Je čas to urovnat metody extrakce kořenů. Jsou založeny na vlastnostech kořenů, zejména na rovnosti, která platí pro každé nezáporné číslo b.

Níže se podíváme na hlavní metody extrakce kořenů jeden po druhém.

Začněme tím nejjednodušším případem – extrahováním odmocnin z přirozených čísel pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

Pokud tabulky čtverců, kostek atd. Pokud jej nemáte po ruce, je logické použít metodu extrahování kořene, která zahrnuje rozklad radikálního čísla na prvočinitele.

Za zvláštní zmínku stojí, co je možné pro kořeny s lichými exponenty.

Nakonec se podívejme na metodu, která nám umožňuje postupně najít číslice kořenové hodnoty.

Začněme.

Pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.

V nejjednodušších případech vám tabulky čtverců, kostek atd. umožňují extrahovat kořeny. Co jsou to za tabulky?

Tabulka druhých mocnin celých čísel od 0 do 99 včetně (zobrazená níže) se skládá ze dvou zón. První zóna tabulky je umístěna na šedém pozadí, výběrem konkrétního řádku a konkrétního sloupce umožňuje sestavit číslo od 0 do 99. Vyberme například řádek 8 desítek a sloupec 3 jednotek, čímž jsme opravili číslo 83. Druhá zóna zabírá zbytek tabulky. Každá buňka se nachází na průsečíku určitého řádku a určitého sloupce a obsahuje druhou mocninu odpovídajícího čísla od 0 do 99. Na průsečíku námi zvolené řady 8 desítek a sloupce 3 jedniček je buňka s číslem 6 889, což je druhá mocnina čísla 83.

Tabulky kostek, tabulky čtvrtých mocnin čísel od 0 do 99 a tak dále jsou podobné tabulce čtverců, jen obsahují kostky, čtvrté mocniny atd. ve druhé zóně. odpovídající čísla.

Tabulky čtverců, kostek, čtvrtých mocnin atd. umožňují extrahovat druhé odmocniny, krychlové odmocniny, čtvrté odmocniny atd. podle čísel v těchto tabulkách. Vysvětlíme si princip jejich použití při extrakci kořenů.

Řekněme, že potřebujeme extrahovat n-tou odmocninu čísla a, zatímco číslo a je obsaženo v tabulce n-tých mocnin. Pomocí této tabulky najdeme číslo b takové, že a=b n. Pak , proto číslo b bude požadovaným kořenem n-tého stupně.

Jako příklad si ukažme, jak pomocí tabulky krychlí extrahovat odmocninu z 19 683. V tabulce kostek najdeme číslo 19 683, z ní zjistíme, že toto číslo je kostkou čísla 27, tedy, .

Je jasné, že tabulky n-tých mocnin jsou pro extrakci odmocnin velmi vhodné. Často však nejsou po ruce a jejich sestavení vyžaduje určitý čas. Navíc je často nutné extrahovat odmocniny z čísel, která nejsou obsažena v odpovídajících tabulkách. V těchto případech se musíte uchýlit k jiným metodám extrakce kořenů.

Rozložení radikálního čísla na prvočinitele

Poměrně pohodlný způsob, jak extrahovat odmocninu přirozeného čísla (pokud je ovšem odmocnina extrahována), je rozložit radikálové číslo na prvočinitele. Jeho jde o to: poté je docela snadné jej reprezentovat jako mocninu s požadovaným exponentem, což vám umožní získat hodnotu odmocniny. Ujasněme si tento bod.

Nechť se vezme n-tá odmocnina přirozeného čísla a a jeho hodnota se rovná b. V tomto případě platí rovnost a=b n. Číslo b, jako každé přirozené číslo, může být reprezentováno jako součin všech jeho prvočinitelů p 1 , p 2 , …, p m ve tvaru p 1 ·p 2 ·…·p m a v tomto případě radikálového čísla a je reprezentováno jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Protože rozklad čísla na prvočinitele je jedinečný, bude mít rozklad radikálního čísla a na prvočinitele tvar (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, což umožňuje vypočítat hodnotu odmocniny. tak jako.

Všimněte si, že pokud rozklad radikálního čísla a na prvočinitele nemůže být reprezentován ve tvaru (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, pak n-tá odmocnina takového čísla a není úplně extrahována.

Pojďme na to při řešení příkladů.

Příklad.

Vezměte druhou odmocninu ze 144.

Řešení.

Pokud se podíváte na tabulku čtverců uvedenou v předchozím odstavci, můžete jasně vidět, že 144 = 12 2, z čehož je zřejmé, že druhá odmocnina ze 144 se rovná 12.

Ale ve světle tohoto bodu nás zajímá, jak se získává kořen rozkladem radikálního čísla 144 na prvočinitele. Podívejme se na toto řešení.

Pojďme se rozložit 144 k hlavním faktorům:

To znamená, 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na základě výsledného rozkladu lze provést následující transformace: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Proto, .

Pomocí vlastností stupňů a vlastností kořenů by se řešení dalo formulovat trochu jinak: .

