प्रत्यावर्ती श्रंखला वे श्रंखलाएँ हैं जिनके पद एकांतर रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होते हैं। . सबसे अधिक बार, वैकल्पिक श्रृंखला पर विचार किया जाता है, जिसमें शब्द एक के माध्यम से वैकल्पिक होते हैं: प्रत्येक सकारात्मक के बाद एक नकारात्मक होता है, प्रत्येक नकारात्मक के बाद एक सकारात्मक होता है। लेकिन ऐसी वैकल्पिक पंक्तियाँ हैं जिनमें सदस्य दो, तीन, और इसी तरह वैकल्पिक होते हैं।
एक वैकल्पिक श्रृंखला के उदाहरण पर विचार करें, जिसकी शुरुआत इस तरह दिखती है:
3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...
और तत्काल वैकल्पिक श्रृंखला लिखने के लिए सामान्य नियम।
जैसा कि किसी भी श्रृंखला के मामले में होता है, इस श्रृंखला को जारी रखने के लिए, आपको एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है जो श्रृंखला के सामान्य शब्द को निर्धारित करता है। हमारे मामले में, यह एन + 2 .
और श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों के प्रत्यावर्तन को कैसे सेट करें? फ़ंक्शन को माइनस एक से कुछ डिग्री गुणा करना। किस डिग्री में? हम तुरंत इस बात पर जोर देते हैं कि कोई भी डिग्री श्रृंखला की शर्तों पर संकेतों के प्रत्यावर्तन प्रदान नहीं करती है।
मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि वैकल्पिक श्रृंखला का पहला पद सकारात्मक हो, जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है। फिर माइनस वन को सत्ता में होना चाहिए एन- 1। इस व्यंजक में एक से प्रारंभ करते हुए संख्याओं को प्रतिस्थापित करना प्रारंभ करें और आपको प्राप्त होगा शून्य से एक पर एक घातांक के रूप में, फिर एक सम, फिर एक विषम संख्या। संकेतों के प्रत्यावर्तन के लिए यह आवश्यक शर्त है! जब हम वही परिणाम प्राप्त करते हैं एन+ 1। यदि हम चाहते हैं कि प्रत्यावर्ती श्रृंखला का पहला पद ऋणात्मक हो, तो हम इस श्रृंखला को सामान्य पद फलन को एक से घात से गुणा करके निर्दिष्ट कर सकते हैं एन. हमें एक सम संख्या मिलती है, फिर एक विषम संख्या, और इसी तरह। जैसा कि आप देख सकते हैं, संकेतों के प्रत्यावर्तन के लिए पहले से वर्णित शर्त पूरी हो गई है।
इस प्रकार, हम उपरोक्त वैकल्पिक श्रृंखला को सामान्य रूप में लिख सकते हैं:
एक श्रृंखला के एक शब्द के वैकल्पिक संकेतों के लिए, पावर माइनस एक का योग हो सकता है एनऔर कोई भी धनात्मक या ऋणात्मक, सम या विषम संख्या। 3 पर भी यही बात लागू होती है एन , 5एन, ... अर्थात्, वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यावर्तन राशि के रूप में शून्य से एक डिग्री प्रदान करता है एनकिसी भी विषम संख्या और किसी भी संख्या से गुणा।
माइनस वन पर कौन सी डिग्री श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यावर्तन प्रदान नहीं करती है? जो रूप में मौजूद हैं एनकिसी भी सम संख्या से गुणा किया जाता है, जिसमें शून्य, सम या विषम सहित कोई भी संख्या जोड़ी जाती है। ऐसी डिग्री के संकेतकों के उदाहरण: 2 एन , 2एन + 1 , 2एन − 1 , 2एन + 3 , 4एन+ 3 ... ऐसी डिग्रियों के मामले में, जिस संख्या के साथ "एन" जोड़ा जाता है, उसके आधार पर एक सम संख्या से गुणा किया जाता है, या तो केवल सम या केवल विषम संख्याएँ प्राप्त होती हैं, जो कि, जैसा कि हमने पहले ही पता लगा लिया है, करता है श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यावर्तन न दें।
वैकल्पिक श्रृंखला - एक विशेष मामला वैकल्पिक श्रृंखला . वैकल्पिक श्रृंखला मनमाना संकेतों के सदस्यों के साथ श्रृंखला है अर्थात्, जो किसी भी क्रम में सकारात्मक और नकारात्मक हो सकते हैं। एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक उदाहरण:
3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...
