Ժամանակն է դասավորելու այն արմատների արդյունահանման մեթոդներ. Դրանք հիմնված են արմատների հատկությունների վրա, մասնավորապես, հավասարության վրա, որը ճիշտ է ցանկացած ոչ բացասական b թվի համար։

Ստորև մենք կանդրադառնանք արմատների արդյունահանման հիմնական մեթոդներին մեկ առ մեկ:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից՝ բնական թվերից արմատներ հանելով՝ օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակը, խորանարդի աղյուսակը և այլն:

Եթե ​​քառակուսիների, խորանարդի աղյուսակները և այլն: Եթե ​​այն ձեռքի տակ չունեք, տրամաբանական է օգտագործել արմատը հանելու մեթոդը, որը ներառում է արմատական ​​թիվը պարզ գործոնների տարրալուծումը:

Հարկ է հատուկ նշել, թե ինչ է հնարավոր կենտ ցուցիչներով արմատների համար։

Ի վերջո, եկեք դիտարկենք մի մեթոդ, որը թույլ է տալիս մեզ հաջորդաբար գտնել արմատային արժեքի թվանշանները:

Եկեք սկսենք.

Օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակ, խորանարդի աղյուսակ և այլն:

Ամենապարզ դեպքերում քառակուսիների, խորանարդների և այլնի աղյուսակները թույլ են տալիս արմատներ հանել: Որոնք են այս աղյուսակները:

0-ից 99-ը ներառյալ ամբողջ թվերի քառակուսիների աղյուսակը (ներկայացված է ստորև) բաղկացած է երկու գոտիներից։ Աղյուսակի առաջին գոտին գտնվում է մոխրագույն ֆոնի վրա, ընտրելով որոշակի տող և կոնկրետ սյունակ, այն թույլ է տալիս կազմել 0-ից մինչև 99 թիվը: Օրինակ՝ ընտրենք 8 տասնյակից բաղկացած տող և 3 միավորի սյունակ, դրանով ամրագրեցինք 83 թիվը։ Երկրորդ գոտին զբաղեցնում է աղյուսակի մնացած մասը։ Յուրաքանչյուր բջիջ գտնվում է որոշակի տողի և որոշակի սյունակի հատման կետում և պարունակում է 0-ից 99-ի համապատասխան թվի քառակուսին: Մեր ընտրած 8 տասնյակի և 3-րդ սյունակի հատման կետում կա 6889 թվով բջիջ, որը 83 թվի քառակուսին է։

Խորանարդների աղյուսակները, 0-ից 99 թվերի չորրորդ աստիճանի աղյուսակները և այլն, նման են քառակուսիների աղյուսակին, միայն երկրորդ գոտում պարունակում են խորանարդներ, չորրորդ ուժեր և այլն։ համապատասխան թվեր։

Քառակուսիների, խորանարդների, չորրորդ ուժերի աղյուսակներ և այլն: թույլ է տալիս արդյունահանել քառակուսի արմատներ, խորանարդ արմատներ, չորրորդ արմատներ և այլն: համապատասխանաբար այս աղյուսակների թվերից: Եկեք բացատրենք դրանց կիրառման սկզբունքը արմատներ հանելիս։

Ենթադրենք, մենք պետք է հանենք a թվի n-րդ արմատը, մինչդեռ a թիվը պարունակվում է n-րդ հզորությունների աղյուսակում: Օգտագործելով այս աղյուսակը, մենք գտնում ենք b թիվն այնպես, որ a=b n: Հետո , հետևաբար, b թիվը կլինի n-րդ աստիճանի ցանկալի արմատը։

Որպես օրինակ, եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է օգտագործել խորանարդի աղյուսակը 19683-ի խորանարդի արմատը հանելու համար: Մենք խորանարդների աղյուսակում գտնում ենք 19683 թիվը, որից գտնում ենք, որ այս թիվը 27 թվի խորանարդն է, հետևաբար. .

Հասկանալի է, որ n-րդ հզորությունների աղյուսակները շատ հարմար են արմատներ հանելու համար։ Այնուամենայնիվ, դրանք հաճախ ձեռքի տակ չեն, և դրանք կազմելը որոշակի ժամանակ է պահանջում։ Ավելին, հաճախ անհրաժեշտ է լինում արմատներ հանել այն թվերից, որոնք չեն պարունակվում համապատասխան աղյուսակներում։ Այս դեպքերում դուք պետք է դիմեք արմատների արդյունահանման այլ մեթոդների:

Արմատական ​​թվի ֆակտորավորում պարզ գործոնների

Բնական թվի արմատը հանելու բավականին հարմար միջոց (եթե, իհարկե, արմատը հանվում է) արմատական ​​թիվը պարզ գործոնների քայքայելն է։ Նրան բանը սա էդրանից հետո բավականին հեշտ է այն ներկայացնել որպես ուժ ցանկալի ցուցիչով, որը թույլ է տալիս ստանալ արմատի արժեքը։ Եկեք պարզաբանենք այս կետը.

Վերցնենք a բնական թվի n-րդ արմատը, իսկ արժեքը հավասար b. Այս դեպքում a=b n հավասարությունը ճիշտ է։ b թիվը, ինչպես ցանկացած բնական թիվ, կարող է ներկայացվել որպես իր բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալ p 1 , p 2 , …, p m p 1 ·p 2 ·…·p m ձևով, և այս դեպքում a արմատական ​​թիվը: ներկայացված է որպես (p 1 ·p 2 ·…·p m) n: Քանի որ թվի տարրալուծումը պարզ գործոնների եզակի է, ապա արմատական ​​թվի տարրալուծումը պարզ գործակիցների կունենա (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ձևը, որը հնարավորություն է տալիս հաշվարկել արմատի արժեքը: ինչպես .

Նկատի ունեցեք, որ եթե a արմատական ​​թվի պարզ գործակիցների տարրալուծումը չի կարող ներկայացվել (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ձևով, ապա այդպիսի a թվի n-րդ արմատն ամբողջությամբ չի հանվում:

Եկեք դա պարզենք օրինակներ լուծելիս:

Օրինակ.

Վերցրեք 144-ի քառակուսի արմատը։

Լուծում.

Եթե ​​նայեք նախորդ պարբերությունում տրված քառակուսիների աղյուսակին, ապա պարզ երևում է, որ 144 = 12 2, որից պարզ է, որ 144-ի քառակուսի արմատը հավասար է 12-ի։

Բայց այս կետի լույսի ներքո մեզ հետաքրքրում է, թե ինչպես է արմատը արդյունահանվում՝ 144 արմատական ​​թիվը տարրալուծելով պարզ գործոնների: Դիտարկենք այս լուծումը:

Եկեք քայքայվենք 144 դեպի պարզ գործոններ.

Այսինքն՝ 144=2·2·2·2·3·3: Ստացված տարրալուծման հիման վրա կարող են իրականացվել հետևյալ փոխակերպումները. 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Հետևաբար, .

Օգտագործելով աստիճանի և արմատների հատկությունները, լուծումը կարելի է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպել.

Պատասխան.

Նյութը համախմբելու համար հաշվի առեք ևս երկու օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Հաշվիր արմատի արժեքը:

Լուծում.

243 արմատական ​​թվի պարզ գործոնավորումն ունի 243=3 5 ձև։ Այսպիսով, .