Odpovědět:

Pro konsolidaci materiálu zvažte řešení dalších dvou příkladů.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu kořene.

Řešení.

Prvočíslo radikálového čísla 243 má tvar 243=3 5 . Tím pádem, .

Odpovědět:

Příklad.

Je kořenová hodnota celé číslo?

Řešení.

Abychom na tuto otázku odpověděli, rozložme radikální číslo na prvočinitele a uvidíme, zda je lze reprezentovat jako třetí mocninu celého čísla.

Máme 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Výsledný rozvoj nemůže být reprezentován jako krychle celého čísla, protože mocnina prvočinitele 7 není násobkem tří. Krychlovou odmocninu 285 768 proto nelze extrahovat úplně.

Odpovědět:

Ne.

Získávání odmocnin ze zlomkových čísel

Je čas přijít na to, jak extrahovat odmocninu zlomkového čísla. Nechť zlomkové radikálové číslo zapíšeme jako p/q. Podle vlastnosti kořene kvocientu platí následující rovnost. Z této rovnosti vyplývá pravidlo pro extrakci kořene zlomku: Odmocnina zlomku se rovná podílu odmocniny čitatele děleného odmocninou jmenovatele.

Podívejme se na příklad extrahování kořene ze zlomku.

Příklad.

Jaká je druhá odmocnina běžného zlomku 25/169?

Řešení.

Pomocí tabulky druhých mocnin zjistíme, že druhá odmocnina v čitateli původního zlomku je rovna 5 a druhá odmocnina ve jmenovateli je rovna 13. Pak . Tím je těžba kořene běžné frakce 25/169 ukončena.

Odpovědět:

Odmocnina desetinného zlomku nebo smíšeného čísla se extrahuje po nahrazení radikálových čísel obyčejnými zlomky.

Příklad.

Vezměte třetí odmocninu desetinného zlomku 474,552.

Řešení.

Představme si původní desetinný zlomek jako obyčejný zlomek: 474,552=474552/1000. Pak . Zbývá extrahovat krychlové odmocniny, které jsou v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku. Protože 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, pak A . Zbývá jen dokončit výpočty .

Odpovědět:

.

Převzetí odmocniny ze záporného čísla

Vyplatí se pozastavit se u extrahování odmocnin ze záporných čísel. Když jsme studovali kořeny, řekli jsme, že když je kořenový exponent liché číslo, pak může být pod kořenem záporné číslo. Těmto položkám jsme dali následující význam: pro záporné číslo −a a lichý exponent odmocniny 2 n−1, . Tato rovnost dává pravidlo pro extrakci lichých kořenů ze záporných čísel: Chcete-li extrahovat odmocninu záporného čísla, musíte vzít odmocninu opačného kladného čísla a před výsledek umístit znaménko mínus.

Podívejme se na příklad řešení.

Příklad.

Najděte hodnotu kořene.

Řešení.

Transformujme původní výraz tak, aby pod znaménkem kořene bylo kladné číslo: . Nyní nahraďte smíšené číslo obyčejným zlomkem: . Aplikujeme pravidlo pro extrakci kořene obyčejného zlomku: . Zbývá vypočítat kořeny v čitateli a jmenovateli výsledného zlomku: .

Zde je krátké shrnutí řešení: .

Odpovědět:

.

Bitové určení kořenové hodnoty

V obecném případě je pod odmocninou číslo, které při použití výše uvedených technik nemůže být reprezentováno jako n-tá mocnina žádného čísla. Ale v tomto případě je potřeba znát význam daného kořene, alespoň do určitého znaménka. V tomto případě můžete pro extrakci kořene použít algoritmus, který vám umožní postupně získat dostatečný počet číselných hodnot požadovaného čísla.

Prvním krokem tohoto algoritmu je zjistit, jaký je nejvýznamnější bit kořenové hodnoty. Za tímto účelem se čísla 0, 10, 100, ... postupně zvyšují na mocninu n až do okamžiku, kdy číslo překročí radikálové číslo. Potom číslo, které jsme v předchozí fázi zvýšili na mocninu n, bude označovat odpovídající nejvýznamnější číslici.

Zvažte například tento krok algoritmu při extrakci druhé odmocniny z pěti. Vezmeme čísla 0, 10, 100, ... a odmocníme je, dokud nedostaneme číslo větší než 5. Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, což znamená, že nejvýznamnější číslice budou číslice jedniček. Hodnotu tohoto bitu, stejně jako nižších, zjistíme v dalších krocích algoritmu pro extrakci kořene.

Všechny následující kroky algoritmu jsou zaměřeny na postupné objasnění hodnoty kořene nalezením hodnot dalších bitů požadované hodnoty kořene, počínaje nejvyšší a přesouvat se k nejnižším. Například hodnota kořene v prvním kroku se ukáže jako 2, ve druhém 2,2, ve třetím 2,23 a tak dále 2,236067977…. Popišme, jak se nacházejí hodnoty číslic.

