Es hora de solucionarlo métodos de extracción de raíces. Se basan en las propiedades de las raíces, en particular, en la igualdad, que es cierta para cualquier número b no negativo.

A continuación veremos los principales métodos de extracción de raíces uno por uno.

Comencemos con el caso más simple: extraer raíces de números naturales usando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.

Si tablas de cuadrados, cubos, etc. Si no lo tienes a mano, lo lógico es utilizar el método de extracción de raíz, que consiste en descomponer el número radical en factores primos.

Vale la pena mencionar especialmente lo que es posible para raíces con exponentes impares.

Finalmente, consideremos un método que nos permita encontrar secuencialmente los dígitos del valor raíz.

Empecemos.

Utilizando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.

En los casos más sencillos, las tablas de cuadrados, cubos, etc. permiten extraer raíces. ¿Qué son estas tablas?

La tabla de cuadrados de números enteros del 0 al 99 inclusive (que se muestra a continuación) consta de dos zonas. La primera zona de la tabla está ubicada sobre un fondo gris; al seleccionar una fila específica y una columna específica, le permite componer un número del 0 al 99. Por ejemplo, seleccionemos una fila de 8 decenas y una columna de 3 unidades, con esto fijamos el número 83. La segunda zona ocupa el resto de la tabla. Cada celda está ubicada en la intersección de una determinada fila y una determinada columna, y contiene el cuadrado del número correspondiente del 0 al 99. En la intersección de nuestra fila elegida de 8 decenas y la columna 3 de unidades hay una celda con el número 6,889, que es el cuadrado del número 83.

Las tablas de cubos, tablas de cuartas potencias de números del 0 al 99, etc. son similares a la tabla de cuadrados, solo que contienen cubos, cuartas potencias, etc. en la segunda zona. números correspondientes.

Tablas de cuadrados, cubos, cuartas potencias, etc. le permite extraer raíces cuadradas, raíces cúbicas, raíces cuartas, etc. en consecuencia a partir de los números de estas tablas. Expliquemos el principio de su uso a la hora de extraer raíces.

Digamos que necesitamos extraer la raíz enésima del número a, mientras que el número a está contenido en la tabla de potencias enésimas. Usando esta tabla encontramos el número b tal que a=b n. Entonces , por lo tanto, el número b será la raíz deseada de enésimo grado.

Como ejemplo, mostremos cómo usar una tabla cúbica para extraer la raíz cúbica de 19,683. Encontramos el número 19,683 en la tabla de cubos, de ella encontramos que este número es el cubo del número 27, por lo tanto, .

Está claro que las tablas de enésimas potencias son muy convenientes para extraer raíces. Sin embargo, a menudo no están disponibles y su compilación requiere algo de tiempo. Además, a menudo es necesario extraer raíces de números que no están contenidos en las tablas correspondientes. En estos casos, hay que recurrir a otros métodos de extracción de raíces.

Factorizar un número radical en factores primos

Una forma bastante conveniente de extraer la raíz de un número natural (si, por supuesto, se extrae la raíz) es descomponer el número radical en factores primos. Su el punto es este: después de eso es bastante fácil representarlo como una potencia con el exponente deseado, lo que permite obtener el valor de la raíz. Aclaremos este punto.

Sea la raíz enésima de un número natural a y su valor sea igual a b. En este caso, la igualdad a=b n es cierta. El número b, como cualquier número natural, se puede representar como el producto de todos sus factores primos p 1 , p 2 , …, p m en la forma p 1 ·p 2 ·…·p m , y el número radical a en este caso se representa como (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Dado que la descomposición de un número en factores primos es única, la descomposición del número radical a en factores primos tendrá la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, lo que permite calcular el valor de la raíz como.

Tenga en cuenta que si la descomposición en factores primos de un número radical a no se puede representar en la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, entonces la raíz enésima de dicho número a no se extrae por completo.

Resolvamos esto al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Saca la raíz cuadrada de 144.

Solución.

Si nos fijamos en la tabla de cuadrados que figura en el párrafo anterior, se puede ver claramente que 144 = 12 2, de lo que se desprende que la raíz cuadrada de 144 es igual a 12.

Pero a la luz de este punto, nos interesa saber cómo se extrae la raíz descomponiendo el número radical 144 en factores primos. Veamos esta solución.

vamos a descomponernos 144 a factores primos:

Es decir, 144=2·2·2·2·3·3. A partir de la descomposición resultante se pueden realizar las siguientes transformaciones: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Por eso, .

Usando las propiedades del grado y las propiedades de las raíces, la solución podría formularse de manera un poco diferente: .

Respuesta:

Para consolidar el material, considere las soluciones a dos ejemplos más.

Ejemplo.

Calcula el valor de la raíz.

Solución.

La factorización prima del número radical 243 tiene la forma 243=3 5 . De este modo, .

Respuesta:

Ejemplo.

¿El valor raíz es un número entero?

Solución.

Para responder a esta pregunta, factoricemos el número radical en factores primos y veamos si se puede representar como un cubo de un número entero.

