Szeregi naprzemienne to szeregi, których wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. . Najczęściej rozważa się szeregi naprzemienne, w których terminy występują naprzemiennie jeden po drugim: po każdym pozytywu następuje negatyw, po każdym negatywie następuje pozytyw. Istnieją jednak naprzemienne rzędy, w których członkowie przechodzą przez dwa, trzy i tak dalej.
Rozważmy przykład serii naprzemiennej, której początek wygląda następująco:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
i natychmiast Główne zasady zapisy naprzemiennych rzędów.
Jak w każdym szeregu, aby kontynuować dany szereg, należy podać funkcję wyznaczającą wyraz wspólny szeregu. W naszym przypadku tak N + 2 .
Jak ustawić naprzemienność znaków członków serii? Mnożenie funkcji przez minus jeden do pewnego stopnia. W jakim stopniu? Od razu podkreślmy, że nie każdy stopień zapewnia naprzemienność znaków dla wyrazów szeregu.
Powiedzmy, że chcemy, aby pierwszy wyraz szeregu naprzemiennego miał znak dodatni, jak ma to miejsce w powyższym przykładzie. Zatem minus jeden musi być do potęgi N- 1 . Zacznij podstawiać liczby zaczynając od jednego do tego wyrażenia, a otrzymasz jako wykładnik minus jeden, liczby parzystej lub nieparzystej. Jest to warunek konieczny dla znaków naprzemiennych! Ten sam wynik otrzymamy, gdy N+ 1 . Jeśli chcemy, aby pierwszy wyraz szeregu naprzemiennego miał znak ujemny, możemy zdefiniować ten szereg, mnożąc funkcję wspólnego wyrazu przez jeden do potęgi N. Otrzymujemy liczbę parzystą, nieparzystą i tak dalej. Jak widać, opisany już warunek dla znaków przemiennych jest spełniony.
Zatem możemy zapisać powyższy szereg naprzemienny w ogólnej formie:
Aby zmienić znaki członka szeregu, moc minus jeden może być sumą N oraz dowolna liczba dodatnia lub ujemna, parzysta lub nieparzysta. To samo dotyczy 3 N , 5N, ... Oznacza to, że naprzemienne znaki członków szeregu naprzemiennego zapewniają stopień minus jeden w postaci sumy N, pomnożone przez dowolną liczbę nieparzystą i dowolną liczbę.
Jakie potęgi przy minus jeden nie zapewniają naprzemienności znaków wyrazów szeregu? Te, które są obecne w formie N, pomnożone przez dowolną liczbę parzystą, do której dodano dowolną liczbę, w tym zero, parzystą lub nieparzystą. Przykładowe wskaźniki takich stopni: 2 N , 2N + 1 , 2N − 1 , 2N + 3 , 4N+ 3 ... W przypadku takich potęg, w zależności od tego, do której liczby „en” dodamy i pomnożymy przez liczbę parzystą, otrzymamy albo tylko liczby parzyste, albo tylko nieparzyste, co, jak już się przekonaliśmy, nie podaj zmienność znaków wyrazów szeregu.
Szereg naprzemienny - przypadek szczególny serie naprzemienne . Szeregi naprzemienne to serie z terminami o dowolnych znakach , czyli takie, które mogą być dodatnie i ujemne w dowolnej kolejności. Przykład szeregu naprzemiennego:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
Następnie rozważamy oznaki zbieżności szeregów przemiennych i przemiennych. Warunkową zbieżność naprzemiennych szeregów znaków można wyznaczyć za pomocą testu Leibniza. Natomiast dla szerszego zakresu szeregów - szeregów przemiennych (w tym szeregów przemiennych) - obowiązuje kryterium zbieżności absolutnej.
Zbieżność naprzemiennych ciągów znaków. Próba Leibniza
Dla szeregów znaków przemiennych obowiązuje następujące kryterium zbieżności – kryterium Leibniza.
Twierdzenie (test Leibniza). Szereg jest zbieżny, a jego suma nie przekracza pierwszego wyrazu, jeżeli jednocześnie spełnione są dwa warunki:
- wartości bezwzględne wyrazów szeregu przemiennego maleją: ty1 > ty 2 > ty 3 > ... > ty n>...;
- limit jej wspólnego terminu z nieograniczonym wzrostem N równy zeru.
Konsekwencja. Jeśli przyjmiemy sumę szeregu naprzemiennego jako sumę jego N terminach, wówczas dopuszczalny błąd nie przekroczy wartości bezwzględnej pierwszego odrzuconego składnika.