Číslice se najdou vyhledáním jejich možných hodnot 0, 1, 2, ..., 9. V tomto případě se paralelně počítají n-té mocniny odpovídajících čísel a porovnávají se s radikálním číslem. Pokud v určité fázi hodnota stupně překročí radikálové číslo, pak se hodnota číslice odpovídající předchozí hodnotě považuje za nalezenou, a pokud se tak nestane, provede se přechod k dalšímu kroku algoritmu pro extrakci kořene; pak hodnota této číslice je 9.

Vysvětleme tyto body na stejném příkladu extrahování druhé odmocniny z pěti.

Nejprve zjistíme hodnotu číslice jednotky. Projdeme hodnoty 0, 1, 2, ..., 9, počítáme 0 2, 1 2, ..., 9 2, dokud nedostaneme hodnotu větší než radikálové číslo 5. Všechny tyto výpočty je vhodné prezentovat ve formě tabulky:

Takže hodnota číslice jednotky je 2 (od 2 2<5 , а 2 3 >5). Přejděme k hledání hodnoty desetinového místa. V tomto případě odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 a porovnáme výsledné hodnoty s radikálním číslem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, pak hodnota desetin místa je 2. Můžete přistoupit ke zjištění hodnoty setin místa:

Takto byla nalezena další hodnota odmocniny z pěti, je rovna 2,23. A tak můžete pokračovat v hledání hodnot: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pro konsolidaci materiálu analyzujeme extrakci kořene s přesností na setiny pomocí uvažovaného algoritmu.

Nejprve určíme nejvýznamnější číslici. K tomu dáme krychli čísla 0, 10, 100 atd. dokud nedostaneme číslo větší než 2 151 186. Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, takže nejvýznamnější číslice jsou desítky.

Pojďme určit jeho hodnotu.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, pak hodnota místa v desítkách je 1. Pojďme k jednotkám.

Hodnota jedniček je tedy 2. Přejdeme na desetiny.

Protože i 12,9 3 je méně než radikální číslo 2 151,186, pak je hodnota desetin místa 9. Zbývá provést poslední krok algoritmu, který nám dá hodnotu kořene s požadovanou přesností.

V této fázi se zjistí hodnota kořene s přesností na setiny: .

Na závěr tohoto článku bych chtěl říci, že existuje mnoho dalších způsobů, jak extrahovat kořeny. Ale pro většinu úkolů stačí ty, které jsme studovali výše.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8. ročník. vzdělávací instituce.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další. Algebra a počátky analýzy: Učebnice pro 10. - 11. ročník všeobecně vzdělávacích institucí.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro studenty technických škol).

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobními údaji se rozumí údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby – v souladu se zákonem, soudním řízením, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních orgánů na území Ruské federace – zpřístupnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Fakt 1.
\(\bullet\) Vezměme nějaké nezáporné číslo \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) se nazývá takové nezáporné číslo \(b\) , při umocnění dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(stejné jako )\quad a=b^2\] Z definice vyplývá, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tato omezení jsou důležitou podmínkou existence odmocniny a je třeba si je pamatovat!
Připomeňme si, že každé číslo při druhé mocnině dává nezáporný výsledek. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čemu se rovná \(\sqrt(25)\)? Víme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Protože podle definice musíme najít nezáporné číslo, pak \(-5\) není vhodné, proto \(\sqrt(25)=5\) (protože \(25=5^2\) ).
Nalezení hodnoty \(\sqrt a\) se nazývá převzetí druhé odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) se nazývá radikální výraz.
\(\bullet\) Na základě definice výraz \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) atd. nedávají smysl.

Fakt 2.
Pro rychlé výpočty bude užitečné naučit se tabulku druhých mocnin přirozených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Jaké operace můžete dělat s odmocninami?
\(\kulka\) Součet nebo rozdíl odmocnin NENÍ ROVNÝ druhé odmocnině součtu nebo rozdílu, tzn \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Pokud tedy potřebujete vypočítat například \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , musíte nejprve najít hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\ sqrt(49)\ ) a poté je složte. Proto, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Pokud při přidávání \(\sqrt a+\sqrt b\) nelze najít hodnoty \(\sqrt a\) nebo \(\sqrt b\), pak se takový výraz dále netransformuje a zůstane tak, jak je. Například v součtu \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) můžeme najít \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nelze transformovat do v žádném případě, proto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Bohužel tento výraz nelze dále zjednodušit\(\bullet\) Součin/podíl odmocnin se rovná druhé odmocnině součinu/podílu, tzn. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za předpokladu, že obě strany rovnosti dávají smysl)
Příklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocí těchto vlastností je vhodné najít druhé odmocniny velkých čísel jejich rozkladem.
Podívejme se na příklad. Pojďme najít \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , pak \(44100=100\cdot 441\) . Podle kritéria dělitelnosti je číslo \(441\) dělitelné \(9\) (protože součet jeho číslic je 9 a je dělitelný 9), proto \(441:9=49\), tedy \(441=9\ cdot 49\) .
Tak jsme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Podívejme se na další příklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ukažme si, jak zadávat čísla pod odmocninu na příkladu výrazu \(5\sqrt2\) (krátký zápis pro výraz \(5\cdot \sqrt2\)). Protože \(5=\sqrt(25)\) , tak \ Všimněte si také, že např.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

