի - 2/5, չիչխանի -5/13:

Դիտարկենք եղերդակի կադրը: Հիմնական ցողունից գոյացել է ծիլ։ Առաջին տերեւը գտնվում էր հենց այնտեղ։ Կրակոցը ուժգին արտանետում է տարածություն, կանգ է առնում, արձակում է տերեւ, բայց այս անգամ այն ​​ավելի կարճ է, քան առաջինը, կրկին դուրս է նետվում տարածություն, բայց ավելի քիչ ուժով, արձակում է ավելի փոքր չափի տերեւ և նորից դուրս է նետվում։ .

Եթե ​​առաջին արտանետումը վերցվում է 100 միավոր, ապա երկրորդը հավասար է 62 միավորի, երրորդը՝ 38, չորրորդը՝ 24 և այլն։ Ոսկե համամասնությանը ենթակա է նաև ծաղկաթերթերի երկարությունը։ Տիեզերքի աճի և նվաճման ժամանակ բույսը պահպանեց որոշակի համամասնություններ: Նրա աճի ազդակները աստիճանաբար նվազում էին ոսկե հարաբերակցության համեմատ։

Շատ թիթեռներ և այլ միջատներ չեն խուսափել ոսկե հարաբերակցության այս ուշագրավ, իմ կարծիքով, երևույթի բախումից։ Մարմնի կրծքային և որովայնային մասերի չափերի հարաբերակցությունը համապատասխանում է ոսկե համամասնությանը։ Թևերը ծալելով՝ ցեցը կազմում է կանոնավոր հավասարակողմ եռանկյունի։ Բայց հենց որ նա բացի իր թեւերը, դուք կտեսնեք մարմինը 2,3,5,8-ի բաժանելու նույն սկզբունքը։ Ճպուռը ստեղծվում է նաև ոսկե համամասնության օրենքներով՝ պոչի և մարմնի երկարությունների հարաբերակցությունը հավասար է ընդհանուր երկարության և պոչի երկարության հարաբերությանը։

Ձյան փաթիլները ջրի բյուրեղներ են, որոնք տեսանելի են մեր անզեն աչքով: Նրանք աներևակայելի գեղեցիկ են և տարբեր ձևով, բայց դրանց բոլոր բաղադրիչները երկրաչափական ձևեր են, և առանց բացառության կառուցված են ոսկե համամասնության սկզբունքով։

Ոսկե հարաբերակցությունը նույնիսկ ազդել է պոեզիայի և երաժշտության վրա:

Պոեզիայի մեջ

Յուրաքանչյուր բանաստեղծության կառուցվածքում չենք կարող չնկատել որոշակի օրինաչափություններ, և, հետևաբար, կան ոսկե համամասնությունն ու Ֆիբոնաչիի թվերը։ Պուշկինի յուրաքանչյուր երկրորդ բանաստեղծությունը պարունակում է ոսկե հարաբերակցության օրինակ (օրինաչափություն): Իսկ հայելու համաչափության նմուշը (օրինաչափությունը) ամեն երրորդում է։ Երկու օրինաչափություններից մեկը հանդիպում է երեք բանաստեղծություններից երկուսում (524 կամ 66%), և երկու նախշերն էլ հանդիպում են յուրաքանչյուր հինգերորդ բանաստեղծության մեջ (150 կամ 19%)։

Պուշկինի ստեղծագործություններում ոսկե հատվածի հիմնական գործառույթներն են.

}