Tenemos 285 768 = 2 3 ·3 6 ·7 2. La expansión resultante no se puede representar como el cubo de un número entero, ya que la potencia del factor primo 7 no es múltiplo de tres. Por lo tanto, la raíz cúbica de 285,768 no se puede extraer por completo.

Respuesta:

No.

Extraer raíces de números fraccionarios

Es hora de descubrir cómo extraer la raíz de un número fraccionario. Deje que el número radical fraccionario se escriba como p/q. Según la propiedad de la raíz de un cociente, se cumple la siguiente igualdad. De esta igualdad se sigue regla para extraer la raíz de una fracción: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador dividido por la raíz del denominador.

Veamos un ejemplo de cómo extraer una raíz de una fracción.

Ejemplo.

¿Cuál es la raíz cuadrada de la fracción común 25/169?

Solución.

Usando la tabla de cuadrados, encontramos que la raíz cuadrada del numerador de la fracción original es igual a 5 y la raíz cuadrada del denominador es igual a 13. Entonces . Con esto se completa la extracción de la raíz de la fracción común 25/169.

Respuesta:

La raíz de una fracción decimal o de un número mixto se extrae tras sustituir los números radicales por fracciones ordinarias.

Ejemplo.

Saca la raíz cúbica de la fracción decimal 474,552.

Solución.

Imaginemos la fracción decimal original como una fracción ordinaria: 474,552=474552/1000. Entonces . Queda por extraer las raíces cúbicas que se encuentran en el numerador y denominador de la fracción resultante. Porque 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 y 1 000 = 10 3, entonces Y . Ya sólo queda completar los cálculos. .

Respuesta:

.

Sacar la raíz de un número negativo

Vale la pena detenerse en extraer raíces de números negativos. Al estudiar las raíces, dijimos que cuando el exponente de la raíz es un número impar, entonces puede haber un número negativo debajo del signo de la raíz. Le dimos a estas entradas el siguiente significado: para un número negativo −a y un exponente impar de la raíz 2 n−1, . Esta igualdad da regla para extraer raíces impares de números negativos: para extraer la raíz de un número negativo, debes tomar la raíz del número positivo opuesto y poner un signo menos delante del resultado.

Veamos la solución de ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra el valor de la raíz.

Solución.

Transformemos la expresión original para que haya un número positivo debajo del signo raíz: . Ahora reemplaza el número mixto con una fracción ordinaria: . Aplicamos la regla para extraer la raíz de una fracción ordinaria: . Queda por calcular las raíces en el numerador y denominador de la fracción resultante: .

Aquí hay un breve resumen de la solución: .

Respuesta:

.

Determinación bit a bit del valor raíz

En el caso general, debajo de la raíz hay un número que, utilizando las técnicas comentadas anteriormente, no se puede representar como la enésima potencia de ningún número. Pero en este caso es necesario conocer el significado de una raíz determinada, al menos hasta cierto signo. En este caso, para extraer la raíz, puede utilizar un algoritmo que le permita obtener secuencialmente una cantidad suficiente de valores de dígitos del número deseado.

El primer paso de este algoritmo es descubrir cuál es el bit más significativo del valor raíz. Para ello se elevan secuencialmente los números 0, 10, 100, ... a la potencia n hasta el momento en que se obtiene un número que supera al número radical. Entonces el número que elevamos a la potencia n en la etapa anterior indicará el dígito más significativo correspondiente.

Por ejemplo, considere este paso del algoritmo al extraer la raíz cuadrada de cinco. Cogemos los números 0, 10, 100,... y los elevamos al cuadrado hasta obtener un número mayor que 5. Tenemos 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, lo que significa que el dígito más significativo será el de las unidades. El valor de este bit, así como los inferiores, lo encontraremos en los siguientes pasos del algoritmo de extracción de raíces.

Todos los pasos posteriores del algoritmo tienen como objetivo aclarar secuencialmente el valor de la raíz encontrando los valores de los siguientes bits del valor deseado de la raíz, comenzando por el más alto y pasando a los más bajos. Por ejemplo, el valor de la raíz en el primer paso resulta ser 2, en el segundo – 2,2, en el tercero – 2,23, y así sucesivamente 2,236067977…. Describamos cómo se encuentran los valores de los dígitos.

Los dígitos se encuentran buscando entre sus posibles valores 0, 1, 2,..., 9. En este caso, las enésimas potencias de los números correspondientes se calculan en paralelo y se comparan con el número radical. Si en algún momento el valor del grado excede el número radical, entonces se considera encontrado el valor del dígito correspondiente al valor anterior, y si esto no sucede, se realiza la transición al siguiente paso del algoritmo de extracción de raíces; entonces el valor de este dígito es 9.

Expliquemos estos puntos usando el mismo ejemplo de extraer la raíz cuadrada de cinco.