अगला, प्रत्यावर्ती और प्रत्यावर्ती श्रृंखला के लिए अभिसरण मानदंड पर विचार करें। लीबनिज़ परीक्षण का उपयोग करके वैकल्पिक श्रृंखला का सशर्त अभिसरण स्थापित किया जा सकता है। और श्रृंखला की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए - प्रत्यावर्ती (वैकल्पिक सहित) - पूर्ण अभिसरण का संकेत है।
वैकल्पिक श्रृंखला का अभिसरण। लीबनिज संकेत
प्रत्यावर्ती श्रेणी के लिए, अभिसरण का निम्नलिखित परीक्षण होता है - लीबनिज परीक्षण।
प्रमेय (लीबनिज परीक्षण)।श्रृंखला अभिसरण करती है, और इसका योग पहले पद से अधिक नहीं होता है, यदि निम्नलिखित दो शर्तें एक साथ संतुष्ट होती हैं:
- वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्यों के पूर्ण मूल्य घटते हैं: यू1 > यू 2 > यू 3 > ... > यूएन > ...;
- असीमित वृद्धि के साथ इसकी सामान्य अवधि की सीमा एनशून्य के बराबर।
परिणाम। यदि एक वैकल्पिक श्रृंखला के योग के लिए हम इसका योग लेते हैं एनशर्तें, तो इस मामले में अनुमत त्रुटि पहले छोड़े गए पद के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होगी।
उदाहरण 1एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें
समाधान। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। इसके सदस्यों के पूर्ण मूल्य घटते हैं:
और सामान्य शब्द की सीमा
शून्य के बराबर:
लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए श्रृंखला अभिसरित होती है।
उदाहरण 2एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें
समाधान। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। आइए पहले साबित करें कि:
,
.
अगर एन= 1, तो सभी के लिए एन > एनअसमानता 12 एन − 7 > एन. बदले में, प्रत्येक के लिए एन. इसलिए, अर्थात्, श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घट जाती हैं। आइए हम श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें (उपयोग करके L'hopital का नियम):
सामान्य शब्द की सीमा शून्य है। लीबनिज कसौटी की दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए अभिसरण के प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है।
उदाहरण 3एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें
समाधान। एक वैकल्पिक श्रृंखला दी गई है। आइए देखें कि क्या लीबनिज चिह्न की पहली शर्त, यानी आवश्यकता पूरी होती है। आवश्यकता को पूरा करने के लिए, यह आवश्यक है कि
हमने सुनिश्चित किया है कि सभी के लिए आवश्यकता पूरी हो एन > 0 . पहला लीबनिज परीक्षण संतुष्ट है। श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात कीजिए:
.
सीमा शून्य नहीं है। इस प्रकार, लीबनिज परीक्षण की दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए अभिसरण प्रश्न से बाहर है।
उदाहरण 4एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें
समाधान। इस श्रृंखला में, दो नकारात्मक शब्दों के बाद दो सकारात्मक शब्द आते हैं। यह सिलसिला भी बदल रहा है। आइए जानें कि लीबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है या नहीं।
आवश्यकता सभी के लिए पूरी होती है एन > 1 . पहला लीबनिज परीक्षण संतुष्ट है। पता लगाएँ कि क्या सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है (L'Hopital के नियम का उपयोग करके):
.
हमें शून्य मिला है। इस प्रकार, लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। अभिसरण होता है।
उदाहरण 5एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें
समाधान। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। आइए जानें कि लीबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है या नहीं। क्योंकि
,
क्योंकि एन ≥ 0 , फिर 3 एन+ 2 > 0। बदले में, प्रत्येक के लिए एन, इसीलिए । नतीजतन, श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घट जाती हैं। पहला लीबनिज परीक्षण संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या श्रृंखला के सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है (L'Hopital के नियम का उपयोग करके):
.