proč tomu tak je? Vysvětlíme na příkladu 1). Jak již chápete, nemůžeme nějak transformovat číslo \(\sqrt2\). Představme si, že \(\sqrt2\) je nějaké číslo \(a\) . V souladu s tím výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) není nic jiného než \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tři další stejná čísla \(a\)). A víme, že se to rovná čtyřem takovým číslům \(a\) , tedy \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často říkají „nemůžete extrahovat kořen“, když se při hledání hodnoty čísla nemůžete zbavit znaménka \(\sqrt () \ \) kořene (radikálu) . Například můžete vzít odmocninu čísla \(16\), protože \(16=4^2\) , tedy \(\sqrt(16)=4\) . Je však nemožné extrahovat odmocninu čísla \(3\), tedy najít \(\sqrt3\), protože neexistuje žádné číslo, které by umocněno dalo \(3\) .
Taková čísla (nebo výrazy s takovými čísly) jsou iracionální. Například čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) a tak dále. jsou iracionální.
Iracionální jsou také čísla \(\pi\) (číslo „pi“, přibližně rovno \(3,14\)), \(e\) (toto číslo se nazývá Eulerovo číslo, je přibližně rovno \(2,7) \)) atd.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že jakékoli číslo bude buď racionální, nebo iracionální. A dohromady všechna racionální a všechna iracionální čísla tvoří množinu tzv množina reálných čísel. Tato množina je označena písmenem \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všechna čísla, která v současnosti známe, se nazývají reálná čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálného čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdálenosti od bodu \(a\) do \(0\) na skutečná čára. Například \(|3|\) a \(|-3|\) se rovnají 3, protože vzdálenosti od bodů \(3\) a \(-3\) do \(0\) jsou stejné a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Jestliže \(a\) je nezáporné číslo, pak \(|a|=a\) .
Příklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jestliže \(a\) je záporné číslo, pak \(|a|=-a\) .
Příklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Říká se, že pro záporná čísla modul „sežere“ mínus, zatímco kladná čísla, stejně jako číslo \(0\), modul ponechá beze změny.
ALE Toto pravidlo platí pouze pro čísla. Pokud je pod vaším znaménkem modulu neznámá \(x\) (nebo nějaká jiná neznámá), například \(|x|\) , o které nevíme, zda je kladná, nulová nebo záporná, pak se zbavte modulu nemůžeme. V tomto případě tento výraz zůstává stejný: \(|x|\) . \(\bullet\) Platí následující vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytováno) a\geqslant 0\] Velmi často dochází k následující chybě: říkají, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) jsou jedno a totéž. To platí pouze v případě, že \(a\) je kladné číslo nebo nula. Ale pokud je \(a\) záporné číslo, pak je to nepravda. Stačí vzít v úvahu tento příklad. Vezměme místo \(a\) číslo \(-1\) . Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vůbec neexistuje (koneckonců, není možné použít kořenový znak dejte záporná čísla!).
Proto upozorňujeme na skutečnost, že \(\sqrt(a^2)\) se nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Příklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), protože \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Protože \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pak \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje sudé číslo)
To znamená, že když vezmeme odmocninu čísla, které je do určité míry, tento stupeň se zmenší na polovinu.
Příklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimněte si, že pokud modul není dodán, ukáže se, že kořen čísla je roven \(-25\) ) ; ale pamatujeme si, že podle definice kořene se to nemůže stát: při extrakci kořene bychom měli vždy dostat kladné číslo nebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (protože jakékoli číslo na sudou mocninu není záporné)

Fakt 6.
Jak porovnat dvě odmocniny?
\(\bullet\) Pro odmocniny platí: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPříklad:
1) porovnejte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Nejprve transformujme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Takže od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mezi jakými celými čísly se nachází \(\sqrt(50)\)?
Protože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnejme \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Předpokládejme, že \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(zarovnáno) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((přidejte jednu na obě strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((zarovnání na obě strany)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnáno)\] Vidíme, že jsme dostali nesprávnou nerovnost. Náš předpoklad byl tedy nesprávný a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimněte si, že přidání určitého čísla na obě strany nerovnosti neovlivní její znaménko. Násobení/dělení obou stran nerovnosti kladným číslem také neovlivní její znaménko, ale násobení/dělení záporným číslem znaménko nerovnosti obrátí!
Obě strany rovnice/nerovnice můžete odmocnit POUZE POKUD jsou obě strany nezáporné. Například v nerovnosti z předchozího příkladu můžete odmocnit obě strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Je třeba si to zapamatovat \[\začátek(zarovnáno) &\sqrt 2\přibližně 1,4\\ &\sqrt 3\přibližně 1,7 \konec (zarovnáno)\] Znalost přibližného významu těchto čísel vám pomůže při porovnávání čísel! \(\bullet\) Abyste mohli extrahovat odmocninu (pokud ji lze extrahovat) z nějakého velkého čísla, které není v tabulce čtverců, musíte nejprve určit, mezi kterými „stovkami“ se nachází, poté – mezi kterými „ desítky“ a poté určete poslední číslici tohoto čísla. Ukažme si, jak to funguje na příkladu.
Vezměme \(\sqrt(28224)\) . Víme, že \(100^2=10\000\), \(200^2=40\000\) atd. Všimněte si, že \(28224\) je mezi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Proto je \(\sqrt(28224)\) mezi \(100\) a \(200\) .
Nyní určíme, mezi kterými „desítkami“ se naše číslo nachází (tedy například mezi \(120\) a \(130\)). Také z tabulky čtverců víme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atd., pak \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme tedy, že \(28224\) je mezi \(160^2\) a \(170^2\) . Proto je číslo \(\sqrt(28224)\) mezi \(160\) a \(170\) .
Zkusme určit poslední číslici. Připomeňme si, jaká jednociferná čísla po odmocnění dávají na konci \(4\)? Jsou to \(2^2\) a \(8^2\) . Proto \(\sqrt(28224)\) bude končit buď 2 nebo 8. Pojďme to zkontrolovat. Pojďme najít \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Proto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