Պատասխան.

Օրինակ.

Արդյո՞ք արմատային արժեքը ամբողջ թիվ է:

Լուծում.

Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք արմատական ​​թիվը դասավորենք պարզ գործոնների և տեսնենք, թե արդյոք այն կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվի խորանարդ:

Մենք ունենք 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2: Ստացված ընդլայնումը չի կարող ներկայացվել որպես ամբողջ թվի խորանարդ, քանի որ պարզ գործոնի 7-ի հզորությունը երեքի բազմապատիկ չէ: Հետևաբար, 285768-ի խորանարդի արմատը չի կարող ամբողջությամբ հանվել:

Պատասխան.

Ոչ

Արմատներ հանելը կոտորակային թվերից

Ժամանակն է պարզել, թե ինչպես կարելի է հանել կոտորակային թվի արմատը: Թող կոտորակային արմատական ​​թիվը գրվի որպես p/q: Ըստ քանորդի արմատի հատկության՝ ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. Այս հավասարությունից բխում է Կոտորակի արմատը հանելու կանոնԿոտորակի արմատը հավասար է համարիչի արմատի քանորդին, որը բաժանվում է հայտարարի արմատի վրա:

Եկեք նայենք կոտորակից արմատ հանելու օրինակին:

Օրինակ.

Որքա՞ն է 25/169 ընդհանուր կոտորակի քառակուսի արմատը:

Լուծում.

Օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակը՝ մենք գտնում ենք, որ սկզբնական կոտորակի համարիչի քառակուսի արմատը հավասար է 5-ի, իսկ հայտարարի քառակուսի արմատը հավասար է 13-ի։ Հետո . Սա ավարտում է 25/169 ընդհանուր կոտորակի արմատի արդյունահանումը:

Պատասխան.

Տասնորդական կոտորակի կամ խառը թվի արմատն արդյունահանվում է արմատական ​​թվերը սովորական կոտորակներով փոխարինելուց հետո։

Օրինակ.

Վերցրեք 474.552 տասնորդական կոտորակի խորանարդային արմատը:

Լուծում.

Պատկերացնենք սկզբնական տասնորդական կոտորակը որպես սովորական կոտորակ՝ 474.552=474552/1000։ Հետո . Մնում է դուրս հանել այն խորանարդային արմատները, որոնք գտնվում են ստացված կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ։ Որովհետեւ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 և 1 000 = 10 3, ապա Եվ . Մնում է ավարտին հասցնել հաշվարկները .

Պատասխան.

.

Բացասական թվի արմատ վերցնելը

Արժե անդրադառնալ բացասական թվերից արմատներ հանելու վրա։ Արմատներն ուսումնասիրելիս ասացինք, որ երբ արմատային ցուցիչը կենտ թիվ է, ապա արմատի նշանի տակ կարող է լինել բացասական թիվ։ Այս գրառումներին տվեցինք հետևյալ նշանակությունը՝ −a բացասական թվի և 2 n−1 արմատի կենտ ցուցիչի համար, . Այս հավասարությունը տալիս է բացասական թվերից կենտ արմատներ հանելու կանոնԲացասական թվի արմատ հանելու համար հարկավոր է վերցնել հակառակ դրական թվի արմատը և արդյունքի դիմաց դնել մինուս նշան։

Դիտարկենք լուծման օրինակը:

Օրինակ.

Գտեք արմատի արժեքը:

Լուծում.

Եկեք վերափոխենք սկզբնական արտահայտությունը, որպեսզի արմատի նշանի տակ դրական թիվ լինի. . Այժմ խառը թիվը փոխարինի՛ր սովորական կոտորակով. . Մենք կիրառում ենք սովորական կոտորակի արմատը հանելու կանոնը. . Մնում է հաշվարկել արմատները ստացված կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ. .

Ահա լուծման կարճ ամփոփագիրը. .

Պատասխան.

.

Արմատային արժեքի բիթային որոշում

Ընդհանուր դեպքում, արմատի տակ կա մի թիվ, որը, օգտագործելով վերը քննարկված տեխնիկան, չի կարող ներկայացվել որպես որևէ թվի n-րդ աստիճան։ Բայց այս դեպքում անհրաժեշտություն է առաջանում իմանալ տվյալ արմատի իմաստը, գոնե մինչև որոշակի նշան։ Այս դեպքում արմատը հանելու համար կարող եք օգտագործել ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս հաջորդաբար ստանալ ցանկալի թվի բավարար թվային արժեքներ:

Այս ալգորիթմի առաջին քայլն է պարզել, թե որն է արմատային արժեքի ամենակարևոր բիթը: Դա անելու համար 0, 10, 100, ... թվերը հաջորդաբար բարձրացվում են n հզորության, մինչև ստացվի այն պահը, երբ թիվը գերազանցում է արմատական ​​թիվը։ Այնուհետև այն թիվը, որը մենք նախորդ փուլում բարձրացրինք n հզորության, ցույց կտա համապատասխան ամենակարևոր թվանշանը:

Օրինակ, հաշվի առեք ալգորիթմի այս քայլը հինգի քառակուսի արմատը հանելիս: Վերցրեք 0, 10, 100, ... թվերը և քառակուսիացրեք դրանք մինչև ստանանք 5-ից մեծ թիվ: Մենք ունենք 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ինչը նշանակում է, որ ամենակարևոր թվանշանը կլինի մեկ թվանշանը: Այս բիթերի արժեքը, ինչպես նաև ստորինները, կգտնվեն արմատների արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլերում:

Ալգորիթմի բոլոր հետագա քայլերն ուղղված են արմատի արժեքը հաջորդաբար պարզելուն՝ գտնելով արմատի ցանկալի արժեքի հաջորդ բիթերի արժեքները՝ սկսած ամենաբարձրից և շարժվելով դեպի ամենացածրը: Օրինակ՝ արմատի արժեքը առաջին քայլում ստացվում է 2, երկրորդում՝ 2,2, երրորդում՝ 2,23, և այսպես՝ 2,236067977…: Եկեք նկարագրենք, թե ինչպես են հայտնաբերվել թվանշանների արժեքները:

Թվանշանները գտնվում են՝ փնտրելով դրանց հնարավոր արժեքները՝ 0, 1, 2, ..., 9: Այս դեպքում զուգահեռ հաշվարկվում են համապատասխան թվերի n-րդ հզորությունները, և դրանք համեմատվում են արմատական ​​թվի հետ։ Եթե ​​ինչ-որ փուլում աստիճանի արժեքը գերազանցում է արմատական ​​թիվը, ապա նախորդ արժեքին համապատասխան թվանշանի արժեքը համարվում է գտնված, և անցում է կատարվում արմատի արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլին, եթե դա տեղի չունենա, ապա այս թվանշանի արժեքը 9 է։

Եկեք բացատրենք այս կետերը՝ օգտագործելով հինգի քառակուսի արմատը հանելու նույն օրինակը:

Նախ մենք գտնում ենք միավորների թվանշանի արժեքը: Մենք կանցնենք 0, 1, 2, ..., 9 արժեքների միջով՝ համապատասխանաբար հաշվելով 0 2, 1 2, ..., 9 2, մինչև ստանանք 5-րդ ռադիկալ թվից ավելի մեծ արժեք։ Այս բոլոր հաշվարկները հարմար է ներկայացնել աղյուսակի տեսքով.