शून्य मान प्राप्त हुआ। लीबनिज परीक्षण की दोनों स्थितियाँ संतुष्ट हैं, इसलिए यह श्रृंखला अभिसरण करती है।
उदाहरण 6एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें
समाधान। आइए जानें कि इस वैकल्पिक श्रृंखला के लिए लीबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है या नहीं:
श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घटती हैं। पहला लीबनिज परीक्षण संतुष्ट है। पता करें कि क्या सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है:
.
सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर नहीं है। लीबनिज चिन्ह की दूसरी शर्त पूरी नहीं होती है। इसलिए, यह श्रृंखला विचलन करती है।
लीबनिज चिन्ह एक संकेत है श्रृंखला का सशर्त अभिसरण. इसका अर्थ है कि ऊपर विचार की गई वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण और विचलन के बारे में निष्कर्ष को पूरक किया जा सकता है: ये श्रृंखला सशर्त अभिसरण (या विचलन) करती हैं।
वैकल्पिक श्रृंखला का पूर्ण अभिसरण
पंक्ति दें
- बारी-बारी से। इसके सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बनी श्रृंखला पर विचार करें:
परिभाषा। एक श्रृंखला को पूरी तरह से अभिसारी कहा जाता है यदि कोई श्रृंखला अपने शब्दों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी होती है। यदि एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला अभिसरण करती है, और इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला का विचलन होता है, तो ऐसी प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त रूप से या बिल्कुल अभिसरण नहीं .
प्रमेय।यदि कोई श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरित होती है, तो यह सशर्त रूप से अभिसरित होती है।
उदाहरण 7निर्धारित करें कि कोई श्रृंखला अभिसरण करती है या नहीं
समाधान। सकारात्मक शब्दों के बगल में इस श्रृंखला के अनुरूप यह श्रृंखला है सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला, कहा पे , इसलिए श्रृंखला अलग हो जाती है। आइए देखें कि लीबनिज परीक्षण की शर्तें पूरी होती हैं या नहीं।
आइए श्रृंखला के पहले पांच पदों के पूर्ण मान लिखें:
.
जैसा कि आप देख सकते हैं, श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घटती हैं। पहला लीबनिज परीक्षण संतुष्ट है। पता करें कि क्या सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है:
शून्य मान प्राप्त हुआ। लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। अर्थात् लाइबनिज के आधार पर अभिसरण होता है। और सकारात्मक शब्दों वाली संबंधित श्रृंखला अलग हो जाती है। इसलिए, यह श्रृंखला सशर्त अभिसरण करती है।
उदाहरण 8निर्धारित करें कि कोई श्रृंखला अभिसरण करती है या नहीं
बिल्कुल, सशर्त, या भिन्न।
समाधान। इस श्रृंखला के अनुरूप, सकारात्मक शब्दों के बगल में, श्रृंखला है यह एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला है, जिसमें, इसलिए श्रृंखला विचलन करती है। आइए देखें कि लीबनिज परीक्षण की शर्तें पूरी होती हैं या नहीं।
परिभाषा 1
संख्या श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, जिसके सदस्यों के मनमाना चिह्न (+), (?) हैं, एक वैकल्पिक श्रृंखला कहलाती है।
ऊपर विचार की गई वैकल्पिक श्रृंखला वैकल्पिक श्रृंखला का एक विशेष मामला है; यह स्पष्ट है कि प्रत्येक वैकल्पिक श्रृंखला वैकल्पिक नहीं है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ वैकल्पिक लेकिन चरित्र-वैकल्पिक श्रृंखला नहीं।
ध्यान दें कि शब्दों की एक वैकल्पिक श्रृंखला में, चिह्न (+) और चिह्न (-) दोनों के साथ अपरिमित रूप से अनेक होते हैं। यदि यह सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए, श्रृंखला में नकारात्मक शब्दों की एक सीमित संख्या है, तो उन्हें छोड़ दिया जा सकता है और केवल सकारात्मक शब्दों से बनी श्रृंखला पर विचार किया जा सकता है, और इसके विपरीत।
परिभाषा 2
यदि संख्या श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ अभिसरण करती है और इसका योग S के बराबर है, और आंशिक योग $S_n$ के बराबर है, तो $r_(n ) =S-S_( n) $ को श्रृंखला का शेष कहा जाता है, और $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ से \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, यानी अभिसारी श्रृंखला का शेष भाग 0 की ओर प्रवृत्त होता है।