K adekvátnímu vyřešení Jednotné státní zkoušky z matematiky je nutné nejprve prostudovat teoretický materiál, který vás seznámí s mnoha větami, vzorci, algoritmy atd. Na první pohled se může zdát, že je to docela jednoduché. Najít zdroj, ve kterém by byla teorie pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky prezentována snadným a srozumitelným způsobem pro studenty jakékoli úrovně vzdělání, je však ve skutečnosti poměrně obtížný úkol. Školní učebnice nelze mít vždy po ruce. A najít základní vzorce pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky může být obtížné i na internetu.

Proč je tak důležité studovat teorii v matematice nejen pro ty, kteří skládají jednotnou státní zkoušku?

1. Protože vám to rozšíří obzory. Studium teoretického materiálu v matematice je užitečné pro každého, kdo chce získat odpovědi na širokou škálu otázek souvisejících se znalostí okolního světa. Vše v přírodě je uspořádané a má jasnou logiku. Právě to se odráží ve vědě, jejímž prostřednictvím je možné porozumět světu.
2. Protože rozvíjí inteligenci. Studiem referenčních materiálů k jednotné státní zkoušce z matematiky a řešením různých problémů se člověk učí myslet a logicky uvažovat, kvalifikovaně a jasně formulovat myšlenky. Rozvíjí schopnost analyzovat, zobecňovat a vyvozovat závěry.

Zveme vás k osobnímu posouzení všech výhod našeho přístupu k systematizaci a prezentaci vzdělávacích materiálů.

Dost často se při řešení problémů potýkáme s velkými čísly, ze kterých je třeba vytěžit Odmocnina. Mnoho studentů se rozhodne, že jde o chybu, a začne celý příklad řešit znovu. V žádném případě to nedělejte! Důvody jsou dva:

1. V problémech se objevují kořeny velkých čísel. Zejména v textových;
2. Existuje algoritmus, kterým se tyto kořeny počítají téměř ústně.

Tento algoritmus dnes zvážíme. Možná se vám některé věci budou zdát nepochopitelné. Ale pokud budete této lekci věnovat pozornost, dostanete proti tomu mocnou zbraň odmocniny.

Takže algoritmus:

1. Omezte požadovaný kořen nad a pod na čísla, která jsou násobky 10. Zmenšíme tedy rozsah hledání na 10 čísel;
2. Z těchto 10 čísel vyřaďte ty, které rozhodně nemohou být kořeny. V důsledku toho zůstanou 1-2 čísla;
3. Odmocni tato 1-2 čísla. Ten, jehož druhá mocnina se rovná původnímu číslu, bude odmocninou.

Před uvedením tohoto algoritmu do praxe se podívejme na každý jednotlivý krok.

Omezení kořene

Nejprve musíme zjistit, mezi kterými čísly se nachází náš kořen. Je velmi žádoucí, aby čísla byla násobky deseti:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Dostaneme řadu čísel:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Co nám tato čísla říkají? Je to jednoduché: dostáváme hranice. Vezměme si například číslo 1296. Leží mezi 900 a 1600. Proto jeho kořen nemůže být menší než 30 a větší než 40:

[Popis k obrázku]

Totéž platí pro jakékoli jiné číslo, ze kterého můžete najít druhou odmocninu. Například 3364:

[Popis k obrázku]

Místo nesrozumitelného čísla tak dostáváme zcela konkrétní rozsah, ve kterém leží původní kořen. Chcete-li dále zúžit oblast hledání, přejděte k druhému kroku.

Eliminace zjevně zbytečných čísel

Máme tedy 10 čísel - kandidátů na kořen. Získali jsme je velmi rychle, bez složitého přemýšlení a násobení v kolonce. Je čas jít dál.

Věřte nebo ne, ale nyní snížíme počet kandidátních čísel na dvě – opět bez složitých výpočtů! Stačí znát speciální pravidlo. Tady to je:

Poslední číslice čtverce závisí pouze na poslední číslici původní číslo.