Այսպիսով, միավորների թվանշանի արժեքը 2 է (քանի որ 2 2<5 , а 2 3 >5): Անցնենք տասներորդական տեղի արժեքը գտնելուն։ Այս դեպքում մենք քառակուսի կկազմենք 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 թվերը՝ համեմատելով ստացված արժեքները 5-րդ արմատական ​​թվի հետ.

Քանի որ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, ապա տասներորդական տեղի արժեքը 2 է։ Դուք կարող եք շարունակել գտնել հարյուրերորդական տեղի արժեքը.

Այսպես է հայտնաբերվել հինգի արմատի հաջորդ արժեքը՝ այն հավասար է 2,23-ի։ Եվ այսպես, դուք կարող եք շարունակել գտնել արժեքներ. 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք արմատի արդյունահանումը հարյուրերորդական ճշգրտությամբ՝ օգտագործելով դիտարկված ալգորիթմը:

Նախ մենք որոշում ենք ամենակարևոր թվանշանը: Դա անելու համար մենք խորանարդ ենք կազմում 0, 10, 100 և այլն թվերը։ քանի դեռ չենք ստացել 2,151,186-ից մեծ թիվ։ Մենք ունենք 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , ուստի ամենակարևոր թվանշանը տասնյակների թվանշանն է:

Եկեք որոշենք դրա արժեքը:

103-ից սկսած<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, ապա տասնյակի տեղի արժեքը 1 է։ Անցնենք միավորներին:

Այսպիսով, մեկ թվանշանի արժեքը 2 է: Անցնենք տասներորդներին:

Քանի որ նույնիսկ 12,9 3-ը փոքր է 2 151,186 արմատական ​​թվից, ապա տասներորդական տեղի արժեքը 9 է։ Մնում է կատարել ալգորիթմի վերջին քայլը, այն մեզ կտա արմատի արժեքը պահանջվող ճշգրտությամբ:

Այս փուլում արմատի արժեքը ճշգրիտ է հայտնաբերվում հարյուրերորդական. .

Եզրափակելով այս հոդվածը, ես կցանկանայի ասել, որ արմատներ հանելու շատ այլ եղանակներ կան: Բայց առաջադրանքների մեծ մասի համար վերը ուսումնասիրվածները բավարար են:

Մատենագիտություն.

• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. և այլն Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար.
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տեղեկությունները մեզ թույլ են տալիս կապ հաստատել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և գալիք իրադարձությունների հետ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​գործընթացներում և/կամ Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հրապարակային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա՝ բացահայտել ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Փաստ 1.
\(\bullet\) Վերցնենք մի քանի ոչ բացասական թիվ \(a\) (այսինքն \(a\geqslant 0\) ): Այնուհետև (թվաբանություն) քառակուսի արմատ\(a\) թվից կոչվում է այնպիսի ոչ բացասական թիվ \(b\) , քառակուսի դնելով ստանում ենք \(a\) թիվը. \[\sqrt a=b\quad \text(նույնը, ինչ )\quad a=b^2\]Սահմանումից հետևում է, որ \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Այս սահմանափակումները քառակուսի արմատի գոյության կարևոր պայման են և պետք է հիշել։
Հիշեք, որ ցանկացած թիվ, երբ հրապարակվում է, ոչ բացասական արդյունք է տալիս: Այսինքն՝ \(100^2=10000\geqslant 0\) և \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ինչի՞ է հավասար \(\sqrt(25)\): Մենք գիտենք, որ \(5^2=25\) և \((-5)^2=25\) . Քանի որ ըստ սահմանման մենք պետք է գտնենք ոչ բացասական թիվ, ապա \(-5\) հարմար չէ, հետևաբար, \(\sqrt(25)=5\) (քանի որ \(25=5^2\) ):
\(\sqrt a\) արժեքը գտնելը կոչվում է \(a\) թվի քառակուսի արմատը, իսկ \(a\) թիվը կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն։
\(\bullet\) Սահմանման հիման վրա \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) արտահայտությունը և այլն: իմաստ չունի.

Փաստ 2.
Արագ հաշվարկների համար օգտակար կլինի սովորել \(1\)-ից մինչև \(20\) բնական թվերի քառակուսիների աղյուսակը. \[\սկիզբ(զանգված)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \քառատ14^2=196\\ 5^2=25 & \քառատ15^2=225\\ 6^2=36 & \քառատ16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \վերջ (զանգված)\]

Փաստ 3.
Ի՞նչ գործողություններ կարելի է անել քառակուսի արմատներով:
\(\bullet\) Քառակուսի արմատների գումարը կամ տարբերությունը ՀԱՎԱՍԱՐ ՉԷ գումարի կամ տարբերության քառակուսի արմատին, այսինքն. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել, օրինակ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , ապա սկզբում դուք պետք է գտնեք \(\sqrt(25)\) և \(\) արժեքները: sqrt(49)\ ) և ապա ծալեք դրանք: Հետևաբար, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Եթե ​​\(\sqrt a\) կամ \(\sqrt b\) արժեքները չեն գտնվել \(\sqrt a+\sqrt b\) ավելացնելիս, ապա նման արտահայտությունը հետագայում չի փոխակերպվում և մնում է այնպես, ինչպես կա: Օրինակ, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) գումարում մենք կարող ենք գտնել \(\sqrt(49)\) \(7\) է, բայց \(\sqrt 2\) չի կարող փոխակերպվել: ամեն դեպքում, դրա համար \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ցավոք, այս արտահայտությունը չի կարող ավելի պարզեցվել\(\bullet\) Քառակուսի արմատների արտադրյալը/քանակը հավասար է արտադրյալի/քանակի քառակուսի արմատին, այսինքն. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (պայմանով, որ հավասարության երկու կողմերն էլ իմաստ ունենան)
Օրինակ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Օգտագործելով այս հատկությունները, հարմար է գտնել մեծ թվերի քառակուսի արմատները՝ դրանք գործակցելով։
Դիտարկենք մի օրինակ։ Եկեք գտնենք \(\sqrt(44100)\) . Քանի որ \(44100:100=441\) , ապա \(44100=100\cdot 441\) . Ըստ բաժանելիության չափանիշի՝ \(441\) թիվը բաժանվում է \(9\)-ի (քանի որ նրա թվանշանների գումարը 9 է և բաժանվում է 9-ի), հետևաբար \(441:9=49\), այսինքն \(441=9\ cdot 49\) .
Այսպիսով մենք ստացանք. \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ. \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27)) = \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է թվեր մուտքագրել քառակուսի արմատի նշանի տակ՝ օգտագործելով \(5\sqrt2\) արտահայտության օրինակը (կարճ նշում \(5\cdot \sqrt2\) արտահայտության համար): Քանի որ \(5=\sqrt(25)\) , ուրեմն \ Նշենք նաև, որ, օրինակ.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Ինչո՞ւ է այդպես։ Եկեք բացատրենք օրինակ 1-ով): Ինչպես արդեն հասկացաք, մենք չենք կարող ինչ-որ կերպ փոխակերպել \(\sqrt2\ թիվը): Եկեք պատկերացնենք, որ \(\sqrt2\) ինչ-որ \(a\) թիվ է: Համապատասխանաբար, \(\sqrt2+3\sqrt2\) արտահայտությունը ոչ այլ ինչ է, քան \(a+3a\) (մեկ \(a\) և ևս երեք նույն թվեր \(a\)): Եվ մենք գիտենք, որ սա հավասար է չորս նման \(a\) թվերի, այսինքն \(4\sqrt2\) .