परिभाषा 3
एक श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ को बिल्कुल अभिसरण कहा जाता है यदि श्रृंखला अपने सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बना है $\sum \limits _(n=1) )^(\ infty )\बाएं|u_(n)\दाएं| $।
परिभाषा 4
यदि संख्या श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ अभिसरित होती है और श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_( एन)\सही| $, इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बना है, विचलन करता है, फिर मूल श्रृंखला को सशर्त (गैर-बिल्कुल) अभिसरण कहा जाता है।
प्रमेय 1 (वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक पर्याप्त मानदंड)
वैकल्पिक श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूरी तरह से अभिसरण करती है यदि श्रृंखला अपने सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बना है$\sum \limits _(n=1) ^ अभिसरण (\infty )\बाएं|u_(n) \दाएं| $।
टिप्पणी
प्रमेय 1 प्रत्यावर्ती श्रृंखला के अभिसरण के लिए केवल एक पर्याप्त शर्त देता है। विलोम प्रमेय सत्य नहीं है, अर्थात यदि वैकल्पिक श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ अभिसरण करती है, तो यह आवश्यक नहीं है कि श्रृंखला मॉड्यूल $\sum \limits _(n=1)^ से बनी है ( \infty )\बाएं|u_(n) \दाएं| $ (यह अभिसारी या अपसारी हो सकता है)। उदाहरण के लिए, श्रृंखला $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ लीबनिज़ परीक्षण के अनुसार अभिसरण करता है, और इसकी शर्तों के पूर्ण मूल्यों से बनी श्रृंखला $\sum \limits _(n) है =1)^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (हार्मोनिक श्रृंखला) विचलन करता है।
संपत्ति 1
यदि श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ बिल्कुल अभिसरण करती है, तो यह अपने सदस्यों के किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए बिल्कुल अभिसरण करती है, और श्रृंखला का योग क्रम पर निर्भर नहीं करता है सदस्यों का। यदि $S"$ इसके सभी सकारात्मक शब्दों का योग है, और $S""$ इसके नकारात्मक शब्दों के सभी पूर्ण मानों का योग है, तो श्रृंखला का योग $\sum \limits _(n=) है 1)^(\infty )u_(n) $, $S=S"-S""$ के बराबर है।
संपत्ति 2
यदि श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ पूरी तरह से अभिसरित होती है और $C=(\rm const)$, तो श्रृंखला $\sum \limits _(n=1) )^ (\infty )C\cdot u_(n) $ भी पूरी तरह से एकाग्र होता है।
संपत्ति 3
यदि श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ और $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ बिल्कुल अभिसरण करते हैं, तो श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ भी बिल्कुल अभिसरण करती है।
संपत्ति 4 (रीमैन का प्रमेय)
यदि श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है, तो कोई भी संख्या A हम लेते हैं, हम इस श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि इसका योग बिल्कुल A के बराबर हो; इसके अलावा, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को इस तरह पुनर्व्यवस्थित करना संभव है कि इसके बाद यह अलग हो जाए।
उदाहरण 1
सशर्त और निरपेक्ष अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
समाधान। यह श्रृंखला साइन-अल्टरनेटिंग है, जिसका सामान्य शब्द हम निरूपित करते हैं: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
उदाहरण 2
पूर्ण और सशर्त अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ की जांच करें।
- हम पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करते हैं। $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ निरूपित करें और $a_(n) =\बाएं | u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $। हमें श्रृंखला मिलती है $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ सकारात्मक शर्तों के साथ, जिसके लिए हम श्रृंखला तुलना के लिए सीमा मानदंड लागू करते हैं। तुलना के लिए $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) (n+1) $ एक श्रृंखला पर विचार करें जिसका रूप है $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $। यह श्रृंखला घातांक $p=\frac(1)(2) के साथ एक डिरिचलेट श्रृंखला है
- इसके बाद, हम सशर्त के लिए मूल श्रृंखला $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ की जांच करते हैं अभिसरण। ऐसा करने के लिए, हम लीबनिज़ परीक्षण की शर्तों की पूर्ति की जाँच करते हैं। शर्त 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, जहाँ $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , अर्थात। यह श्रृंखला वैकल्पिक है। स्थिति 2 को सत्यापित करने के लिए) श्रृंखला की शर्तों के मोनोटोनिक कमी पर, हम निम्नलिखित विधि का उपयोग करते हैं। सहायक कार्य $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ $x\in (|a_(n)|)) के लिए परिभाषित $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ पर विचार करें. तब
कॉची और डी'अलेम्बर्ट के संकेतों में अभिसरण का अभिकथन एक ज्यामितीय प्रगति (हर के साथ) के साथ तुलना से लिया गया है। lim¯n → ∞ | एक एन + 1 एक एन | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)और α (\displaystyle \alpha )क्रमशः), विचलन के बारे में - इस तथ्य से कि श्रृंखला का सामान्य शब्द शून्य नहीं होता है।
कॉशी परीक्षण इस अर्थ में डी'अलेम्बर्ट परीक्षण से अधिक मजबूत है कि यदि डी'अलेम्बर्ट परीक्षण अभिसरण इंगित करता है, तो कौशी परीक्षण अभिसरण इंगित करता है; यदि कॉशी परीक्षण हमें अभिसरण के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है, तो डी'अलेम्बर्ट परीक्षण भी हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है; ऐसी श्रृंखलाएँ हैं जिनके लिए कौशी परीक्षण अभिसरण इंगित करता है, लेकिन डी'अलेम्बर्ट परीक्षण अभिसरण इंगित नहीं करता है।
इंटीग्रल साइन कॉची - मैकलारिन
एक श्रृंखला दी जाए ∑ n = 1 ∞ a n , a n ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)और समारोह f (x): R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )ऐसा है कि:
फिर सिलसिला ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))और अभिन्न ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)एक ही समय में अभिसरण या विचलन, और ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))
साइन राबे
एक श्रृंखला दी जाए ∑ एक n (\displaystyle \sum a_(n)), एक n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)और आर एन = एन (एक एन एन + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).
राबे साइन सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित है
पंक्ति क्रियाएँ
उदाहरण
श्रृंखला पर विचार करें 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +। . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). इस पंक्ति के लिए:
इस प्रकार, कॉची परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, जबकि डी'अलेम्बर्ट परीक्षण किसी भी निष्कर्ष को निकालने की अनुमति नहीं देता है।
श्रृंखला पर विचार करें ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))
इस प्रकार, कॉची परीक्षण विचलन को इंगित करता है, जबकि डी'एलेम्बर्ट परीक्षण किसी भी निष्कर्ष को निकालने की अनुमति नहीं देता है।
पंक्ति ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))पर अभिसरण करता है α > 1 (\displaystyle \alpha >1)और पर विचलन करता है α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), हालाँकि:
इस प्रकार, कॉची और डी'अलेम्बर्ट के संकेत हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देते हैं।
पंक्ति ∑ n = 1 ∞ (- 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))हार्मोनिक श्रृंखला के बाद से लीबनिज़ कसौटी के अनुसार सशर्त रूप से अभिसरण करता है, लेकिन बिल्कुल नहीं ∑ एन = 1 ∞ | (- 1) एन एन | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))विचलन।
, बिंदु के बाएं पड़ोस में असीमित है बी (\displaystyle b). दूसरी तरह का अनुचित अभिन्न ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)बुलाया बिल्कुल अभिसरणअगर अभिन्न अभिसरण करता है ∫ ए बी | एफ (एक्स) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).