Jinými slovy, stačí se podívat na poslední číslici čtverce a hned pochopíme, kde končí původní číslo.

Na posledním místě může být pouze 10 číslic. Zkusme zjistit, v co se promění při umocnění. Podívejte se na tabulku:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Tato tabulka je dalším krokem k výpočtu kořene. Jak vidíte, čísla ve druhém řádku se ukázala být symetrická vzhledem k pěti. Například:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Jak vidíte, poslední číslice je v obou případech stejná. To znamená, že například kořen 3364 musí končit 2 nebo 8. Na druhou stranu si pamatujeme omezení z předchozího odstavce. Dostaneme:

[Popis k obrázku]

Červené čtverečky naznačují, že tento údaj ještě neznáme. Ale kořen leží v rozsahu od 50 do 60, na kterém jsou pouze dvě čísla končící na 2 a 8:

[Popis k obrázku]

To je vše! Ze všech možných kořenů jsme nechali jen dvě možnosti! A to je v nejtěžším případě, protože poslední číslice může být 5 nebo 0. A pak bude jen jeden kandidát na kořeny!

Závěrečné výpočty

Zbývají nám tedy 2 kandidátní čísla. Jak víte, který z nich je kořen? Odpověď je zřejmá: odmocni obě čísla. Ten, který umocňuje původní číslo, bude odmocninou.

Například pro číslo 3364 jsme našli dvě kandidátní čísla: 52 a 58. Uveďme je na druhou:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

To je vše! Ukázalo se, že kořen je 58! Zároveň jsem pro zjednodušení výpočtů použil vzorec pro druhé mocniny součtu a rozdílu. Díky tomu jsem ani nemusel násobit čísla do sloupce! Toto je další úroveň optimalizace výpočtu, ale je samozřejmě zcela volitelná :)

Příklady výpočtu kořenů

Teorie je samozřejmě dobrá. Pojďme si to ale ověřit v praxi.

[Popis k obrázku]

Nejprve zjistíme, mezi kterými čísly leží číslo 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Nyní se podívejme na poslední číslo. Je roven 6. Kdy se to stane? Pouze pokud kořen končí na 4 nebo 6. Dostaneme dvě čísla:

Zbývá pouze odmocnit každé číslo a porovnat je s originálem:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Skvělý! Ukázalo se, že první čtverec se rovná původnímu číslu. Takže toto je kořen.

Úkol. Vypočítejte druhou odmocninu:

[Popis k obrázku]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Podívejme se na poslední číslici:

1369 → 9;
33; 37.

Rozdělte to:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Zde je odpověď: 37.

Úkol. Vypočítejte druhou odmocninu:

[Popis k obrázku]

Omezujeme počet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Podívejme se na poslední číslici:

2704 → 4;
52; 58.

Rozdělte to:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Dostali jsme odpověď: 52. Druhé číslo již nebude třeba odmocňovat.

Úkol. Vypočítejte druhou odmocninu:

[Popis k obrázku]

Omezujeme počet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Podívejme se na poslední číslici:

4225 → 5;
65.

Jak vidíte, po druhém kroku zbývá pouze jedna možnost: 65. Toto je požadovaný kořen. Ale ještě to srovnáme a zkontrolujeme:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Všechno je správně. Odpověď zapisujeme.

Závěr

Bohužel, o nic lepší. Podívejme se na důvody. Jsou dva z nich:

• Při jakékoli běžné zkoušce z matematiky, ať už jde o státní zkoušku nebo jednotnou státní zkoušku, je používání kalkulaček zakázáno. A pokud si do třídy přinesete kalkulačku, můžete být ze zkoušky snadno vyhozeni.
• Nebuďte jako hloupí Američané. Které nejsou jako odmocniny – neumí sečíst dvě prvočísla. A když vidí zlomky, obvykle se stanou hysterickými.

Před kalkulačkami počítali studenti a učitelé odmocniny ručně. Existuje několik způsobů, jak ručně vypočítat druhou odmocninu čísla. Některé z nich nabízejí pouze přibližné řešení, jiné dávají přesnou odpověď.

Kroky

Prvočíselný rozklad

Rozdělte radikální číslo na faktory, které jsou čtvercovými čísly. V závislosti na radikálním čísle získáte přibližnou nebo přesnou odpověď. Čtvercová čísla jsou čísla, ze kterých lze vzít celou druhou odmocninu. Faktory jsou čísla, která po vynásobení dávají původní číslo. Například faktory čísla 8 jsou 2 a 4, protože 2 x 4 = 8, čísla 25, 36, 49 jsou čtvercová čísla, protože √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Čtvercové faktory jsou faktory , což jsou čtvercová čísla. Nejprve se pokuste rozdělit radikální číslo na čtvercové faktory.

• Vypočítejte například druhou odmocninu ze 400 (ručně). Nejprve zkuste faktorizovat 400 na čtvercové faktory. 400 je násobek 100, to znamená dělitelné 25 - to je čtvercové číslo. Vydělením 400 25 získáte 16. Číslo 16 je také čtvercové číslo. 400 lze tedy rozdělit na čtvercové faktory 25 a 16, tedy 25 x 16 = 400.
• To lze zapsat následovně: √400 = √(25 x 16).

1. Druhá odmocnina součinu některých členů se rovná součinu odmocnin každého členu, tj. √(a x b) = √a x √b. Pomocí tohoto pravidla odeberte druhou odmocninu každého čtvercového faktoru a vynásobte výsledky, abyste našli odpověď.

   • V našem příkladu vezměte odmocninu z 25 a 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Pokud se radikální číslo nerozdělí na dva čtvercové faktory (a to se ve většině případů stává), nebudete schopni najít přesnou odpověď ve formě celého čísla. Problém ale můžete zjednodušit tak, že radikální číslo rozložíte na čtverec a obyčejný činitel (číslo, ze kterého nelze vzít celou odmocninu). Potom vezmete druhou odmocninu čtvercového faktoru a vezmete odmocninu společného faktoru.

   • Vypočítejte například druhou odmocninu z čísla 147. Číslo 147 nelze rozdělit na dva čtvercové faktory, ale lze jej rozložit na následující faktory: 49 a 3. Úlohu vyřešte následovně:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. V případě potřeby odhadněte hodnotu kořene. Nyní můžete odhadnout hodnotu odmocniny (najít přibližnou hodnotu) jejím porovnáním s hodnotami odmocnin čtvercových čísel, které jsou nejblíže (na obou stranách číselné osy) radikálnímu číslu. Odmocninu obdržíte jako desetinný zlomek, který je třeba vynásobit číslem za odmocninou.

   • Vraťme se k našemu příkladu. Radikálové číslo je 3. Čtvercová čísla nejblíže k němu budou čísla 1 (√1 = 1) a 4 (√4 = 2). Hodnota √3 se tedy nachází mezi 1 a 2. Protože hodnota √3 je pravděpodobně blíže 2 než 1, náš odhad je: √3 = 1,7. Tuto hodnotu vynásobíme číslem u kořenového znaménka: 7 x 1,7 = 11,9. Pokud si to spočítáte na kalkulačce, dostanete 12,13, což je docela blízko naší odpovědi.
     • Tato metoda funguje i s velkými čísly. Uvažujme například √35. Radikální číslo je 35. Nejbližší čtvercová čísla k němu budou čísla 25 (√25 = 5) a 36 (√36 = 6). Hodnota √35 se tedy nachází mezi 5 a 6. Protože hodnota √35 je mnohem blíže 6 než 5 (protože 35 je pouze o 1 méně než 36), můžeme říci, že √35 je o něco méně než 6 Kontrola na kalkulačce nám dává odpověď 5,92 - měli jsme pravdu.

4. Dalším způsobem je faktor radikálního čísla do prvočinitelů. Prvočísla jsou čísla, která jsou dělitelná pouze 1 a sami sebou. Zapište prvočinitele do řady a najděte dvojice stejných činitelů. Takové faktory lze vyjmout z kořenového znaku.

   • Například vypočítejte druhou odmocninu z 45. Radikálové číslo rozložíme na prvočinitele: 45 = 9 x 5 a 9 = 3 x 3. Tedy √45 = √(3 x 3 x 5). 3 lze vyjmout jako kořenové znaménko: √45 = 3√5. Nyní můžeme odhadnout √5.
   • Podívejme se na další příklad: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Obdrželi jste tři násobiče 2; vezměte jich pár a přesuňte je za kořenové znamení.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyní můžete vyhodnotit √2 a √11 a najít přibližnou odpověď.

   Ruční výpočet druhé odmocniny

   Použití dlouhého dělení

   1. Tato metoda zahrnuje proces podobný dlouhému dělení a poskytuje přesnou odpověď. Nejprve nakreslete svislou čáru rozdělující list na dvě poloviny a poté vpravo a mírně pod horní okraj listu nakreslete vodorovnou čáru ke svislé čáře. Nyní rozdělte radikální číslo na dvojice čísel, počínaje zlomkovou částí za desetinnou čárkou. Takže číslo 79520789182.47897 je zapsáno jako "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Spočítejme si například druhou odmocninu z čísla 780,14. Nakreslete dvě čáry (jak je znázorněno na obrázku) a zapište dané číslo ve tvaru „7 80, 14“ vlevo nahoře. Je normální, že první číslice zleva je nepárová číslice. Odpověď (kořen tohoto čísla) napíšete vpravo nahoře.

   2. Pro první dvojici čísel (nebo jediné číslo) zleva najděte největší celé číslo n, jehož druhá mocnina je menší nebo rovna příslušné dvojici čísel (nebo jedinému číslu). Jinými slovy, najděte druhé číslo, které je nejbližší, ale menší než první pár čísel (nebo jediné číslo) zleva, a vezměte druhou odmocninu tohoto druhého čísla; dostanete číslo n. Napište n, které jste našli, vpravo nahoře a druhou mocninu n vpravo dole.

      • V našem případě bude první číslo vlevo 7. Dále 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odečtěte druhou mocninu čísla n, které jste právě našli, od první dvojice čísel (nebo jediného čísla) vlevo. Výsledek výpočtu zapište pod subtrahend (druhou mocninu čísla n).