Փաստ 4.
\(\bullet\) Հաճախ ասում են «չես կարող հանել արմատը», երբ թվի արժեքը գտնելիս չես կարողանում ազատվել արմատի \(\sqrt () \\) նշանից։ . Օրինակ, կարող եք վերցնել \(16\) թվի արմատը, քանի որ \(16=4^2\) , հետևաբար \(\sqrt(16)=4\) . Բայց անհնար է հանել \(3\) թվի արմատը, այսինքն գտնել \(\sqrt3\), քանի որ չկա մի թիվ, որը քառակուսիով կտա \(3\) ։
Նման թվերը (կամ նման թվերով արտահայտությունները) իռացիոնալ են։ Օրինակ՝ թվեր \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)եւ այլն։ իռացիոնալ են.
Իռացիոնալ են նաև \(\pi\) թվերը («pi» թիվը, մոտավորապես հավասար է \(3.14\)), \(e\) (այս թիվը կոչվում է Էյլերի թիվ, այն մոտավորապես հավասար է \(2.7-ի): \)) և այլն:
\(\bullet\) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ցանկացած թիվ կլինի կամ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ: Եվ բոլոր ռացիոնալ և բոլոր իռացիոնալ թվերը միասին կազմում են մի բազմություն, որը կոչվում է իրական թվերի մի շարք.Այս բազմությունը նշվում է \(\mathbb(R)\) տառով:
Սա նշանակում է, որ բոլոր այն թվերը, որոնք մենք ներկայումս գիտենք, կոչվում են իրական թվեր:

Փաստ 5.
\(\bullet\) Իրական \(a\) թվի մոդուլը \(|a|\) ոչ բացասական թիվ է, որը հավասար է \(a\) կետից մինչև \(0\) հեռավորությանը: իրական գիծ. Օրինակ, \(|3|\) և \(|-3|\) հավասար են 3-ի, քանի որ \(3\) և \(-3\) կետերից մինչև \(0\) հեռավորությունները հավասար են նույնը և հավասար է \(3 \)-ին:
\(\bullet\) Եթե \(a\)-ը ոչ բացասական թիվ է, ապա \(|a|=a\) .
Օրինակ՝ \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Եթե \(a\)-ը բացասական թիվ է, ապա \(|a|=-a\) .
Օրինակ՝ \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Նրանք ասում են, որ բացասական թվերի դեպքում մոդուլը «ուտում է» մինուսը, մինչդեռ դրական թվերը, ինչպես նաև \(0\) թիվը, մոդուլով մնում են անփոփոխ։
ԲԱՅՑԱյս կանոնը վերաբերում է միայն թվերին: Եթե ​​ձեր մոդուլի նշանի տակ կա անհայտ \(x\) (կամ որևէ այլ անհայտ), օրինակ՝ \(|x|\) , որի մասին մենք չգիտենք՝ դրական է, զրո, թե բացասական, ապա ազատվեք։ մոդուլից մենք չենք կարող: Այս դեպքում այս արտահայտությունը մնում է նույնը՝ \(|x|\) . \(\bullet\) Հետևյալ բանաձևերը գործում են. \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(տրամադրված է) a\geqslant 0\]Շատ հաճախ կատարվում է հետևյալ սխալը՝ ասում են, որ \(\sqrt(a^2)\) և \((\sqrt a)^2\) նույնն են։ Սա ճիշտ է միայն այն դեպքում, եթե \(a\)-ը դրական թիվ է կամ զրո: Բայց եթե \(a\)-ն բացասական թիվ է, ապա սա կեղծ է: Բավական է դիտարկել այս օրինակը։ \(a\)-ի փոխարեն վերցնենք \(-1\) թիվը։ Հետո \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , բայց \((\sqrt (-1))^2\) արտահայտությունն ընդհանրապես գոյություն չունի (ի վերջո, անհնար է օգտագործել արմատային նշանը, դրեք բացասական թվեր):
Ուստի ձեր ուշադրությունը հրավիրում ենք այն փաստի վրա, որ \(\sqrt(a^2)\)-ը հավասար չէ \((\sqrt a)^2\)-ին:Օրինակ՝ 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\աջ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), որովհետեւ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Քանի որ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , ապա \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) արտահայտությունը նշանակում է զույգ թիվ)
Այսինքն՝ ինչ-որ չափով թվի արմատ վերցնելիս այս աստիճանը կրկնակի կրճատվում է։
Օրինակ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (նկատի ունեցեք, որ եթե մոդուլը չի ​​մատակարարվում, ապա ստացվում է, որ թվի արմատը հավասար է \(-25\ Բայց մենք հիշում ենք, որ ըստ արմատի սահմանման դա չի կարող լինել. արմատ հանելիս մենք միշտ պետք է ստանանք դրական թիվ կամ զրո):
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (քանի որ զույգ հզորության ցանկացած թիվ ոչ բացասական է)