Przykład 1. Zbadaj zbieżność szeregu
Rozwiązanie. Jest to seria naprzemienna. Wartości bezwzględne jego członków maleją:
i granica wspólnego terminu
równe zeru:
Obydwa warunki testu Leibniza są spełnione, zatem szereg jest zbieżny.
Przykład 2. Zbadaj zbieżność szeregu
Rozwiązanie. Jest to seria naprzemienna. Najpierw udowodnimy, że:
,
.
Jeśli N= 1, to dla wszystkich N > N zachodzi nierówność 12 N − 7 > N. Z kolei dla każdego N. Oznacza to, że wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej. Znajdźmy granicę ogólnego wyrazu szeregu (za pomocą Reguła de l'Hopitala):
Granica wspólnego terminu wynosi zero. Obydwa warunki testu Leibniza są spełnione, więc odpowiedź na pytanie o zbieżność jest pozytywna.
Przykład 3. Zbadaj zbieżność szeregu
Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę szereg naprzemienny. Przekonajmy się, czy spełniony jest pierwszy warunek kryterium Leibniza, czyli wymóg. Aby wymóg został spełniony, jest to konieczne
Zadbaliśmy o to, aby wymóg został spełniony dla wszystkich N > 0 . Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Znajdźmy granicę ogólnego wyrazu szeregu:
.
Limit nie jest zerowy. Zatem drugi warunek kryterium Leibniza nie jest spełniony, zatem o zbieżności nie można mówić.
Przykład 4. Zbadaj zbieżność szeregu
Rozwiązanie. W tym szeregu po dwóch wyrazach ujemnych następują dwa dodatnie. Ta seria jest również naprzemienna. Sprawdźmy, czy spełniony jest pierwszy warunek testu Leibniza.
Wymóg jest spełniony dla wszystkich N > 1 . Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Przekonajmy się, czy granica wyrazu ogólnego jest równa zeru (stosując regułę L'Hopitala):
.
Mamy zero. Zatem oba warunki kryterium Leibniza są spełnione. Konwergencja ma miejsce.
Przykład 5. Zbadaj zbieżność szeregu
Rozwiązanie. To jest seria naprzemienna. Sprawdźmy, czy spełniony jest pierwszy warunek testu Leibniza. Ponieważ
,
Ponieważ N ≥ 0 , następnie 3 N+ 2 > 0 . Z kolei dla każdego N, Dlatego . W konsekwencji wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej. Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Przekonajmy się, czy granica wyrazu ogólnego szeregu jest równa zeru (stosując regułę L'Hopitala):
.
Otrzymaliśmy wartość zerową. Obydwa warunki testu Leibniza są spełnione, zatem szereg ten jest zbieżny.
Przykład 6. Zbadaj zbieżność szeregu
Rozwiązanie. Sprawdźmy, czy dla tego szeregu przemiennego spełniony jest pierwszy warunek testu Leibniza:
Wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej. Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Sprawdźmy, czy granica wspólnego terminu jest równa zeru:
.
Granica wspólnego terminu nie wynosi zero. Drugi warunek kryterium Leibniza nie jest spełniony. Dlatego ten szereg jest rozbieżny.
Próba Leibniza jest znakiem warunkowa zbieżność szeregu. Oznacza to, że wnioski dotyczące zbieżności i rozbieżności rozważanych powyżej szeregów przemiennych można uzupełnić: szeregi te zbiegają się (lub rozchodzą) warunkowo.
Zbieżność absolutna szeregów przemiennych
Niech rząd
– znak naprzemienny. Rozważmy szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków:
Definicja. Mówi się, że szereg jest absolutnie zbieżny, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest zbieżny. Jeśli szereg naprzemienny jest zbieżny, a szereg złożony z wartości bezwzględnych jego członków jest rozbieżny, wówczas taki szereg naprzemienny nazywa się zbieżny warunkowo lub nieabsolutnie .
Twierdzenie. Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny warunkowo.
Przykład 7. Określ, czy szereg jest zbieżny
Rozwiązanie. Temu szeregowi obok wyrazów dodatnich odpowiada szereg To uogólniony szereg harmoniczny, w którym , zatem szereg jest rozbieżny. Sprawdźmy, czy spełnione są warunki testu Leibniza.
Zapiszmy wartości bezwzględne pierwszych pięciu wyrazów serii:
.
Jak widać wyrazy szeregu maleją w wartości bezwzględnej. Pierwsze kryterium Leibniza jest spełnione. Sprawdźmy, czy granica wspólnego terminu jest równa zeru:
Otrzymaliśmy wartość zerową. Obydwa warunki kryterium Leibniza są spełnione. Oznacza to, że według kryterium Leibniza następuje zbieżność. A odpowiedni szereg z wyrazami dodatnimi jest rozbieżny. Zatem szereg ten jest zbieżny warunkowo.
Przykład 8. Określ, czy szereg jest zbieżny
absolutnie, warunkowo lub rozbieżnie.
Rozwiązanie. Temu szeregowi obok wyrazów dodatnich odpowiada szereg. Jest to uogólniony szereg harmoniczny, w którym zatem szereg jest rozbieżny. Sprawdźmy, czy spełnione są warunki testu Leibniza.
Definicja 1
Szereg liczbowy $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, którego wyrazy mają dowolne znaki (+), (?), nazywany jest szeregiem przemiennym.
Omówione powyżej szeregi przemienne są szczególnym przypadkiem szeregów przemiennych; Jest oczywiste, że nie każdy szereg naprzemienny jest naprzemienny. Na przykład seria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ naprzemiennie, ale nie naprzemiennie.
Zauważ, że w szeregu naprzemiennym istnieje nieskończenie wiele wyrazów ze znakiem (+) i znakiem (-). Jeśli nie jest to prawdą, np. szereg zawiera skończoną liczbę wyrazów ujemnych, to można je odrzucić i rozpatrywać szereg złożony wyłącznie z wyrazów dodatnich i odwrotnie.
Definicja 2
Jeśli szereg liczbowy $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny i jego suma jest równa S, a suma częściowa jest równa $S_n$ , to $r_(n ) =S-S_( n) $ nazywa się resztą szeregu, a $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ do \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, tj. reszta szeregu zbieżnego dąży do 0.
Definicja 3
Szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ nazywany jest absolutnie zbieżnym, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Definicja 4
Jeżeli szereg liczbowy $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny, a szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n)\prawo| $, złożony z wartości bezwzględnych jego członków, jest rozbieżny, wówczas pierwotny szereg nazywa się warunkowo (nieabsolutnie) zbieżnym.
Twierdzenie 1 (wystarczające kryterium zbieżności szeregów przemiennych)
Szereg przemienny $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny i bezwzględnie, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów jest zbieżny $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Komentarz
Twierdzenie 1 dostarcza jedynie warunku wystarczającego zbieżności szeregów przemiennych. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tj. jeśli szereg naprzemienny $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny, to nie jest konieczne, aby szereg złożony z modułów $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (może być zbieżny lub rozbieżny). Na przykład seria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ zbiega się według kryterium Leibniza, a szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (szereg harmoniczny) jest rozbieżny.
Właściwość 1
Jeśli szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnej permutacji jego wyrazów, a suma szeregu nie zależy od kolejność warunków. Jeśli $S"$ jest sumą wszystkich jego wyrazów dodatnich, a $S""$ jest sumą wszystkich wartości bezwzględnych wyrazów ujemnych, to suma szeregu $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ równa się $S=S"-S""$.
Własność 2
Jeśli szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest bezwzględnie zbieżny i $C=(\rm const)$, to szereg $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ jest również całkowicie zbieżny.
Własność 3
Jeśli szeregi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ i $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ są bezwzględnie zbieżne, to wówczas szeregi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ są również absolutnie zbieżne.
Właściwość 4 (Twierdzenie Riemanna)
Jeżeli szereg jest zbieżny warunkowo, to niezależnie od tego, jaką liczbę A wybierzemy, możemy zmienić wyrazy tego szeregu tak, aby jego suma okazała się dokładnie równa A; Co więcej, możliwe jest przestawienie wyrazów szeregu warunkowo zbieżnego, tak aby po tym był on rozbieżny.
Przykład 1
Zbadaj szereg pod kątem zbieżności warunkowej i absolutnej
\[\suma \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Rozwiązanie. Szereg ten jest naprzemienny, którego wyraz ogólny będzie oznaczony wzorem: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Przykład 2
Zbadaj szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pod kątem zbieżności bezwzględnej i warunkowej.
- Zbadajmy szereg pod kątem zbieżności absolutnej. Oznaczmy $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ i ułóżmy szereg wartości bezwzględnych $a_(n) =\ lewy|u_(n ) \prawy|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Otrzymujemy szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ z wyrazami dodatnimi, do których stosujemy test graniczny do porównywania szeregów. Dla porównania z szeregiem $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ rozważmy szereg mający postać $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ten szereg jest szeregiem Dirichleta z wykładnikiem $p=\frac(1)(2)
- Następnie sprawdzamy oryginalny szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pod kątem warunku konwergencja. W tym celu sprawdzamy spełnienie warunków testu Leibniza. Warunek 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, gdzie $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , tj. ten szereg jest naprzemienny. Aby sprawdzić warunek 2) dotyczący monotonicznego zmniejszania wyrazów szeregu, stosujemy następującą metodę. Rozważmy funkcję pomocniczą $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ zdefiniowaną w $x\in (|a_(n)|))). Następnie
Stwierdzenie o zbieżności w testach Cauchy'ego i d'Alemberta wynika z porównania z postępem geometrycznym (z mianownikami lim ¯ n → ∞ | za n + 1 za n | (\ Displaystyle \ varlimsup _ (n \ do \ infty) \ lewo | (\ Frac (a_ (n + 1)) (a_ (n))) \ prawo |) I α (\ displaystyle \ alfa) odpowiednio), o rozbieżności – z faktu, że wspólny wyraz szeregu nie dąży do zera.
Test Cauchy'ego jest silniejszy niż test D'Alemberta w tym sensie, że jeśli test D'Alemberta wskazuje na zbieżność, to test Cauchy'ego wskazuje na zbieżność; jeśli test Cauchy'ego nie pozwala na wyciągnięcie wniosku o zbieżności, to test D'Alemberta również nie pozwala na wyciągnięcie żadnych wniosków; Istnieją szeregi, dla których test Cauchy'ego wskazuje na zbieżność, natomiast test D'Alemberta nie wskazuje na zbieżność.
Całkowy test Cauchy'ego-Maclaurina
Niech będzie podany szereg ∑ n = 1 ∞ za n , za n ⩾ 0 (\ Displaystyle \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) a_ (n), a_ (n) \ geqslant 0) i funkcja fa (x) : R → R (\ Displaystyle f (x): \ mathbb (R) \ do \ mathbb (R) ) takie, że:
Potem seria ∑ n = 1 ∞ za n (\ Displaystyle \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) a_ (n)) i integralne ∫ 1 ∞ fa (x) re x (\ Displaystyle \ int \ limity _ (1) ^ (\ infty) f (x) dx) zbiegają się lub rozchodzą jednocześnie, oraz ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ za n ⩾ ∫ k ∞ fa (x) re x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ za n (\ Displaystyle \ forall k \ geqslant 1 \ \ suma _ (n = k) ^ (\ infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
objaw Raabe
Niech będzie podany szereg ∑ za n (\ displaystyle \ suma a_ (n)), za n > 0 (\ displaystyle a_ (n)> 0) I R n = n (za n za n + 1 - 1) (\ Displaystyle R_ (n) = n \ lewo ({\ Frac (a_ (n)) (a_ (n + 1))) -1 \ prawo)}.
Test Raabe opiera się na porównaniu z uogólnionym szeregiem harmonicznym
Działania na wierszach
Przykłady
Rozważ serię 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\ Displaystyle (\ Frac (1) (2)) + (\ Frac (1) (3)) + (\ Frac (1) (2 ^ (2))) + (\ Frac (1) (3 ^ ( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Dla tego wiersza:
Test Cauchy'ego wskazuje zatem na zbieżność, natomiast test D'Alemberta nie pozwala na wyciągnięcie żadnych wniosków.
Rozważ serię ∑ n = 1 ∞ 2 n - (- 1) n (\ Displaystyle \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) 2 ^ (n- (-1) ^ (n))}
Test Cauchy'ego wskazuje zatem na rozbieżność, natomiast test D'Alemberta nie pozwala na wyciągnięcie żadnych wniosków.
Wiersz ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\ Displaystyle \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) (\ Frac (1) (n ^ (\ alfa )))) zbiega się o godz α > 1 (\ displaystyle \ alfa > 1) i różni się w α ⩽ 1 (\ Displaystyle \ alfa \ leqslant 1), Jednakże:
Znaki Cauchy'ego i d'Alemberta nie pozwalają zatem na wyciąganie żadnych wniosków.
Wiersz ∑ n = 1 ∞ (- 1) n n (\ Displaystyle \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) (\ Frac ((-1) ^ (n)) (n))) jest zbieżny warunkowo według kryterium Leibniza, ale nie bezwzględnie, ponieważ szereg harmoniczny ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\ Displaystyle \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) \ lewo | (\ Frac ((-1) ^ (n)) (n)) \ prawo | = \ suma _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) różni się.
, nieograniczona w lewym sąsiedztwie punktu b (\ displaystyle b). Całka niewłaściwa drugiego rodzaju ∫ za b fa (x) re x (\ Displaystyle \ int \ limity _ (a) ^ (b) f (x) dx) zwany absolutnie zbieżny, jeśli całka jest zbieżna ∫ za b | f(x) | re x (\ Displaystyle \ int \ limity _ (a) ^ (b) | f (x) | dx).