      • V našem příkladu odečtěte 4 od 7 a dostanete 3.

   4. Sejměte druhou dvojici čísel a zapište ji vedle hodnoty získané v předchozím kroku. Potom zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s přidáním "_×_=".

      • V našem příkladu je druhá dvojice čísel "80". Za 3 napište "80". Potom zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a dostanete 4. Napište "4_×_=" vpravo dole.

   5. Vyplňte prázdná místa vpravo.

      • Pokud v našem případě dáme místo pomlček číslo 8, pak 48 x 8 = 384, což je více než 380. Proto je 8 příliš velké číslo, ale 7 bude stačit. Napište 7 místo pomlček a dostanete: 47 x 7 = 329. Napište 7 vpravo nahoře - to je druhá číslice v požadované druhé odmocnině čísla 780,14.

   6. Odečtěte výsledné číslo od aktuálního čísla vlevo. Výsledek z předchozího kroku zapiš pod aktuální číslo vlevo, najdi rozdíl a zapiš ho pod subtrahend.

      • V našem příkladu odečtěte 329 od 380, což se rovná 51.

   7. Opakujte krok 4. Pokud je dvojice přenášených čísel zlomková část původního čísla, vložte oddělovač (čárku) mezi celé číslo a zlomkovou část v požadované druhé odmocnině vpravo nahoře. Vlevo stáhněte další dvojici čísel. Zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s přidáním "_×_=".

      • V našem příkladu bude další dvojice čísel, která mají být odstraněna, zlomková část čísla 780,14, takže umístěte oddělovač celého čísla a zlomkové části do požadované druhé odmocniny vpravo nahoře. Sundejte 14 a zapište si to vlevo dole. Dvojité číslo vpravo nahoře (27) je 54, takže vpravo dole napište "54_×_=".

   8. Opakujte kroky 5 a 6. Najděte největší číslo na místě pomlček vpravo (místo pomlček je třeba dosadit stejné číslo), aby výsledek násobení byl menší nebo roven aktuálnímu číslu vlevo.

      • V našem příkladu je 549 x 9 = 4941, což je méně než aktuální číslo vlevo (5114). Vpravo nahoře napište 9 a od aktuálního čísla vlevo odečtěte výsledek násobení: 5114 - 4941 = 173.

   9. Pokud potřebujete najít více desetinných míst pro druhou odmocninu, napište několik nul nalevo od aktuálního čísla a opakujte kroky 4, 5 a 6. Opakujte kroky, dokud nezískáte přesnost odpovědi (počet desetinných míst). potřeba.

   Pochopení procesu

   Pro zvládnutí této metody si představte číslo, jehož druhou odmocninu musíte najít, jako plochu čtverce S. V tomto případě budete hledat délku strany L takového čtverce. Hodnotu L vypočítáme tak, že L² = S.

   Ke každému číslu v odpovědi uveďte písmeno. Označme A první číslici hodnoty L (požadovanou druhou odmocninu). B bude druhá číslice, C třetí a tak dále.

   Zadejte písmeno pro každou dvojici prvních číslic. Označme S a první dvojici číslic v hodnotě S, S b druhou dvojici číslic a tak dále.

   Pochopte souvislost mezi touto metodou a dlouhým dělením. Stejně jako při dělení, kde nás pokaždé zajímá pouze další číslice čísla, které dělíme, i při výpočtu druhé odmocniny postupujeme postupně s dvojicí číslic (abychom získali další číslici v hodnotě odmocniny ).

   1. Zvažte první dvojici číslic Sa čísla S (v našem příkladu Sa = 7) a najděte jeho druhou odmocninu. V tomto případě bude první číslicí A požadované druhé odmocniny číslice, jejíž druhá mocnina je menší nebo rovna S a (to znamená, že hledáme A takové, že nerovnost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Řekněme, že potřebujeme vydělit 88962 7; zde bude první krok podobný: vezmeme v úvahu první číslici dělitelného čísla 88962 (8) a vybereme největší číslo, které po vynásobení 7 dá hodnotu menší nebo rovnou 8. To znamená, že hledáme číslo d, pro které platí nerovnost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. V duchu si představte čtverec, jehož plochu musíte vypočítat. Hledáte L, tedy délku strany čtverce, jehož obsah se rovná S. A, B, C jsou čísla v čísle L. Můžete to napsat různě: 10A + B = L (pro dvoumístné číslo) nebo 100A + 10B + C = L (pro třímístné číslo) a tak dále.

      • Nechat (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamatujte, že 10A+B je číslo, ve kterém číslice B znamená jednotky a číslice A znamená desítky. Pokud například A=1 a B=2, pak 10A+B se rovná číslu 12. (10A+B)²- toto je plocha celého náměstí, 100A²- plocha velkého vnitřního náměstí, B²- plocha malého vnitřního čtverce, 10A×B- plocha každého ze dvou obdélníků. Sečtením ploch popsaných obrazců zjistíte plochu původního čtverce.