Փաստ 6.
Ինչպե՞ս համեմատել երկու քառակուսի արմատները:
\(\bullet\) Քառակուսի արմատների համար ճիշտ է՝ եթե \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aՕրինակ:
1) համեմատել \(\sqrt(50)\) և \(6\sqrt2\) . Նախ, եկեք փոխակերպենք երկրորդ արտահայտությունը \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Այսպիսով, քանի որ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Ո՞ր ամբողջ թվերի միջև է գտնվում \(\sqrt(50)\):
Քանի որ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) և \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Համեմատենք \(\sqrt 2-1\) և \(0.5\) . Ենթադրենք, որ \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\սկիզբ (հավասարեցված) &\sqrt 2-1>0.5 \ \մեծ| +1\quad \text((ավելացնել մեկը երկու կողմերին))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \քառակուսի\տեքստ ((երկու կողմերի քառակուսի դնելով))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \վերջ (հավասարեցված)\]Մենք տեսնում ենք, որ սխալ անհավասարություն ենք ստացել։ Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ էր և \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Նկատի ունեցեք, որ անհավասարության երկու կողմերին որոշակի թիվ ավելացնելը չի ​​ազդում դրա նշանի վրա: Անհավասարության երկու կողմերը դրական թվով բազմապատկելը/բաժանելը նույնպես չի ազդում նրա նշանի վրա, բայց բացասական թվով բազմապատկելը/բաժանելը հակադարձում է անհավասարության նշանը:
Դուք կարող եք քառակուսի դնել հավասարման/անհավասարության երկու կողմերը ՄԻԱՅՆ ԵԹԵ երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են: Օրինակ, նախորդ օրինակի անհավասարության մեջ կարող եք քառակուսի դնել երկու կողմերը, անհավասարության մեջ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Պետք է հիշել, որ \[\սկիզբ (հավասարեցված) &\sqrt 2\մոտ 1.4\\ &\sqrt 3\մոտ 1.7 \վերջ (հավասարեցված)\]Այս թվերի մոտավոր նշանակությունը իմանալը կօգնի ձեզ թվերը համեմատելիս: \(\bullet\) Արմատը հանելու համար (եթե այն կարելի է հանել) ինչ-որ մեծ թվից, որը չկա քառակուսիների աղյուսակում, նախ պետք է որոշել, թե որ «հարյուրների» միջև է այն գտնվում, ապա՝ ո՞ր «հարյուրների» միջև։ տասնյակ», իսկ հետո որոշեք այս թվի վերջին թվանշանը: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է սա աշխատում օրինակով:
Վերցնենք \(\sqrt(28224)\) . Մենք գիտենք, որ \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) և այլն: Նկատի ունեցեք, որ \(28224\)-ը \(10\,000\) և \(40\,000\) միջև է: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\) գտնվում է \(100\) և \(200\) միջև:
Հիմա եկեք որոշենք, թե որ «տասնյակների» միջև է գտնվում մեր թիվը (այսինքն, օրինակ, \(120\) և \(130\) միջև): Նաև քառակուսիների աղյուսակից իմանում ենք, որ \(11^2=121\) , \(12^2=144\) և այլն, ապա \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ \(28224\) գտնվում է \(160^2\) և \(170^2\) միջև: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\) թիվը գտնվում է \(160\) և \(170\) միջև:
Փորձենք որոշել վերջին թվանշանը։ Հիշենք, թե միանիշ թվերը, երբ քառակուսի են, վերջում տալիս են \(4\): Սրանք \(2^2\) և \(8^2\) են: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\)-ը կավարտվի կամ 2-ով կամ 8-ով: Եկեք ստուգենք սա: Եկեք գտնենք \(162^2\) և \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Հետևաբար, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը համարժեք լուծելու համար նախ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել տեսական նյութ, որը ձեզ ծանոթացնում է բազմաթիվ թեորեմների, բանաձևերի, ալգորիթմների և այլն: Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ դա բավականին պարզ է: Այնուամենայնիվ, գտնել աղբյուր, որտեղ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության տեսությունը ներկայացվում է ցանկացած մակարդակի ուսուցման ուսանողների համար հեշտ և հասկանալի ձևով, իրականում բավականին բարդ խնդիր է: Դպրոցական դասագրքերը չի կարելի միշտ ձեռքի տակ պահել։ Իսկ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության համար հիմնական բանաձեւեր գտնելը կարող է դժվար լինել նույնիսկ ինտերնետում:

Ինչո՞ւ է այդքան կարևոր մաթեմատիկայի տեսություն ուսումնասիրելը ոչ միայն միասնական պետական ​​քննություն հանձնողների համար:

1. Քանի որ դա ընդլայնում է ձեր հորիզոնները. Մաթեմատիկայի տեսական նյութի ուսումնասիրությունը օգտակար է բոլորի համար, ովքեր ցանկանում են ստանալ իրենց շրջապատող աշխարհի իմացությանը վերաբերող հարցերի լայն շրջանակի պատասխաններ: Բնության մեջ ամեն ինչ պատվիրված է և ունի հստակ տրամաբանություն։ Հենց դա է արտացոլված գիտության մեջ, որի միջոցով հնարավոր է հասկանալ աշխարհը։
2. Որովհետև զարգացնում է ինտելեկտը. Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության համար տեղեկատու նյութեր ուսումնասիրելով, ինչպես նաև տարբեր խնդիրներ լուծելով՝ մարդը սովորում է տրամաբանորեն մտածել և տրամաբանել, գրագետ և հստակ ձևակերպել մտքերը: Նա զարգացնում է վերլուծելու, ընդհանրացնելու, եզրակացություններ անելու կարողությունը։

Հրավիրում ենք Ձեզ անձամբ գնահատել ուսումնական նյութերի համակարգման և ներկայացման մեր մոտեցման բոլոր առավելությունները:

Շատ հաճախ խնդիրներ լուծելիս բախվում ենք մեծ թվերի, որոնցից պետք է քաղել Քառակուսի արմատ. Շատ ուսանողներ որոշում են, որ դա սխալ է և սկսում են նորից լուծել ամբողջ օրինակը: Ոչ մի դեպքում չպետք է դա անեք: Դրա համար երկու պատճառ կա.

1. Խնդիրների մեջ իսկապես հայտնվում են մեծ թվերի արմատներ: Հատկապես տեքստային;
2. Կա ալգորիթմ, որով այս արմատները հաշվարկվում են գրեթե բանավոր:

Մենք այսօր կքննարկենք այս ալգորիթմը: Միգուցե որոշ բաներ ձեզ անհասկանալի թվան։ Բայց եթե դուք ուշադրություն դարձնեք այս դասին, դուք կստանաք հզոր զենք դեմ քառակուսի արմատներ.

Այսպիսով, ալգորիթմը.

1. Վերևում և ներքևում անհրաժեշտ արմատը սահմանափակեք 10-ի բազմապատիկ թվերով: Այսպիսով, մենք կնվազեցնենք որոնման տիրույթը մինչև 10 համար;
2. Այս 10 թվերից մաքրեք նրանց, որոնք հաստատ արմատներ չեն կարող լինել: Արդյունքում կմնա 1-2 թիվ;
3. Այս 1-2 թվերը քառակուսի դարձրեք: Արմատը կլինի նա, ում քառակուսին հավասար է սկզբնական թվին։

Մինչ այս ալգորիթմը գործնականում կիրառելը, եկեք նայենք յուրաքանչյուր առանձին քայլին:

Արմատային սահմանափակում

Նախևառաջ պետք է պարզել, թե որ թվերի միջև է գտնվում մեր արմատը։ Շատ ցանկալի է, որ թվերը լինեն տասի բազմապատիկ.

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Մենք ստանում ենք թվերի շարք.

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ի՞նչ են մեզ ասում այս թվերը: Պարզ է՝ մենք սահմաններ ենք ստանում: Վերցնենք, օրինակ, 1296 թիվը: Այն գտնվում է 900-ի և 1600-ի միջև: Հետևաբար, դրա արմատը չի կարող լինել 30-ից փոքր և 40-ից մեծ:

[Նկարի վերնագիր]

Նույնը վերաբերում է ցանկացած այլ թվի, որտեղից կարող եք գտնել քառակուսի արմատը: Օրինակ, 3364:

[Նկարի վերնագիր]

Այսպիսով, անհասկանալի թվի փոխարեն մենք ստանում ենք շատ կոնկրետ տիրույթ, որի մեջ ընկած է սկզբնական արմատը: Որոնման տարածքը ավելի նեղացնելու համար անցեք երկրորդ քայլին:

Ակնհայտ ավելորդ թվերի վերացում

Այսպիսով, մենք ունենք 10 թիվ՝ արմատի թեկնածուներ։ Մենք դրանք շատ արագ ստացանք՝ առանց բարդ մտածելու և սյունակում բազմապատկելու։ Շարժվելու ժամանակն է.

Հավատացեք, թե ոչ, մենք այժմ կնվազեցնենք թեկնածուների թիվը երկուսի՝ կրկին առանց որևէ բարդ հաշվարկի: Բավական է իմանալ հատուկ կանոնը. Ահա այն:

Քառակուսու վերջին թվանշանը կախված է միայն վերջին թվանշանից բնօրինակ համարը.