Primero encontramos el valor del dígito de las unidades. Pasaremos por los valores 0, 1, 2,..., 9, calculando 0 2, 1 2,..., 9 2, respectivamente, hasta obtener un valor mayor que el número radical 5. Conviene presentar todos estos cálculos en forma de tabla:

Entonces el valor del dígito de las unidades es 2 (ya que 2 2<5 , а 2 3 >5). Pasemos a encontrar el valor de las décimas. En este caso elevaremos al cuadrado los números 2,0, 2,1, 2,2,..., 2,9, comparando los valores resultantes con el número radical 5:

Desde 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, entonces el valor de las décimas es 2. Puedes proceder a encontrar el valor de las centésimas:

Así se encontró el siguiente valor de la raíz de cinco, es igual a 2,23. Y así podrás seguir encontrando valores: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Para consolidar el material, analizaremos la extracción de la raíz con una precisión de centésimas utilizando el algoritmo considerado.

Primero determinamos el dígito más significativo. Para ello, elevamos al cubo los números 0, 10, 100, etc. hasta obtener un número mayor que 2.151.186. Tenemos 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, por lo que el dígito más significativo es el dígito de las decenas.

Determinemos su valor.

Desde 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, entonces el valor de las decenas es 1. Pasemos a las unidades.

Por tanto, el valor de la cifra de las unidades es 2. Pasemos a las décimas.

Dado que incluso 12,9 3 es menor que el número radical 2 151,186, entonces el valor de las décimas es 9. Queda por realizar el último paso del algoritmo; nos dará el valor de la raíz con la precisión requerida.

En esta etapa, el valor de la raíz se encuentra con una precisión de centésimas: .

Como conclusión de este artículo, me gustaría decir que existen muchas otras formas de extraer raíces. Pero para la mayoría de las tareas, las que estudiamos anteriormente son suficientes.

Bibliografía.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. Instituciones educacionales.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

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Hecho 1.
\(\bullet\) Tomemos algún número no negativo \(a\) (es decir, \(a\geqslant 0\) ). Entonces (aritmética) raíz cuadrada del número \(a\) se llama un número no negativo \(b\) , cuando lo elevamos al cuadrado obtenemos el número \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(igual que )\quad a=b^2\] De la definición se deduce que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ¡Estas restricciones son una condición importante para la existencia de una raíz cuadrada y deben recordarse!
Recuerde que cualquier número elevado al cuadrado da un resultado no negativo. Es decir, \(100^2=10000\geqslant 0\) y \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) ¿A qué es igual \(\sqrt(25)\)? Sabemos que \(5^2=25\) y \((-5)^2=25\) . Dado que por definición debemos encontrar un número no negativo, entonces \(-5\) no es adecuado, por lo tanto, \(\sqrt(25)=5\) (ya que \(25=5^2\) ).
Encontrar el valor de \(\sqrt a\) se llama sacar la raíz cuadrada del número \(a\), y el número \(a\) se llama expresión radical.
\(\bullet\) Basado en la definición, expresión \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. no tiene sentido.

Hecho 2.
Para cálculos rápidos, será útil aprender la tabla de cuadrados de números naturales de \(1\) a \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 y \quad17^2=289\\ 8^2=64 y \quad18^2=324\\ 9^2=81 y \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline\end(array)\]

Hecho 3.
¿Qué operaciones puedes hacer con raíces cuadradas?
\(\bala\) La suma o diferencia de raíces cuadradas NO ES IGUAL a la raíz cuadrada de la suma o diferencia, es decir \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Por lo tanto, si necesita calcular, por ejemplo, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , inicialmente debe encontrar los valores de \(\sqrt(25)\) y \(\ sqrt(49)\ ) y luego dóblelos. Por eso, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si los valores \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) no se pueden encontrar al sumar \(\sqrt a+\sqrt b\), entonces dicha expresión no se transforma más y permanece como está. Por ejemplo, en la suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) podemos encontrar que \(\sqrt(49)\) es \(7\) , pero \(\sqrt 2\) no se puede transformar en de cualquier manera, es por eso \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Desafortunadamente, esta expresión no se puede simplificar más.\(\bullet\) El producto/cociente de raíces cuadradas es igual a la raíz cuadrada del producto/cociente, es decir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (siempre que ambos lados de las igualdades tengan sentido)
Ejemplo: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Usando estas propiedades, es conveniente encontrar raíces cuadradas de números grandes factorizándolas.
Veamos un ejemplo. Encontremos \(\sqrt(44100)\) . Desde \(44100:100=441\) , entonces \(44100=100\cdot 441\) . Según el criterio de divisibilidad, el número \(441\) es divisible por \(9\) (ya que la suma de sus dígitos es 9 y es divisible por 9), por lo tanto, \(441:9=49\), es decir, \(441=9\ cdot 49\) .
Así obtuvimos: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Veamos otro ejemplo: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Vamos a mostrar cómo ingresar números bajo el signo de raíz cuadrada usando el ejemplo de la expresión \(5\sqrt2\) (notación corta para la expresión \(5\cdot \sqrt2\)). Dado que \(5=\sqrt(25)\) , entonces \ Tenga en cuenta también que, por ejemplo,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

¿Porqué es eso? Expliquemos usando el ejemplo 1). Como ya comprenderás, no podemos transformar de alguna manera el número \(\sqrt2\). Imaginemos que \(\sqrt2\) es algún número \(a\) . En consecuencia, la expresión \(\sqrt2+3\sqrt2\) no es más que \(a+3a\) (un número \(a\) más tres más de los mismos números \(a\)). Y sabemos que esto es igual a cuatro de esos números \(a\) , es decir, \(4\sqrt2\) .

Hecho 4.
\(\bullet\) Suelen decir “no se puede extraer la raíz” cuando no puedes deshacerte del signo \(\sqrt () \ \) de la raíz (radical) al encontrar el valor de un número . Por ejemplo, puedes tomar la raíz del número \(16\) porque \(16=4^2\) , por lo tanto \(\sqrt(16)=4\) . Pero es imposible extraer la raíz del número \(3\), es decir, encontrar \(\sqrt3\), porque no hay ningún número que al cuadrado dé \(3\) .
Estos números (o expresiones con esos números) son irracionales. Por ejemplo, números \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etcétera. son irracionales.
También son irracionales los números \(\pi\) (el número “pi”, aproximadamente igual a \(3.14\)), \(e\) (este número se llama número de Euler, es aproximadamente igual a \(2.7 \)) etc.
\(\bullet\) Tenga en cuenta que cualquier número será racional o irracional. Y juntos todos los números racionales y todos los irracionales forman un conjunto llamado un conjunto de números reales. Este conjunto se indica con la letra \(\mathbb(R)\) .
Esto quiere decir que todos los números que conocemos actualmente se llaman números reales.

Hecho 5.
\(\bullet\) El módulo de un número real \(a\) es un número no negativo \(|a|\) igual a la distancia del punto \(a\) al \(0\) en el verdadera linea. Por ejemplo, \(|3|\) y \(|-3|\) son iguales a 3, ya que las distancias desde los puntos \(3\) y \(-3\) a \(0\) son las igual e igual a \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) es un número no negativo, entonces \(|a|=a\) .
Ejemplo: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) es un número negativo, entonces \(|a|=-a\) .
Ejemplo: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Dicen que para los números negativos el módulo "se come" al menos, mientras que los números positivos, así como el número \(0\), el módulo los deja sin cambios.
PERO Esta regla sólo se aplica a los números. Si debajo de su signo de módulo hay una \(x\) desconocida (o alguna otra desconocida), por ejemplo, \(|x|\) , de la cual no sabemos si es positiva, cero o negativa, entonces deshágase de ella. del módulo no podemos. En este caso, esta expresión sigue siendo la misma: \(|x|\) . \(\bullet\) Las siguientes fórmulas son válidas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( proporcionado ) a\geqslant 0\] Muy a menudo se comete el siguiente error: dicen que \(\sqrt(a^2)\) y \((\sqrt a)^2\) son lo mismo. Esto sólo es cierto si \(a\) es un número positivo o cero. Pero si \(a\) es un número negativo, entonces esto es falso. Basta considerar este ejemplo. Tomemos en lugar de \(a\) el número \(-1\) . Entonces \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , pero la expresión \((\sqrt (-1))^2\) no existe en absoluto (después de todo, ¡Es imposible usar el signo raíz y poner números negativos!).
Por lo tanto, llamamos su atención sobre el hecho de que \(\sqrt(a^2)\) no es igual a \((\sqrt a)^2\) ! Ejemplo 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), porque \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dado que \(\sqrt(a^2)=|a|\) , entonces \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (la expresión \(2n\) denota un número par)
Es decir, al sacar la raíz de un número que es en algún grado, este grado se reduce a la mitad.
Ejemplo:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tenga en cuenta que si no se suministra el módulo, resulta que la raíz del número es igual a \(-25\ ) ; pero recordamos que por definición de raíz esto no puede suceder: al extraer una raíz, siempre debemos obtener un número positivo o cero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ya que cualquier número elevado a una potencia par no es negativo)

Hecho 6.
¿Cómo comparar dos raíces cuadradas?
\(\bullet\) Para raíces cuadradas es cierto: si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEjemplo:
1) comparar \(\sqrt(50)\) y \(6\sqrt2\) . Primero, transformemos la segunda expresión en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Así, desde \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) ¿Entre qué números enteros se encuentra \(\sqrt(50)\)?
Dado que \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) y \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparemos \(\sqrt 2-1\) y \(0.5\) . Supongamos que \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(alineado) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((suma uno a ambos lados))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((cuadrando ambos lados))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(alineado)\] Vemos que hemos obtenido una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta y \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tenga en cuenta que sumar un determinado número a ambos lados de la desigualdad no afecta su signo. Multiplicar/dividir ambos lados de una desigualdad por un número positivo tampoco afecta su signo, ¡pero multiplicar/dividir por un número negativo invierte el signo de la desigualdad!
Puedes elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación/desigualdad SÓLO SI ambos lados no son negativos. Por ejemplo, en la desigualdad del ejemplo anterior puedes elevar ambos lados al cuadrado, en la desigualdad \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Cabe recordar que \[\begin(alineado) &\sqrt 2\aprox 1.4\\ &\sqrt 3\aprox 1.7 \end(alineado)\]¡Conocer el significado aproximado de estos números te ayudará a comparar números! \(\bullet\) Para extraer la raíz (si se puede extraer) de algún número grande que no está en la tabla de cuadrados, primero debes determinar entre qué “centenas” se encuentra, luego – entre cuáles “ decenas”, y luego determine el último dígito de este número. Demostremos cómo funciona esto con un ejemplo.
Tomemos \(\sqrt(28224)\) . Sabemos que \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Tenga en cuenta que \(28224\) está entre \(10\,000\) y \(40\,000\) . Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) está entre \(100\) y \(200\) .
Ahora determinemos entre qué “decenas” se encuentra nuestro número (es decir, por ejemplo, entre \(120\) y \(130\)). También de la tabla de cuadrados sabemos que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., entonces \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Entonces vemos que \(28224\) está entre \(160^2\) y \(170^2\) . Por lo tanto, el número \(\sqrt(28224)\) está entre \(160\) y \(170\) .
Intentemos determinar el último dígito. Recordemos qué números de un solo dígito, cuando se elevan al cuadrado, dan \(4\) al final. Estos son \(2^2\) y \(8^2\). Por lo tanto, \(\sqrt(28224)\) terminará en 2 u 8. Comprobemos esto. Encontremos \(162^2\) y \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Por lo tanto, \(\sqrt(28224)=168\) . ¡Voilá!

Para resolver adecuadamente el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, primero es necesario estudiar material teórico, que le presentará numerosos teoremas, fórmulas, algoritmos, etc. A primera vista, puede parecer que esto es bastante simple. Sin embargo, encontrar una fuente en la que la teoría para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas se presente de forma sencilla y comprensible para estudiantes de cualquier nivel de formación es, de hecho, una tarea bastante difícil. Los libros de texto escolares no siempre se pueden tener a mano. Y encontrar fórmulas básicas para el examen de matemáticas puede resultar complicado incluso en Internet.

¿Por qué es tan importante estudiar teoría en matemáticas no solo para quienes toman el Examen Estatal Unificado?

1. Porque amplía tus horizontes. Estudiar material teórico en matemáticas es útil para cualquiera que quiera obtener respuestas a una amplia gama de preguntas relacionadas con el conocimiento del mundo que lo rodea. Todo en la naturaleza está ordenado y tiene una lógica clara. Esto es precisamente lo que se refleja en la ciencia, a través de la cual es posible comprender el mundo.
2. Porque desarrolla la inteligencia.. Al estudiar materiales de referencia para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, además de resolver diversos problemas, una persona aprende a pensar y razonar de manera lógica, a formular pensamientos de manera competente y clara. Desarrolla la capacidad de analizar, generalizar y sacar conclusiones.

Lo invitamos a evaluar personalmente todas las ventajas de nuestro enfoque de sistematización y presentación de materiales educativos.

Muy a menudo, al resolver problemas, nos enfrentamos a grandes números de los que debemos extraer Raíz cuadrada. Muchos estudiantes deciden que esto es un error y comienzan a resolver el ejemplo completo. ¡Bajo ninguna circunstancia deberías hacer esto! Hay dos razones para esto:

1. Las raíces de grandes números aparecen en los problemas. Especialmente en los de texto;
2. Existe un algoritmo mediante el cual estas raíces se calculan casi de forma oral.

Consideraremos este algoritmo hoy. Quizás algunas cosas le parezcan incomprensibles. Pero si prestas atención a esta lección, recibirás un arma poderosa contra raíces cuadradas.

Entonces, el algoritmo:

1. Limite la raíz requerida arriba y abajo a números que sean múltiplos de 10. Por lo tanto, reduciremos el rango de búsqueda a 10 números;
2. De estos 10 números, elimine aquellos que definitivamente no pueden ser raíces. Como resultado, quedarán 1-2 números;
3. Eleva al cuadrado estos 1 o 2 números. Aquel cuyo cuadrado sea igual al número original será la raíz.

Antes de poner en práctica este algoritmo, veamos cada paso individual.

Limitación de raíz

En primer lugar, debemos saber entre qué números se encuentra nuestra raíz. Es muy deseable que los números sean múltiplos de diez:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Obtenemos una serie de números:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

¿Qué nos dicen estos números? Es simple: tenemos límites. Tomemos, por ejemplo, el número 1296. Se encuentra entre 900 y 1600. Por lo tanto, su raíz no puede ser menor que 30 ni mayor que 40:

[Título de la imagen]

Lo mismo se aplica a cualquier otro número del cual puedas encontrar la raíz cuadrada. Por ejemplo, 3364:

[Título de la imagen]

Así, en lugar de un número incomprensible, obtenemos un rango muy específico en el que se encuentra la raíz original. Para limitar aún más el área de búsqueda, continúe con el segundo paso.

Eliminando números obviamente innecesarios

Entonces, tenemos 10 números, candidatos a la raíz. Los obtuvimos muy rápidamente, sin pensamientos complejos ni multiplicaciones en una columna. Es hora de moverse.

Lo creas o no, ahora reduciremos el número de números candidatos a dos, ¡nuevamente sin ningún cálculo complicado! Basta conocer la regla especial. Aquí lo tienes:

El último dígito del cuadrado depende solo del último dígito. número original.

En otras palabras, basta con mirar el último dígito del cuadrado e inmediatamente entenderemos dónde termina el número original.

Sólo hay 10 dígitos que pueden quedar en último lugar. Intentemos descubrir en qué se convierten cuando se elevan al cuadrado. Echa un vistazo a la tabla:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Esta tabla es otro paso hacia el cálculo de la raíz. Como puede ver, los números de la segunda línea resultaron ser simétricos con respecto a los cinco. Por ejemplo:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Como puedes ver, el último dígito es el mismo en ambos casos. Esto quiere decir que, por ejemplo, la raíz de 3364 debe terminar en 2 u 8. Por otro lado, recordamos la restricción del párrafo anterior. Obtenemos:

[Título de la imagen]

Los cuadrados rojos indican que aún no conocemos esta cifra. Pero la raíz está en el rango de 50 a 60, en el que sólo hay dos números terminados en 2 y 8:

[Título de la imagen]

¡Eso es todo! De todas las raíces posibles, ¡solo dejamos dos opciones! Y esto es en el caso más difícil, porque el último dígito puede ser 5 o 0. ¡Y entonces solo habrá un candidato para las raíces!

Cálculos finales

Entonces, nos quedan 2 números candidatos. ¿Cómo saber cuál es la raíz? La respuesta es obvia: eleva ambos números al cuadrado. La que al cuadrado dé el número original será la raíz.

Por ejemplo, para el número 3364 encontramos dos números candidatos: 52 y 58. Elevémoslos al cuadrado:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

¡Eso es todo! ¡Resultó que la raíz es 58! Al mismo tiempo, para simplificar los cálculos, utilicé la fórmula de los cuadrados de la suma y la diferencia. ¡Gracias a esto ni siquiera tuve que multiplicar los números en una columna! Este es otro nivel de optimización de cálculo, pero, por supuesto, es completamente opcional :)

Ejemplos de cálculo de raíces.

La teoría es, por supuesto, buena. Pero comprobémoslo en la práctica.

[Título de la imagen]

Primero, averigüemos entre qué números se encuentra el número 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ahora veamos el último número. Es igual a 6. ¿Cuándo sucede esto? Sólo si la raíz termina en 4 o 6. Obtenemos dos números:

Sólo queda elevar al cuadrado cada número y compararlo con el original:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

¡Excelente! El primer cuadrado resultó ser igual al número original. Entonces esta es la raíz.

Tarea. Calcula la raíz cuadrada:

[Título de la imagen]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Veamos el último dígito:

1369 → 9;
33; 37.

Encuadrelo:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Aquí está la respuesta: 37.

Tarea. Calcula la raíz cuadrada:

[Título de la imagen]

Limitamos el número:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Veamos el último dígito:

2704 → 4;
52; 58.

Encuadrelo:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Recibimos la respuesta: 52. Ya no será necesario elevar al cuadrado el segundo número.

Tarea. Calcula la raíz cuadrada:

[Título de la imagen]

Limitamos el número:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Veamos el último dígito:

4225 → 5;
65.

Como puedes ver, después del segundo paso solo queda una opción: 65. Esta es la raíz deseada. Pero aún así cuadramos y comprobamos:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Todo es correcto. Anotamos la respuesta.

Conclusión

Por desgracia, no hay nada mejor. Veamos las razones. Hay dos de ellos:

• En cualquier examen normal de matemáticas, ya sea el Examen Estatal o el Examen Estatal Unificado, está prohibido el uso de calculadoras. Y si traes una calculadora a clase, fácilmente te pueden expulsar del examen.
• No seas como los estúpidos estadounidenses. Que no son como raíces: no pueden sumar dos números primos. Y cuando ven fracciones, generalmente se ponen histéricos.

Antes de las calculadoras, los estudiantes y profesores calculaban raíces cuadradas a mano. Hay varias formas de calcular manualmente la raíz cuadrada de un número. Algunos de ellos ofrecen sólo una solución aproximada, otros dan una respuesta exacta.

Pasos

factorización prima

Factoriza el número radical en factores que sean números cuadrados. Dependiendo del número radical obtendrás una respuesta aproximada o exacta. Los números cuadrados son números de los cuales se puede sacar la raíz cuadrada entera. Los factores son números que al multiplicarse dan el número original. Por ejemplo, los factores del número 8 son 2 y 4, ya que 2 x 4 = 8, los números 25, 36, 49 son números cuadrados, ya que √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factores cuadrados son factores, que son números cuadrados. Primero, intenta factorizar el número radical en factores cuadrados.

• Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 400 (a mano). Primero intenta factorizar 400 en factores cuadrados. 400 es múltiplo de 100, es decir, divisible por 25; este es un número cuadrado. Al dividir 400 entre 25, obtienes 16. El número 16 también es un número cuadrado. Por lo tanto, 400 se puede factorizar en los factores cuadrados de 25 y 16, es decir, 25 x 16 = 400.
• Esto se puede escribir de la siguiente manera: √400 = √(25 x 16).

1. La raíz cuadrada del producto de algunos términos es igual al producto de las raíces cuadradas de cada término, es decir, √(a x b) = √a x √b. Usa esta regla para sacar la raíz cuadrada de cada factor cuadrado y multiplicar los resultados para encontrar la respuesta.

   • En nuestro ejemplo, toma la raíz de 25 y 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Si el número radical no se descompone en dos factores cuadrados (y esto sucede en la mayoría de los casos), no podrás encontrar la respuesta exacta en forma de un número entero. Pero puedes simplificar el problema descomponiendo el número radical en un factor cuadrado y un factor ordinario (un número del que no se puede sacar la raíz cuadrada completa). Luego sacarás la raíz cuadrada del factor cuadrado y sacarás la raíz del factor común.

   • Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada del número 147. El número 147 no se puede factorizar en dos factores cuadrados, pero se puede factorizar en los siguientes factores: 49 y 3. Resuelve el problema de la siguiente manera:
     • = √(49×3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Si es necesario, estime el valor de la raíz. Ahora puedes estimar el valor de la raíz (encontrar un valor aproximado) comparándolo con los valores de las raíces de los números cuadrados que están más cerca (a ambos lados de la recta numérica) del número radical. Recibirás el valor de la raíz como una fracción decimal, que deberá multiplicarse por el número detrás del signo de la raíz.

   • Volvamos a nuestro ejemplo. El número radical es 3. Los números cuadrados más cercanos a él serán los números 1 (√1 = 1) y 4 (√4 = 2). Así, el valor de √3 se sitúa entre 1 y 2. Dado que el valor de √3 probablemente esté más cerca de 2 que de 1, nuestra estimación es: √3 = 1,7. Multiplicamos este valor por el número del signo raíz: 7 x 1,7 = 11,9. Si haces los cálculos con una calculadora, obtendrás 12,13, que se acerca bastante a nuestra respuesta.
     • Este método también funciona con números grandes. Por ejemplo, considere √35. El número radical es 35. Los números cuadrados más cercanos a él serán los números 25 (√25 = 5) y 36 (√36 = 6). Así, el valor de √35 se sitúa entre 5 y 6. Como el valor de √35 está mucho más cerca de 6 que de 5 (porque 35 es sólo 1 menos que 36), podemos decir que √35 es ligeramente menor que 6 La comprobación de la calculadora nos da la respuesta 5,92: teníamos razón.

4. Otra forma es factorizar el número radical en factores primos. Los factores primos son números que son divisibles sólo por 1 y por sí mismos. Escribe los factores primos de una serie y encuentra pares de factores idénticos. Estos factores se pueden eliminar del signo raíz.

   • Por ejemplo, calcula la raíz cuadrada de 45. Factorizamos el número radical en factores primos: 45 = 9 x 5 y 9 = 3 x 3. Por lo tanto, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 se puede sacar como signo raíz: √45 = 3√5. Ahora podemos estimar √5.
   • Veamos otro ejemplo: √88.
     • = √(2×44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Recibiste tres multiplicadores de 2; toma un par de ellos y muévelos más allá del signo raíz.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Ahora puedes evaluar √2 y √11 y encontrar una respuesta aproximada.

   Calcular la raíz cuadrada manualmente

   Usando división larga

   1. Este método implica un proceso similar a la división larga y proporciona una respuesta precisa. Primero, dibuje una línea vertical que divida la hoja en dos mitades, y luego hacia la derecha y ligeramente debajo del borde superior de la hoja, dibuje una línea horizontal hasta la línea vertical. Ahora divide el número radical en pares de números, comenzando con la parte fraccionaria después del punto decimal. Entonces, el número 79520789182.47897 se escribe como "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Por ejemplo, calculemos la raíz cuadrada del número 780,14. Dibuja dos líneas (como se muestra en la imagen) y escribe el número dado en la forma "7 80, 14" en la parte superior izquierda. Es normal que el primer dígito desde la izquierda sea un dígito no apareado. Escribirás la respuesta (la raíz de este número) en la parte superior derecha.

   2. Para el primer par de números (o número único) de la izquierda, encuentre el entero más grande n cuyo cuadrado sea menor o igual que el par de números (o número único) en cuestión. En otras palabras, encuentre el número cuadrado más cercano, pero más pequeño, al primer par de números (o número único) de la izquierda, y saque la raíz cuadrada de ese número cuadrado; obtendrás el número n. Escribe la n que encontraste en la parte superior derecha y escribe el cuadrado de n en la parte inferior derecha.

      • En nuestro caso, el primer número de la izquierda será el 7. El siguiente, el 4.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Resta el cuadrado del número n que acabas de encontrar del primer par de números (o número único) de la izquierda. Escribe el resultado del cálculo debajo del sustraendo (el cuadrado del número n).

      • En nuestro ejemplo, resta 4 de 7 y obtiene 3.

   4. Anota el segundo par de números y anótalo junto al valor obtenido en el paso anterior. Luego duplica el número en la parte superior derecha y escribe el resultado en la parte inferior derecha con la adición de "_×_=".

      • En nuestro ejemplo, el segundo par de números es "80". Escribe "80" después del 3. Luego, duplicar el número en la parte superior derecha da 4. Escribe "4_×_=" en la parte inferior derecha.

   5. Complete los espacios en blanco a la derecha.

      • En nuestro caso, si ponemos el número 8 en lugar de guiones, entonces 48 x 8 = 384, que es más de 380. Por lo tanto, 8 es un número demasiado grande, pero 7 servirá. Escriba 7 en lugar de guiones y obtenga: 47 x 7 = 329. Escriba 7 en la parte superior derecha: este es el segundo dígito de la raíz cuadrada deseada del número 780,14.

   6. Resta el número resultante del número actual de la izquierda. Escribe el resultado del paso anterior debajo del número actual a la izquierda, encuentra la diferencia y escríbelo debajo del sustraendo.

      • En nuestro ejemplo, resta 329 de 380, lo que equivale a 51.

   7. Repita el paso 4. Si el par de números que se transfieren es la parte fraccionaria del número original, coloque un separador (coma) entre las partes entera y fraccionaria en la raíz cuadrada requerida en la parte superior derecha. A la izquierda, baja el siguiente par de números. Duplique el número en la parte superior derecha y escriba el resultado en la parte inferior derecha con la adición de "_×_=".

      • En nuestro ejemplo, el siguiente par de números a eliminar será la parte fraccionaria del número 780.14, así que coloque el separador de las partes entera y fraccionaria en la raíz cuadrada deseada en la parte superior derecha. Anota 14 y escríbelo en la parte inferior izquierda. El doble del número en la parte superior derecha (27) es 54, así que escribe "54_×_=" en la parte inferior derecha.

   8. Repita los pasos 5 y 6. Encuentra el número más grande en lugar de los guiones de la derecha (en lugar de los guiones debes sustituir el mismo número) para que el resultado de la multiplicación sea menor o igual que el número actual de la izquierda.

      • En nuestro ejemplo, 549 x 9 = 4941, que es menor que el número actual a la izquierda (5114). Escribe 9 en la parte superior derecha y resta el resultado de la multiplicación del número actual a la izquierda: 5114 - 4941 = 173.

   9. Si necesita encontrar más decimales para la raíz cuadrada, escriba un par de ceros a la izquierda del número actual y repita los pasos 4, 5 y 6. Repita los pasos hasta que obtenga la precisión de la respuesta (número de decimales) que necesita. necesidad.

   Comprender el proceso

   Para dominar este método, imagina el número cuya raíz cuadrada necesitas encontrar como el área del cuadrado S. En este caso, buscarás la longitud del lado L de dicho cuadrado. Calculamos el valor de L tal que L² = S.

   Da una letra para cada número en la respuesta. Denotemos por A el primer dígito del valor de L (la raíz cuadrada deseada). B será el segundo dígito, C el tercero y así sucesivamente.

   Especifique una letra para cada par de primeros dígitos. Denotemos con S a el primer par de dígitos del valor de S, con S b el segundo par de dígitos, y así sucesivamente.

   Comprenda la conexión entre este método y la división larga. Al igual que en la división, donde solo nos interesa el siguiente dígito del número que estamos dividiendo cada vez, al calcular una raíz cuadrada, trabajamos con un par de dígitos en secuencia (para obtener el siguiente dígito en el valor de la raíz cuadrada). ).

   1. Considere el primer par de dígitos Sa del número S (Sa = 7 en nuestro ejemplo) y encuentre su raíz cuadrada. En este caso, el primer dígito A del valor de raíz cuadrada deseado será un dígito cuyo cuadrado sea menor o igual que S a (es decir, buscamos una A tal que la desigualdad A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Digamos que necesitamos dividir 88962 entre 7; aquí el primer paso será similar: consideramos el primer dígito del número divisible 88962 (8) y seleccionamos el número más grande que, multiplicado por 7, dé un valor menor o igual a 8. Es decir, buscamos un número d para el cual la desigualdad es verdadera: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imagina mentalmente un cuadrado cuya área necesitas calcular. Estás buscando L, es decir, la longitud del lado de un cuadrado cuyo área es igual a S. A, B, C son los números del número L. Puedes escribirlo de otra manera: 10A + B = L (para un número de dos dígitos) o 100A + 10B + C = L (para un número de tres dígitos) y así sucesivamente.

      • Dejar (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Recuerda que 10A+B es un número en el que el dígito B representa las unidades y el dígito A representa las decenas. Por ejemplo, si A=1 y B=2, entonces 10A+B es igual al número 12. (10A+B)² es el área de todo el cuadrado, 100A²- área de la gran plaza interior, B²- área del pequeño cuadrado interior, 10A×B- el área de cada uno de los dos rectángulos. Sumando las áreas de las figuras descritas, encontrarás el área del cuadrado original.