Այսինքն, պարզապես նայեք քառակուսու վերջին թվանշանին և անմիջապես կհասկանանք, թե որտեղ է ավարտվում սկզբնական թիվը։

Կան ընդամենը 10 թվանշան, որոնք կարող են հայտնվել վերջին տեղում: Փորձենք պարզել, թե քառակուսի դնելիս ինչի են վերածվում։ Նայեք աղյուսակին.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Այս աղյուսակը ևս մեկ քայլ է արմատը հաշվարկելու համար: Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ տողի թվերը հինգի նկատմամբ սիմետրիկ են ստացվել։ Օրինակ:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Ինչպես տեսնում եք, վերջին թվանշանը երկու դեպքում էլ նույնն է։ Սա նշանակում է, որ, օրինակ, 3364-ի արմատը պետք է ավարտվի 2-ով կամ 8-ով: Մյուս կողմից, մենք հիշում ենք նախորդ պարբերության սահմանափակումը: Մենք ստանում ենք.

[Նկարի վերնագիր]

Կարմիր քառակուսիները ցույց են տալիս, որ մենք դեռ չգիտենք այս ցուցանիշը: Բայց արմատը գտնվում է 50-ից 60-ի միջակայքում, որի վրա կան միայն երկու թվեր, որոնք ավարտվում են 2-ով և 8-ով.

[Նկարի վերնագիր]

Այսքանը: Բոլոր հնարավոր արմատներից մենք թողեցինք միայն երկու տարբերակ: Եվ սա ամենադժվար դեպքում է, քանի որ վերջին թվանշանը կարող է լինել 5 կամ 0: Եվ այդ դեպքում արմատների համար միայն մեկ թեկնածու կլինի:

Վերջնական հաշվարկներ

Այսպիսով, մեզ մնացել է 2 թեկնածուական համար։ Ինչպե՞ս գիտես, թե որն է արմատը: Պատասխանն ակնհայտ է՝ երկու թվերի քառակուսի: Այն, որը քառակուսիով տալիս է սկզբնական թիվը, կլինի արմատը:

Օրինակ՝ 3364 թվի համար մենք գտանք երկու թեկնածուական թիվ՝ 52 և 58։ Եկեք դրանք քառակուսի դարձնենք.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364։

Այսքանը: Պարզվեց, որ արմատը 58 է: Միաժամանակ, հաշվարկները պարզեցնելու համար օգտագործեցի գումարի և տարբերության քառակուսիների բանաձևը։ Դրա շնորհիվ ես նույնիսկ ստիպված չէի թվերը բազմապատկել սյունակի մեջ: Սա հաշվարկների օպտիմալացման ևս մեկ մակարդակ է, բայց, իհարկե, այն ամբողջովին կամընտիր է :)

Արմատների հաշվարկման օրինակներ

Տեսությունը, իհարկե, լավ է: Բայց եկեք ստուգենք դա գործնականում:

[Նկարի վերնագիր]

Նախ, եկեք պարզենք, թե որ թվերի միջև է գտնվում 576 թիվը.

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Հիմա նայենք վերջին թվին։ Այն հավասար է 6-ի: Ե՞րբ է դա տեղի ունենում: Միայն եթե արմատն ավարտվում է 4-ով կամ 6-ով: Ստանում ենք երկու թիվ.

Մնում է յուրաքանչյուր թիվը քառակուսի դնել և համեմատել բնօրինակի հետ.

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Հիանալի Առաջին քառակուսին պարզվեց, որ հավասար է սկզբնական թվին։ Այսպիսով, սա է արմատը:

Առաջադրանք. Հաշվիր քառակուսի արմատը.

[Նկարի վերնագիր]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Դիտարկենք վերջին թվանշանը.

1369 → 9;
33; 37.

Քառակուսի այն:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369։

Ահա պատասխանը՝ 37.

Առաջադրանք. Հաշվիր քառակուսի արմատը.

[Նկարի վերնագիր]

Մենք սահմանափակում ենք թիվը.

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Դիտարկենք վերջին թվանշանը.

2704 → 4;
52; 58.

Քառակուսի այն:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Ստացանք պատասխանը՝ 52։ Երկրորդ թիվն այլևս քառակուսի դնելու կարիք չի լինի։

Առաջադրանք. Հաշվիր քառակուսի արմատը.

[Նկարի վերնագիր]

Մենք սահմանափակում ենք թիվը.

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Դիտարկենք վերջին թվանշանը.

4225 → 5;
65.

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ քայլից հետո մնում է միայն մեկ տարբերակ՝ 65. Սա ցանկալի արմատն է։ Բայց եկեք այն դեռ քառակուսի դարձնենք և ստուգենք.

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Ամեն ինչ ճիշտ է։ Գրում ենք պատասխանը.

Եզրակացություն

Ավաղ, ավելի լավ չէ: Դիտարկենք պատճառները։ Դրանցից երկուսն են.

• Մաթեմատիկայի ցանկացած նորմալ քննության ժամանակ, լինի դա պետական ​​քննություն, թե միասնական պետական ​​քննություն, արգելվում է հաշվիչների օգտագործումը: Եվ եթե հաշվիչ եք բերում դասարան, ապա հեշտությամբ կարող եք դուրս մնալ քննությունից:
• Մի նմանվեք հիմար ամերիկացիներին. Որոնք արմատների նման չեն. նրանք չեն կարող ավելացնել երկու պարզ թվեր: Իսկ երբ կոտորակներ են տեսնում, հիմնականում հիստերիայի մեջ են ընկնում։

Հաշվիչներից առաջ ուսանողներն ու ուսուցիչները ձեռքով հաշվում էին քառակուսի արմատները: Թվի քառակուսի արմատը ձեռքով հաշվարկելու մի քանի եղանակ կա: Նրանցից ոմանք առաջարկում են միայն մոտավոր լուծում, մյուսները տալիս են ստույգ պատասխան։

Քայլեր

Հիմնական ֆակտորիզացիա

Արմատական ​​թիվը վերածեք գործոնների, որոնք քառակուսի թվեր են:Կախված արմատական ​​թվից, դուք կստանաք մոտավոր կամ ճշգրիտ պատասխան։ Քառակուսի թվերը թվեր են, որոնցից կարելի է վերցնել ամբողջ քառակուսի արմատը: Գործոնները թվեր են, որոնք բազմապատկելով տալիս են սկզբնական թիվը։ Օրինակ, 8 թվի գործակիցները 2-ն են և 4-ը, քանի որ 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 թվերը քառակուսի թվեր են, քանի որ √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7: Քառակուսի գործակիցները գործոններ են, որոնք քառակուսի թվեր են: Նախ, փորձեք արմատական ​​թիվը դասավորել քառակուսի գործոնների:

• Օրինակ, հաշվարկեք 400-ի քառակուսի արմատը (ձեռքով): Նախ փորձեք 400-ը վերածել քառակուսի գործակիցների: 400-ը 100-ի բազմապատիկն է, այսինքն՝ բաժանվում է 25-ի, սա քառակուսի թիվ է: 400-ը 25-ի բաժանելուց ստացվում է 16։ 16 թիվը նույնպես քառակուսի թիվ է։ Այսպիսով, 400-ը կարող է գործակցվել 25 և 16 քառակուսի գործակիցների մեջ, այսինքն՝ 25 x 16 = 400:
• Սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ. √400 = √(25 x 16):

1. Որոշ անդամների արտադրյալի քառակուսի արմատը հավասար է յուրաքանչյուր անդամի քառակուսի արմատների արտադրյալին, այսինքն՝ √(a x b) = √a x √b: Օգտագործեք այս կանոնը՝ յուրաքանչյուր քառակուսի գործոնի քառակուսի արմատը վերցնելու և արդյունքները բազմապատկելու համար՝ պատասխանը գտնելու համար:

   • Մեր օրինակում վերցրեք 25-ի և 16-ի արմատը:
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Եթե ​​արմատական ​​թիվը չի փոխվում երկու քառակուսի գործոնի (և դա տեղի է ունենում շատ դեպքերում), դուք չեք կարողանա ճշգրիտ պատասխանը գտնել ամբողջ թվի տեսքով: Բայց դուք կարող եք պարզեցնել խնդիրը՝ տարրալուծելով արմատական ​​թիվը քառակուսի գործոնի և սովորական գործոնի (թիվ, որից ամբողջ քառակուսի արմատը չի կարելի վերցնել): Այնուհետև դուք կվերցնեք քառակուսի գործակցի քառակուսի արմատը և կվերցնեք ընդհանուր գործոնի արմատը:

   • Օրինակ՝ հաշվե՛ք 147 թվի քառակուսի արմատը։ 147 թիվը չի կարող վերագրվել երկու քառակուսի գործակցի, սակայն այն կարելի է չափել հետևյալ գործոններով՝ 49 և 3։ Խնդիրը լուծե՛ք հետևյալ կերպ.
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Անհրաժեշտության դեպքում գնահատեք արմատի արժեքը:Այժմ դուք կարող եք գնահատել արմատի արժեքը (գտնել մոտավոր արժեքը)՝ համեմատելով այն քառակուսի թվերի արմատների արժեքների հետ, որոնք ամենամոտ են (թվային գծի երկու կողմերում) արմատական ​​թվին: Դուք կստանաք արմատային արժեքը որպես տասնորդական կոտորակ, որը պետք է բազմապատկվի արմատային նշանի հետևում գտնվող թվով:

   • Վերադառնանք մեր օրինակին։ Արմատական ​​թիվը 3 է: Դրան ամենամոտ քառակուսի թվերը կլինեն 1 (√1 = 1) և 4 (√4 = 2) թվերը: Այսպիսով, √3-ի արժեքը գտնվում է 1-ի և 2-ի միջև: Քանի որ √3-ի արժեքը հավանաբար ավելի մոտ է 2-ին, քան 1-ին, մեր գնահատականը հետևյալն է՝ √3 = 1,7: Մենք այս արժեքը բազմապատկում ենք արմատային նշանի թվով` 7 x 1.7 = 11.9: Եթե ​​հաշվարկեք հաշվիչը, ապա կստանաք 12.13, որը բավականին մոտ է մեր պատասխանին:
     • Այս մեթոդը գործում է նաև մեծ թվերի դեպքում: Օրինակ, հաշվի առեք √35: Արմատական ​​թիվը 35 է: Դրան ամենամոտ քառակուսի թվերը կլինեն 25 (√25 = 5) և 36 (√36 = 6) թվերը: Այսպիսով, √35-ի արժեքը գտնվում է 5-ի և 6-ի միջև: Քանի որ √35-ի արժեքը շատ ավելի մոտ է 6-ին, քան 5-ին (քանի որ 35-ը ընդամենը 1-ով փոքր է 36-ից), մենք կարող ենք ասել, որ √35-ը մի փոքր փոքր է 6-ից: Հաշվիչի ստուգումը տալիս է 5.92 պատասխանը՝ մենք ճիշտ էինք:

4. Մեկ այլ եղանակ՝ արմատական ​​թիվը պարզ գործոնների վերածելն է:Պարզ գործոնները թվեր են, որոնք բաժանվում են միայն 1-ի և իրենց վրա: Գրե՛ք պարզ գործակիցները շարքով և գտե՛ք նույնական գործակիցների զույգեր: Նման գործոնները կարելի է դուրս բերել արմատային նշանից.

   • Օրինակ՝ հաշվե՛ք 45-ի քառակուսի արմատը: Արմատական ​​թիվը փոխակերպում ենք պարզ գործակիցների՝ 45 = 9 x 5 և 9 = 3 x 3: Այսպիսով, √45 = √(3 x 3 x 5): 3-ը կարելի է հանել որպես արմատական ​​նշան՝ √45 = 3√5: Այժմ մենք կարող ենք գնահատել √5:
   • Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ՝ √88:
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11): Դուք ստացել եք 2-ի երեք բազմապատկիչ; վերցրեք դրանցից մի քանիսը և տեղափոխեք դրանք արմատային նշանից այն կողմ:
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11: Այժմ կարող եք գնահատել √2 և √11 և գտնել մոտավոր պատասխան։

   Քառակուսի արմատի ձեռքով հաշվարկ

   Օգտագործելով երկար բաժանում

   1. Այս մեթոդը ներառում է երկար բաժանման նման գործընթաց և տալիս է ճշգրիտ պատասխան:Նախ գծեք թերթիկը երկու կեսի բաժանող ուղղահայաց գիծ, ​​այնուհետև թերթի վերին եզրից դեպի աջ և մի փոքր ներքև հորիզոնական գիծ քաշեք դեպի ուղղահայաց գիծ: Այժմ արմատական ​​թիվը բաժանեք զույգ թվերի՝ սկսած տասնորդական կետից հետո կոտորակային մասից։ Այսպիսով, 79520789182.47897 համարը գրված է որպես «7 95 20 78 91 82, 47 89 70»:

      • Օրինակ՝ հաշվենք 780.14 թվի քառակուսի արմատը։ Գծի՛ր երկու գիծ (ինչպես պատկերված է նկարում) և վերևի ձախ մասում գրի՛ր տրված թիվը «7 80, 14» ձևով։ Նորմալ է, որ ձախից առաջին թվանշանը չզույգված թվանշան է։ Վերևի աջ մասում կգրեք պատասխանը (այս թվի արմատը):

   2. Ձախից առաջին զույգ թվերի (կամ միայնակ թվերի) համար գտե՛ք ամենամեծ n ամբողջ թիվը, որի քառակուսին փոքր կամ հավասար է տվյալ թվերի (կամ մեկ թվի) զույգին: Այլ կերպ ասած, ձախից գտե՛ք այն քառակուսի թիվը, որն ամենամոտն է, բայց փոքր է, քան առաջին զույգ թվերը (կամ մեկ թիվը), և վերցրե՛ք այդ քառակուսի թվի քառակուսի արմատը. դուք կստանաք n թիվը: Վերևի աջ մասում գրեք ձեր գտած n-ը, իսկ ներքևի աջում՝ n-ի քառակուսին:

      • Մեր դեպքում ձախ կողմում առաջին թիվը կլինի 7։ Հաջորդը՝ 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Ձախ կողմում գտնվող առաջին զույգ թվերից (կամ մեկ թվից) հանեք n թվի քառակուսին, որը հենց նոր գտաք:Հաշվարկի արդյունքը գրի՛ր ենթակետի տակ (n թվի քառակուսին):

      • Մեր օրինակում 7-ից հանեք 4 և ստացեք 3:

   4. Վերցրեք թվերի երկրորդ զույգը և գրեք այն նախորդ քայլում ստացված արժեքի կողքին։Այնուհետև կրկնապատկեք վերևի աջ թիվը և արդյունքը գրեք ներքևի աջում՝ ավելացնելով «_×_=":

      • Մեր օրինակում թվերի երկրորդ զույգը «80» է։ 3-ից հետո գրեք «80»: Այնուհետև վերևի աջ թվի կրկնապատկումը տալիս է 4: Ներքևի աջ մասում գրեք «4_×_=":

   5. Լրացրե՛ք աջ կողմում գտնվող բացերը:

      • Մեր դեպքում, եթե գծիկների փոխարեն դնենք 8 թիվը, ապա 48 x 8 = 384, ինչը 380-ից ավելի է: Հետևաբար, 8-ը չափազանց մեծ թիվ է, բայց 7-ը կլինի: Գծիկների փոխարեն գրի՛ր 7 և ստացի՛ր՝ 47 x 7 = 329։ Վերևի աջ մասում գրի՛ր 7՝ սա 780.14 թվի ցանկալի քառակուսի արմատի երկրորդ նիշն է։

   6. Ստացված թիվը հանեք ձախ կողմում գտնվող ընթացիկ թվից:Ձախ կողմում գտնվող ընթացիկ թվի տակ գրեք նախորդ քայլի արդյունքը, գտեք տարբերությունը և գրեք այն ենթակետի տակ:

      • Մեր օրինակում 380-ից հանեք 329, որը հավասար է 51-ի:

   7. Կրկնել 4-րդ քայլը:Եթե ​​փոխանցվող թվերի զույգը սկզբնական թվի կոտորակային մասն է, ապա վերևի աջ մասում անհրաժեշտ քառակուսի արմատի մեջ դրեք բաժանարար (ստորակետ) ամբողջ և կոտորակային մասերի միջև: Ձախ կողմում իջեցրեք հաջորդ զույգ թվերը: Կրկնապատկել թիվը վերևի աջում և արդյունքը գրել ներքևի աջում՝ ավելացնելով «_×_=":

      • Մեր օրինակում հեռացվող թվերի հաջորդ զույգը կլինի 780.14 թվի կոտորակային մասը, ուստի ամբողջ թվի և կոտորակային մասերի բաժանարարը տեղադրեք ցանկալի քառակուսի արմատի վերևի աջ մասում: Վերցրեք 14-ը և գրեք այն ներքևի ձախ մասում: Վերևի աջ կողմի կրկնակի թիվը (27) 54 է, ուստի ներքևի աջ կողմում գրեք «54_×_=":

   8. Կրկնել 5-րդ և 6-րդ քայլերը:Աջ գծիկների փոխարեն գտե՛ք ամենամեծ թիվը (գծիկների փոխարեն պետք է փոխարինել նույն թիվը), որպեսզի բազմապատկման արդյունքը փոքր կամ հավասար լինի ձախ կողմի ընթացիկ թվին։

      • Մեր օրինակում 549 x 9 = 4941, որը փոքր է ձախ կողմում գտնվող ընթացիկ թվից (5114): Վերևի աջ կողմում գրեք 9-ը և ձախում գտնվող ընթացիկ թվից հանեք բազմապատկման արդյունքը՝ 5114 - 4941 = 173:

   9. Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է քառակուսի արմատի համար ավելի շատ տասնորդական թվեր գտնել, ապա ընթացիկ թվի ձախ կողմում գրեք մի քանի զրո և կրկնեք 4, 5 և 6 քայլերը: Կրկնեք քայլերը, մինչև ստանաք պատասխանի ճշգրտությունը (տասնորդական թվերի քանակը) կարիք.

   Գործընթացը հասկանալը

   Այս մեթոդին տիրապետելու համար պատկերացրեք այն թիվը, որի քառակուսի արմատը պետք է գտնել որպես S քառակուսու մակերես: Այս դեպքում դուք կփնտրեք նման քառակուսու L կողմի երկարությունը: Մենք հաշվարկում ենք L-ի արժեքը այնպես, որ L² = S:

   Պատասխանի յուրաքանչյուր թվի համար տառ տվեք: A-ով նշանակենք L արժեքի առաջին թվանշանը (ցանկալի քառակուսի արմատ): B-ն կլինի երկրորդ թվանշանը, C-ը՝ երրորդը և այլն:

   Նշեք տառ առաջին թվանշանների յուրաքանչյուր զույգի համար: S-ով նշանակենք S-ի արժեքի առաջին զույգ թվանշանները, S-ով երկրորդ զույգ թվանշանները և այլն։

   Հասկացեք այս մեթոդի և երկար բաժանման միջև կապը:Ինչպես բաժանման դեպքում, որտեղ մեզ հետաքրքրում է միայն այն թվի հաջորդ նիշը, որը մենք ամեն անգամ բաժանում ենք, քառակուսի արմատը հաշվարկելիս մենք հաջորդաբար աշխատում ենք զույգ թվանշաններով (քառակուսի արմատի արժեքի հաջորդ մեկ թվանշանը ստանալու համար) .

   1. Դիտարկենք S թվի Sa թվանշանների առաջին զույգը (մեր օրինակում Sa = 7) և գտե՛ք դրա քառակուսի արմատը։Այս դեպքում, ցանկալի քառակուսի արմատի արժեքի առաջին A նիշը կլինի այն թվանշանը, որի քառակուսին փոքր է կամ հավասար է S a-ին (այսինքն, մենք փնտրում ենք A-ն այնպես, որ անհավասարությունը A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Ենթադրենք, մենք պետք է 88962-ը բաժանենք 7-ի; այստեղ առաջին քայլը նման կլինի. մենք համարում ենք 88962 (8) բաժանվող թվի առաջին նիշը և ընտրում ենք ամենամեծ թիվը, որը 7-ով բազմապատկելիս տալիս է 8-ից փոքր կամ հավասար արժեք: Այսինքն՝ մենք փնտրում ենք. d թիվ, որի անհավասարությունը ճիշտ է՝ 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Մտավոր պատկերացրեք մի քառակուսի, որի տարածքը պետք է հաշվարկեք:Դուք փնտրում եք L, այսինքն՝ քառակուսու կողմի երկարությունը, որի մակերեսը հավասար է S-ի: A, B, C թվերն են L թվի մեջ: Դուք կարող եք այն գրել այլ կերպ՝ 10A + B = L (համար երկնիշ թիվ) կամ 100A + 10B + C = L (եռանիշ թվի համար) և այլն:

      • Թող (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Հիշեք, որ 10A+B-ն այն թիվն է, որտեղ B թվանշանը նշանակում է միավոր, իսկ A թվանշանը՝ տասնյակ: Օրինակ, եթե A=1 և B=2, ապա 10A+B հավասար է 12 թվին։ (10A+B)²ամբողջ հրապարակի մակերեսն է, 100A²- մեծ ներքին հրապարակի մակերեսը, B²- փոքր ներքին հրապարակի տարածքը, 10A×B- երկու ուղղանկյուններից յուրաքանչյուրի մակերեսը. Նկարագրված պատկերների տարածքները գումարելով՝ դուք կգտնեք բնօրինակ քառակուսու մակերեսը: