Fibonači skaitļu secība. Vai šī ir pirmā reize, kad par to dzirdat un pat nezināt, no kuras zināšanu jomas tas ir? Izrādās, ka dabas parādību likumsakarība, dzīvo organismu uzbūve un daudzveidība uz mūsu planētas, viss, kas mūs ieskauj, pārsteidzot iztēli ar savu harmoniju un sakārtotību, Visuma likumi, cilvēka domas kustība un sasniegumi. zinātne - tas viss tiek izskaidrots ar summēšanu Fibonači secība.

Mūžīgā cilvēka vēlme izzināt sevi un pasaule virzīja zinātni uz priekšu.

Viens no nozīmīgākajiem sasniegumiem matemātikā ir arābu ciparu ieviešana romiešu ciparu vietā. Tas pieder vienam no ievērojamākajiem XII gadsimta zinātniekiem Fibonači (1175). Viņa vārdā tika nosaukts vēl viens viņa atklājums - summēšanas secība: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Tie ir t.s. Fibonači skaitļi.

Šis matemātikas modelis interesēja citu viduslaiku zinātnieku Akvīnas Tomu. Vēlmes "izmērīt harmoniju ar algebru" vadīts, zinātnieks secināja, ka starp matemātiku un skaistumu ir tieša saikne. Akvīnas Toms estētiskās sajūtas, kas rodas, apcerot harmoniskus objektus, ko proporcionāli radījusi daba, skaidroja ar to pašu summējošās secības principu.

Šis princips izskaidro, ka, sākot no 1.1, nākamais skaitlis būs divu iepriekšējo skaitļu summa. Šim modelim ir liela nozīme.Šī secība ir lēnāka un lēnāka - asimptomotiski - tuvojas noteiktai nemainīgai attiecībai. Tomēr šī attiecība ir neracionāla, tas ir, tai ir bezgalīga un neparedzama skaitļu secība daļējā daļā. Precīza tā izpausme nav iespējama. Sadalot jebkuru Fibonači secības terminu ar vārdu pirms tā, mēs iegūstam vērtību, kas svārstās ap vērtību 1,61803398875... (irracionāli), kas katru reizi to nesasniegs vai pārsniegs. Pat ar mūžību nepietiek, lai precīzi noteiktu šo attiecību. Īsuma labad mēs to izmantosim kā 1.618.

Viduslaiku matemātiķis Luka Pacioli šo attiecību sauca par dievišķo proporciju. Keplers summēšanas secību nosauca par "vienu no ģeometrijas dārgumiem". Mūsdienu zinātnē summēšana Fibonači secība ir vairāki nosaukumi, ne mazāk poētiski: Rotējošu kvadrātu attiecība, Zelta vidējais, Zelta attiecība. Matemātikā to apzīmē ar grieķu burtu phi (Ф=1,618).

Secības asimptotiskais raksturs, tās svārstības ap iracionālo Fibonači skaitli, kurām ir tendence izbalināt, kļūs skaidrāka, ja aplūkosim šīs secības pirmo terminu attiecības. Tālāk esošajā piemērā mēs apskatīsim Fibonači skaitļus un norādīsim otrā un pirmā vārda attiecību, trešā pret otro un tā tālāk:
1:1 = 1,0000, tas ir par 0,6180 mazāk nekā phi
2:1 = 2,0000, tas ir par 0,3820 vairāk nekā phi
3:2 = 1,5000, tas ir par 0,1180 mazāk nekā phi
5:3 = 1,6667, tas ir par 0,0486 vairāk nekā phi
8:5 = 1,6000, tas ir par 0,0180 mazāk nekā phi
Virzoties tālāk pa Fibonači secību, katrs jauns termins sadalīs nākamo, arvien tuvāk un tuvāk nesasniedzamajam skaitlim F.

Pēc tam mēs redzēsim, ka daži Fibonači skaitļi, kas veido tā summēšanas secību, ir redzami dažādu preču cenu dinamikā; starp metodēm tehniskā analīze Forex tiek izmantoti Fibonači līmeņi. Koeficientu svārstības pie 1.615 par vienu vai otru summu var konstatēt, kurās tās parādās Alternatīvas noteikumā. Zemapziņā katrs cilvēks meklē bēdīgi slaveno dievišķo proporciju, kas ir nepieciešama, lai apmierinātu vēlmi pēc komforta.

Ja mēs sadalām jebkuru Fibonači secības terminu ar tai sekojošo, mēs iegūstam apgriezto vērtību 1,618, tas ir, 1:1,618. Arī šī ir diezgan neparasta parādība, varbūt pat ievērojama. Sākotnējā attiecība ir bezgalīga daļa, tāpēc arī šai attiecībai jābūt bezgalīgai.

Vēl viens svarīgs fakts ir šāds. Jebkura vārda kvadrāts Fibonači secībā ir vienāds ar skaitli, kas ir pirms tā secībā, kas reizināts ar skaitli, kas nāk aiz tā, plus vai mīnus.
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
Pluss un mīnuss vienmēr mainās, un tā ir daļa no Elliota viļņu teorijas, ko sauc par alternatīvu likumu. Šis noteikums saka: sarežģīti koriģējoša rakstura viļņi mijas ar vienkāršiem, spēcīgi impulsīva rakstura viļņi mijas ar vājiem koriģējoša rakstura viļņiem utt.

Dievišķās proporcijas izpausmes dabā

Atklātā matemātiskā secība ļauj aprēķināt bezgalīgu skaitu konstantu. Šīs secības dalībnieki vienmēr parādīsies bezgalīgā kombināciju skaitā.
Izmantojot izveidoto modeli, tiek sniegta dabas parādību matemātiska interpretācija. Šajā ziņā matemātiskās secības atklāšanai ir viena no nozīmīgākajām vietām vēstures zināšanās.
Mēs varam atsaukties uz vairākām interesantām teorijām, kas iegūtas no matemātiskās secības.

Gīzas piramīda

Piramīdas konstrukcijas pamatā ir proporcija Ф=1,618. Šis atklājums tika izdarīts pēc daudziem mēģinājumiem atklāt šīs piramīdas noslēpumus. Pati piramīda Gīzā, šķiet, ir sava veida vēstījums pēcnācējiem, lai sniegtu noteiktas zināšanas par matemātiskās secības likumiem. Piramīdas celšanas laikā tās būvētājiem nebija pietiekamu iespēju paust sev zināmos likumus. Tajā laikā rakstība nepastāvēja, un hieroglifi netika izmantoti. Tomēr piramīdas veidotājiem ar ģeometriskās proporcijas palīdzību izdevās nodot savas zināšanas par matemātikas modeļiem nākamajām paaudzēm.

Tempļa priesteri deva Hērodotam Gīzas piramīdas noslēpumu. Tas ir veidots tā, lai katras sejas laukums būtu vienāds ar šīs sejas augstuma kvadrātu.
Trijstūra laukums: 356 x 440/2 = 78320
Kvadrātveida laukums: 280 x 280 = 78 400
Gīzas piramīdas seja ir 783,3 pēdas (238,7 m) gara un tās augstums ir 484,4 pēdas (147,6 m). Izdalot sejas garumu ar augumu, iegūstat attiecību Ф=1,618. 484,4 pēdu augstums atbilst 5813 collām (5-8-13), kas ir nekas vairāk kā Fibonači kārtas numuri. Visi šie novērojumi liek mums secināt, ka visa piramīdas konstrukcija ir balstīta uz proporciju Ф = 1,618.
Tie ir skaitļi no Fibonači secības. Šie interesantie novērojumi liecina, ka piramīdas dizains ir balstīts uz proporciju Ф=1,618.
Šī informācija dod pamatu domāt, ka zināšanas matemātikas un astroloģijas jomās tajā laikā bija ļoti attīstītas. Šis lielākais ne tikai cilvēka roku, bet arī viņa prāta radījums tika uzbūvēts stingrā saskaņā ar skaitli 1.618. Piramīdas pašas iekšējās un ārējās proporcijas, kas tiek ievērotas stingrā saskaņā ar Zelta griezuma likumu, ir vēstījums mums, pēcnācējiem, no gadsimtiem ilgo lielāko zināšanu dzīlēm.

Meksikas piramīdas

Apbrīnojami, ka piramīdas Meksikā tika būvētas pēc tāda paša principa. Nevar nepieņemt, ka Meksikas piramīdas tika uzceltas vienlaikus ar Ēģiptes piramīdas, turklāt celtniekiem bija zināšanas par zelta koeficienta matemātisko likumu.
Piramīdas šķērsgriezums atklāj kāpņu formu. Tās pirmajā līmenī ir 16 pakāpieni, otrajā ir 42 pakāpieni, trešajā – 68 pakāpieni. Skaitļi ir balstīti uz Fibnači secību šādi:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Skaitlis Ф = 1,618 ir pamatā Meksikas piramīdas proporcijām. (

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonači skaitļi un zelta griezums veido pamatu apkārtējās pasaules izpratnei, veidojot tās formu un optimālu cilvēka vizuālo uztveri, ar kuras palīdzību viņš var sajust skaistumu un harmoniju.

Zelta griezuma izmēru noteikšanas princips ir visas pasaules un tās daļu pilnības pamatā tās struktūrā un funkcijās, tās izpausme redzama dabā, mākslā un tehnoloģijā. Zelta proporcijas doktrīna tika dibināta seno zinātnieku pētījumu rezultātā par skaitļu būtību.

Pierādījumi par to, ka senie domātāji izmantojuši zelta griezumu, ir sniegti Eiklida grāmatā “Elementi”, kas sarakstīta 3. gadsimtā. BC, kurš izmantoja šo noteikumu, lai izveidotu regulārus piecstūrus. Pitagoriešu vidū šī figūra tiek uzskatīta par svētu, jo tā ir gan simetriska, gan asimetriska. Pentagramma simbolizēja dzīvību un veselību.

Fibonači skaitļi

1202. gadā tika izdota itāļu matemātiķa Leonardo no Pizas slavenā grāmata Liber abaci, kurš vēlāk kļuva pazīstams kā Fibonači. Tajā zinātnieks pirmo reizi citē skaitļu modeli, kurā katrs skaitlis ir skaitļu summa. 2 iepriekšējie cipari. Fibonači skaitļu secība ir šāda:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 utt.

Zinātnieks minēja arī vairākus modeļus:

Jebkurš skaitlis no sērijas, kas dalīts ar nākamo, būs vienāds ar vērtību, kas parasti ir 0,618. Turklāt pirmie Fibonači skaitļi šādu skaitli nedod, bet, virzoties no secības sākuma, šī attiecība kļūs arvien precīzāka.

Ja sērijas skaitli dalīsit ar iepriekšējo, rezultāts sasniegs 1,618.

Viens skaitlis, dalīts ar nākamo ar vienu, parādīs vērtību, kas ir 0,382.

Zelta griezuma, Fibonači skaitļa (0,618) savienojuma un modeļu pielietojums ir atrodams ne tikai matemātikā, bet arī dabā, vēsturē, arhitektūrā un būvniecībā un daudzās citās zinātnēs.

Praktiskiem nolūkiem tie ir ierobežoti līdz aptuvenajai vērtībai Φ = 1,618 vai Φ = 1,62. Noapaļotā procentuālā izteiksmē zelta griezums ir jebkuras vērtības dalījums attiecībās 62% un 38%.

Vēsturiski zelta griezums sākotnēji tika saukts par segmenta AB sadalīšanu ar punktu C divās daļās (mazāks segments AC un lielāks segments BC), tāpēc nogriežņu garumiem AC/BC = BC/AB bija taisnība. Runājot vienkāršos vārdos, pēc zelta griezuma segments tiek sagriezts divās nevienlīdzīgās daļās tā, lai mazākā daļa būtu saistīta ar lielāko, jo lielākā daļa ir saistīta ar visu segmentu. Vēlāk šī koncepcija tika paplašināta līdz patvaļīgiem daudzumiem.

Tiek saukts arī skaitlis Φ zelta skaitlis.

Zelta griezumam ir daudz brīnišķīgu īpašību, bet turklāt tai tiek piedēvētas daudzas fiktīvas īpašības.

Tagad sīkāka informācija:

GS definīcija ir segmenta sadalīšana divās daļās tādā proporcijā, kurā lielākā daļa ir saistīta ar mazāko, jo to summa (viss segments) ir ar lielāko.

Tas ir, ja mēs ņemam visu segmentu c kā 1, tad segments a būs vienāds ar 0,618, segments b - 0,382. Tātad, ja mēs ņemam ēku, piemēram, templi, kas celta pēc 3S principa, tad ar tā augstumu, teiksim, 10 metri, bungas augstums ar kupolu būs 3,82 cm, bet pamatnes augstums konstrukcija būs 6,18 cm (skaidrības labad skaidrs, ka skaitļi ņemti plakaniski)

Kāda ir saikne starp ZS un Fibonači skaitļiem?

Fibonači kārtas numuri ir:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Skaitļu modelis ir tāds, ka katrs nākamais skaitlis ir vienāds ar divu iepriekšējo skaitļu summu.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 utt.,

un blakus esošo skaitļu attiecība tuvojas ZS attiecībai.
Tātad 21: 34 = 0,617 un 34: 55 = 0,618.

Tas ir, GS ir balstīts uz Fibonači secības skaitļiem.

Tiek uzskatīts, ka terminu "zelta attiecība" ieviesa Leonardo Da Vinči, kurš teica: "Lai neviens, kas nav matemātiķis, uzdrošinās lasīt manus darbus" un parādīja cilvēka ķermeņa proporcijas savā slavenajā zīmējumā "Vitruvian Man" ”. “Ja mēs piesienam cilvēka figūru - vispilnīgāko Visuma radījumu - ar jostu un pēc tam izmērām attālumu no jostas līdz pēdām, tad šī vērtība attieksies uz attālumu no tās pašas jostas līdz galvas augšdaļai, tāpat kā viss cilvēka augums attiecas uz garumu no vidukļa līdz pēdām.

Fibonači skaitļu sērija ir vizuāli modelēta (materializēta) spirāles formā.

Un dabā GS spirāle izskatās šādi:

Tajā pašā laikā spirāle tiek novērota visur (dabā un ne tikai):

Sēklas lielākajā daļā augu ir izkārtotas spirālē
- Zirneklis auž tīklu spirālē
- Viesuļvētra griežas kā spirāle
- Nobijies ziemeļbriežu bars izklīst pa spirāli.
- DNS molekula ir savīti dubultā spirālē. DNS molekula sastāv no divām vertikāli savītām spirālēm, 34 angstrēmu garas un 21 angstremu platas. Cipari 21 un 34 seko viens otram Fibonači secībā.
- Embrijs attīstās spirāles formā
- kohleārā spirāle iekšējā ausī
- Ūdens pa spirāli iet pa kanalizāciju
- Spirālveida dinamika parāda cilvēka personības un viņa vērtību attīstību spirālē.
- Un, protams, pašai Galaxy ir spirāles forma

Līdz ar to var apgalvot, ka pati daba ir veidota pēc Zelta griezuma principa, tāpēc šo proporciju cilvēka acs uztver harmoniskāk. Tas neprasa “labojumu” vai papildinājumu iegūtajam pasaules attēlam.

Filma. Dieva numurs. Neapgāžami Dieva pierādījumi; Dieva skaitlis. Neapstrīdams Dieva pierādījums.

Zelta proporcijas DNS molekulas struktūrā

Visa informācija par dzīvo būtņu fizioloģiskajām īpašībām tiek glabāta mikroskopiskā DNS molekulā, kuras struktūrā ir ietverts arī zelta proporcijas likums. DNS molekula sastāv no divām vertikāli savītām spirālēm. Katras šīs spirāles garums ir 34 angstrēmi un platums ir 21 angstroms. (1 angstroms ir simtmiljonā centimetra daļa).

21 un 34 ir skaitļi, kas seko viens otram Fibonači skaitļu secībā, tas ir, DNS molekulas logaritmiskās spirāles garuma un platuma attiecībai ir zelta attiecības formula 1:1,618

Zelta attiecība mikrokosmosa struktūrā

Ģeometriskās formas neaprobežojas tikai ar trīsstūri, kvadrātu, piecstūri vai sešstūri. Ja mēs savienojam šīs figūras dažādos veidos savā starpā, mēs iegūstam jaunu trīsdimensiju ģeometriskas figūras. Piemēri tam ir figūras, piemēram, kubs vai piramīda. Tomēr bez tām ir arī citas trīsdimensiju figūras, kurās mēs neesam sastapušies Ikdiena, un kuru vārdus mēs, iespējams, dzirdam pirmo reizi. Starp šādām trīsdimensiju figūrām ir tetraedrs (parasta četrpusēja figūra), oktaedrs, dodekaedrs, ikosaedrs utt. Dodekaedrs sastāv no 13 piecstūriem, ikosaedrs no 20 trijstūriem. Matemātiķi atzīmē, ka šie skaitļi ir matemātiski ļoti viegli transformējami, un to transformācija notiek saskaņā ar zelta griezuma logaritmiskās spirāles formulu.

Mikrokosmosā visur ir sastopamas trīsdimensiju logaritmiskās formas, kas veidotas pēc zelta proporcijām. Piemēram, daudziem vīrusiem ir trīsdimensiju ģeometriskā forma ikosaedrs. Varbūt visslavenākais no šiem vīrusiem ir Adeno vīruss. Adeno vīrusa proteīna apvalks veidojas no 252 proteīna šūnu vienībām, kas sakārtotas noteiktā secībā. Katrā ikosaedra stūrī ir 12 proteīna šūnu vienības piecstūra prizmas formā, un no šiem stūriem stiepjas smaile līdzīgas struktūras.

Zelta griezums vīrusu struktūrā pirmo reizi tika atklāts pagājušā gadsimta piecdesmitajos gados. Londonas Birkbekas koledžas zinātnieki A. Klūgs un D. Kaspars. 13 Polyo vīruss bija pirmais, kas parādīja logaritmisko formu. Šī vīrusa forma izrādījās līdzīga Rhino 14 vīrusa formai.

Rodas jautājums, kā vīrusi veido tik sarežģītas trīsdimensiju formas, kuru struktūra satur zelta griezumu un kuras ir diezgan grūti uzbūvēt pat ar mūsu cilvēka prātu? Šo vīrusu formu atklājējs virusologs A. Klūgs sniedz šādu komentāru:

“Mēs ar doktoru Kasparu parādījām, ka vīrusa sfēriskajam apvalkam visoptimālākā forma ir simetrija, piemēram, ikosaedra forma. Šī kārtība samazina savienojošo elementu skaitu... Lielākā daļa Bakminstera Fullera ģeodēzisko puslodes kubu ir veidoti pēc līdzīga ģeometriskā principa. 14 Šādu kubu uzstādīšanai nepieciešama ārkārtīgi precīza un detalizēta paskaidrojuma diagramma. Tā kā bezsamaņā esošie vīrusi paši veido tik sarežģītu apvalku no elastīgām, elastīgām olbaltumvielu šūnu vienībām.

Apkārtējā pasaule, sākot no mazākajām neredzamajām daļiņām līdz tālām galaktikām bezgalīgā kosmosā, ir pilna ar daudziem neatrisinātiem noslēpumiem. Tomēr, pateicoties vairāku zinātnieku zinātkārajiem prātiem, pār dažiem no tiem jau ir pacelts noslēpumainības plīvurs.

Viens no šādiem piemēriem ir "zelta griezums" un Fibonači skaitļi , kas veido tā pamatu. Šis modelis ir atspoguļots matemātiskā formā un bieži sastopams dabā, kas ieskauj cilvēkus, atkal izslēdzot iespēju, ka tā radusies nejaušības rezultātā.

Fibonači skaitļi un to secība

Fibonači skaitļu secība ir skaitļu virkne, no kurām katra ir iepriekšējo divu summa:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Šīs secības īpatnība ir skaitliskās vērtības, kas iegūtas, dalot šīs sērijas numurus savā starpā.

Fibonači skaitļu sērijai ir savi interesanti modeļi:

• Fibonači skaitļu sērijā katrs skaitlis, kas dalīts ar nākamo, parādīs vērtību, kas tiecas uz 0,618 . Jo tālāk ir skaitļi no sērijas sākuma, jo precīzāka būs attiecība. Piemēram, skaitļi, kas ņemti rindas sākumā 5 Un 8 parādīs 0,625 (5/8=0,625 ). Ja ņemam skaitļus 144 Un 233 , tad tie parādīs attiecību 0.618 .
• Savukārt, ja Fibonači skaitļu virknē mēs dalām skaitli ar iepriekšējo, tad dalīšanas rezultāts būs tendence 1,618 . Piemēram, tika izmantoti tie paši skaitļi, kā minēts iepriekš: 8/5=1,6 Un 233/144=1,618 .
• Skaitlis, kas dalīts ar nākamo pēc tā, parādīs vērtību, kas tuvojas 0,382 . Un jo tālāk tiek ņemti skaitļi no sērijas sākuma, jo precīzāka ir attiecības vērtība: 5/13=0,385 Un 144/377=0,382 . Sadalot skaitļus apgrieztā secībā, tiks iegūts rezultāts 2,618 : 13/5=2,6 Un 377/144=2,618 .

Izmantojot iepriekš aprakstītās aprēķinu metodes un palielinot atstarpes starp skaitļiem, varat iegūt šādas vērtību sērijas: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236, kas tiek plaši izmantota Fibonacci rīkos Forex tirgū.

Zelta attiecība jeb dievišķā proporcija

Analogija ar segmentu ļoti skaidri parāda “zelta attiecību” un Fibonači skaitļus. Ja segmentu AB dala ar punktu C tādā proporcijā, ka nosacījums ir izpildīts:

AC/BC=BC/AB, tad tā būs “zelta attiecība”

LASĪT ARĪ ŠĀKOS RAKSTIS:

Pārsteidzoši, ka tieši šādas attiecības var izsekot Fibonači sērijā. Ņemot dažus skaitļus no sērijas, jūs varat pārbaudīt, vai tas tā ir. Piemēram, šī Fibonači skaitļu secība... 55, 89, 144 ... Lai skaitlis 144 ir iepriekš minētais vesels skaitļa segments AB. Tā kā 144 ir divu iepriekšējo skaitļu summa, tad 55+89=AC+BC=144.

Sadalot segmentus, tiks parādīti šādi rezultāti:

AC/BC=55/89=0,618

BC/AB=89/144=0,618

Ja ņemam segmentu AB kopumā vai kā vienību, tad AC=55 būs 0,382 no šī veseluma, un BC=89 būs vienāds ar 0,618.

Kur parādās Fibonači skaitļi?

Grieķi un ēģiptieši zināja regulāro Fibonači skaitļu secību ilgi pirms paša Leonardo Fibonači. Šī skaitļu sērija ieguva šo nosaukumu pēc tam, kad slavenais matemātiķis nodrošināja šīs matemātiskās parādības plašu izplatību zinātnieku vidū.

Ir svarīgi atzīmēt, ka zelta Fibonači skaitļi nav tikai zinātne, bet arī apkārtējās pasaules matemātisks attēlojums. Daudzām dabas parādībām, floras un faunas pārstāvjiem savās proporcijās ir “zelta griezums”. Tās ir čaumalas spirālveida cirtas un saulespuķu sēklu, kaktusu un ananāsu izkārtojums.

Spirāle, kuras zaru proporcijas ir pakļautas “zelta griezuma” likumiem, ir viesuļvētras veidošanās, zirnekļa tīkla aušanas, daudzu galaktiku formas, DNS molekulu savijas un daudzas citas parādības.

Ķirzakas astes garuma attiecība pret ķermeni ir 62 pret 38. Cigoriņa dzinums izgrūž pirms lapas izlaišanas. Pēc pirmās loksnes izlaišanas notiek otra izmešana pirms otrās loksnes atbrīvošanas ar spēku, kas vienāds ar 0,62 no pirmās izmešanas parastās spēka vienības. Trešā robeža ir 0,38, bet ceturtā ir 0,24.

Tirgotājam ļoti svarīgi ir arī tas, ka cenu kustība Forex tirgū bieži ir pakļauta zelta Fibonači skaitļu paraugam. Pamatojoties uz šo secību, ir izveidoti vairāki rīki, kurus tirgotājs var izmantot savā arsenālā

Tirgotāju bieži izmantotais rīks “ ” var ar augstu precizitāti parādīt cenu kustības mērķus, kā arī tā korekcijas līmeņus.

Algoritmi,

Matemātika

• Tulkošana

Ievads

Programmētājiem jau vajadzētu būt apnikuši ar Fibonači skaitļiem. To aprēķinu piemēri tiek izmantoti visā. Viss ir atkarīgs no tā, ko šie skaitļi sniedz vienkāršākais piemērs rekursija. Un viņi arī ir labs piemērs dinamiskā programmēšana. Bet vai reālā projektā tos vajag šādi aprēķināt? Nav vajadzības. Ne rekursija, ne dinamiskā programmēšana nav ideālas iespējas. Un nevis slēgta formula, izmantojot peldošā komata skaitļus. Tagad es jums pastāstīšu, kā to izdarīt pareizi. Bet vispirms apskatīsim visas zināmās risinājuma iespējas.

Kods ir paredzēts Python 3, lai gan tam vajadzētu darboties arī ar Python 2.

Sākumā ļaujiet man jums atgādināt definīciju:

Fn = Fn-1 + Fn-2

Un F 1 = F 2 = 1.

Slēgta formula

Mēs izlaidīsim detaļas, bet interesenti var iepazīties ar formulas atvasināšanu. Ideja ir pieņemt, ka ir kāds x, kuram F n = x n, un pēc tam atrast x.

Ko tas nozīmē

Samazināt x n-2

Kvadrātvienādojuma atrisināšana:

Šeit aug “zelta attiecība” ϕ=(1+√5)/2. Aizstājot sākotnējās vērtības un veicot vēl dažus aprēķinus, mēs iegūstam:

Ko mēs izmantojam, lai aprēķinātu Fn.

No __nākotnes__ importa nodaļas importa math def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int (PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Labi:
Ātri un vienkārši maziem n
Sliktais:
Ir nepieciešamas operācijas ar peldošo komatu. Lielam n būs nepieciešama lielāka precizitāte.
Ļaunums:
Komplekso skaitļu izmantošana F n aprēķināšanai ir skaista no matemātiskā viedokļa, bet neglīta no datora viedokļa.

Rekursija

Acīmredzamākais risinājums ir tāds, ko esat redzējis daudzas reizes, visticamāk, kā piemēru tam, kas ir rekursija. Pilnības labad es to atkārtošu vēlreiz. Python to var rakstīt vienā rindā:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib (n - 2), ja n > 2 cits 1

Labi:
Ļoti vienkārša realizācija, kas atbilst matemātiskajai definīcijai
Sliktais:
Eksponenciālais izpildes laiks. Lieliem n tas ir ļoti lēns
Ļaunums:
Stack Overflow

Iegaumēšana

Rekursijas risinājumam ir liela problēma: aprēķinu pārklāšanās. Kad tiek izsaukts fib(n), tiek skaitīti fib(n-1) un fib(n-2). Bet, kad tiek skaitīts fib(n-1), tas atkal skaitīs fib(n-2) neatkarīgi - tas ir, fib(n-2) tiek skaitīts divreiz. Ja turpināsim argumentu, mēs redzēsim, ka fib(n-3) tiks skaitīts trīs reizes utt. Pārāk daudz krustojumu.

Tāpēc jums vienkārši jāatceras rezultāti, lai tos vairs neskaitītu. Šis risinājums lineāri patērē laiku un atmiņu. Es savā risinājumā izmantoju vārdnīcu, taču var izmantot arī vienkāršu masīvu.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): ja n M: atgriešanās M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) atgriešanās M[n]

(Python to var izdarīt arī, izmantojot dekoratoru functools.lru_cache.)

Labi:
Vienkārši pārvērtiet rekursiju par atmiņas risinājumu. Pārvērš eksponenciālo izpildes laiku lineārā izpildē, kas patērē vairāk atmiņas.
Sliktais:
Iznieko daudz atmiņas
Ļaunums:
Iespējama steka pārpilde, tāpat kā rekursija

Dinamiskā programmēšana

Pēc atrisināšanas ar iegaumēšanu kļūst skaidrs, ka mums nav vajadzīgi visi iepriekšējie rezultāti, bet tikai pēdējie divi. Turklāt tā vietā, lai sāktu no fib(n) un dotos atpakaļ, varat sākt no fib(0) un iet uz priekšu. Tālāk norādītajam kodam ir lineārs izpildes laiks un fiksēts atmiņas lietojums. Praksē risinājuma ātrums būs vēl lielāks, jo nav rekursīvu funkciju izsaukumu un saistīto darbu. Un kods izskatās vienkāršāks.

Šis risinājums bieži tiek minēts kā dinamiskās programmēšanas piemērs.

Def. fib(n): a = 0 b = 1 __ diapazonā (n): a, b = b, a + b atgriež a

Labi:
Strādā ātri maziem n, vienkāršs kods
Sliktais:
Joprojām lineārs izpildes laiks
Ļaunums:
Nekas īpašs.

Matricas algebra

Un visbeidzot vismazāk izgaismots, bet vispareizākais risinājums, gudri izmantojot gan laiku, gan atmiņu. To var arī attiecināt uz jebkuru viendabīgu lineāru secību. Ideja ir izmantot matricas. Pietiek tikai to redzēt

Un to saka vispārinājums

Divas x vērtības, ko mēs ieguvām iepriekš, no kurām viena bija zelta attiecība, ir matricas īpatnējās vērtības. Tāpēc vēl viens veids, kā iegūt slēgtu formulu, ir izmantot matricas vienādojumu un lineāro algebru.

Tātad, kāpēc šis formulējums ir noderīgs? Tā kā eksponenci var veikt logaritmiskā laikā. Tas tiek darīts, izmantojot kvadrātu. Lieta tāda

Ja pirmā izteiksme tiek izmantota pāra A, otrā ir nepāra. Atliek tikai sakārtot matricas reizinājumus, un viss ir gatavs. Tā rezultātā tiek iegūts šāds kods. Es izveidoju rekursīvu pow ieviešanu, jo to ir vieglāk saprast. Skatīt iteratīvo versiju šeit.

Def pow(x, n, I, mult): """ Atgriež x pakāpē n. Pieņem, ka I ir identitātes matrica, kas tiek reizināta ar mult, un n ir pozitīvs vesels skaitlis """, ja n == 0: atgriež I elif n == 1: atgriešanās x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identitātes_matrica (n): """Atgriež n x n identitātes matricu""" r = saraksts(diapazons(n)) atgriež [ j in r] def matrix_multiply(A, B): BT = saraksts(zip(*B) ) return [ for row_a in A] def fib(n): F = pow([, ], n, identitātes_matrica(2), matrix_multiply) return F

Labi:
Fiksēts atmiņas lielums, logaritmiskais laiks
Sliktais:
Kods ir sarežģītāks
Ļaunums:
Ir jāstrādā ar matricām, lai gan tās nav tik sliktas

Veiktspējas salīdzinājums

Ir vērts salīdzināt tikai dinamiskās programmēšanas un matricas variantu. Ja salīdzinām tos pēc rakstzīmju skaita skaitļā n, izrādās, ka matricas risinājums ir lineārs, un risinājums ar dinamisko programmēšanu ir eksponenciāls. Praktisks piemērs ir fib(10 ** 6) aprēķināšana, skaitlis, kurā būs vairāk nekā divsimt tūkstoši ciparu.

N=10**6
Aprēķinot fib_matricu: fib(n) ir tikai 208988 cipari, aprēķins aizņēma 0,24993 sekundes.
Aprēķinot fib_dynamic: fib(n) ir tikai 208988 cipari, aprēķins aizņēma 11,83377 sekundes.

Teorētiskās piezīmes

Lai gan šī piezīme nav tieši saistīta ar iepriekš minēto kodu, šī piezīme joprojām rada zināmu interesi. Apsveriet šādu grafiku:

Saskaitīsim ceļu skaitu n garumā no A līdz B. Piemēram, ja n = 1 mums ir viens ceļš, 1. Ja n = 2 mums atkal ir viens ceļš, 01. Ja n = 3 mums ir divi ceļi, 001 un 101 Var pavisam vienkārši parādīt, ka n garuma ceļu skaits no A līdz B ir tieši vienāds ar Fn. Pierakstījuši grafam blakus esošo matricu, mēs iegūstam to pašu matricu, kas tika aprakstīta iepriekš. No grafu teorijas labi zināms rezultāts, ka, ņemot vērā blakusesības matricu A, gadījumi A n ir n garuma ceļu skaits grafikā (viena no problēmām, kas minēta filmā Good Will Hanting).

Kāpēc uz ribām ir šādi marķējumi? Izrādās, ka, aplūkojot bezgalīgu simbolu secību grafikā bezgalīgā ceļu secībā, jūs iegūstat kaut ko, ko sauc par "galīgā tipa apakšnobīdēm", kas ir simboliskās dinamikas sistēmas veids. Šī ierobežotā tipa apakšnobīde ir pazīstama kā “zelta proporcijas maiņa”, un to nosaka “aizliegto vārdu” kopa (11). Citiem vārdiem sakot, mēs iegūsim bināras secības, kas ir bezgalīgas abos virzienos, un neviens no tām nebūs blakus. Šīs dinamiskās sistēmas topoloģiskā entropija ir vienāda ar zelta attiecību ϕ. Interesanti, kā šis skaitlis periodiski parādās dažādās jomās matemātika.

Fibonači secība, ko lielākā daļa padarīja slavenu, pateicoties filmai un grāmatai Da Vinči kods, ir skaitļu sērija, ko trīspadsmitajā gadsimtā atvasināja itāļu matemātiķis Leonardo no Pizas, labāk pazīstams ar pseidonīmu Fibonači. Zinātnieka sekotāji pamanīja, ka formula, kurai ir pakārtota šī skaitļu sērija, atspoguļojas apkārtējā pasaulē un sasaucas ar citiem matemātikas atklājumiem, tādējādi paverot mums durvis uz Visuma noslēpumiem. Šajā rakstā mēs jums pastāstīsim, kas ir Fibonači secība, apskatīsim piemērus, kā šis modelis tiek parādīts dabā, kā arī salīdzināsim to ar citām matemātiskām teorijām.

Jēdziena formulēšana un definīcija

Fibonači sērija ir matemātiska secība, kurā katrs elements ir vienāds ar iepriekšējo divu summu. Apzīmēsim noteiktu secības locekli kā x n. Tādējādi iegūstam formulu, kas ir derīga visai sērijai: x n+2 = x n + x n+1. Šajā gadījumā secības secība izskatīsies šādi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Nākamais skaitlis būs 55, jo 21 un 34 summa ir 55. Un tā tālāk pēc tāda paša principa.

Piemēri vidē

Ja skatāmies uz augu, jo īpaši uz lapu vainagu, mēs pamanīsim, ka tie zied spirālē. Starp blakus esošajām lapām veidojas leņķi, kas savukārt veido pareizo matemātisko Fibonači secību. Pateicoties šai funkcijai, katra atsevišķa lapa, kas aug uz koka, saņem maksimālo daudzumu saules gaisma un siltumu.

Fibonači matemātiskā mīkla

Slavenais matemātiķis savu teoriju prezentēja mīklas veidā. Tas izklausās šādi. Jūs varat ievietot trušu pāri slēgtā telpā, lai uzzinātu, cik trušu pāru piedzims viena gada laikā. Ņemot vērā šo dzīvnieku dabu, to, ka katru mēnesi pāris spēj radīt jaunu pāri, un tie kļūst gatavi vairoties pēc divu mēnešu sasniegšanas, viņš galu galā saņēma savu slaveno skaitļu sēriju: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - kas parāda jauno trušu pāru skaitu katrā mēnesī.

Fibonači secība un proporcionālā attiecība

Šai sērijai ir vairākas matemātiskas nianses, kas jāņem vērā. Tuvojoties arvien lēnāk (asimptotiski), tas tiecas uz noteiktu proporcionālu attiecību. Bet tas ir neracionāli. Citiem vārdiem sakot, tas ir skaitlis ar neparedzamu un bezgalīgu decimālskaitļu secību daļējā daļā. Piemēram, jebkura sērijas elementa attiecība svārstās ap skaitli 1,618, dažreiz to pārsniedzot, dažreiz sasniedzot. Nākamais pēc analoģijas tuvojas 0,618. Kas ir apgriezti proporcionāls skaitlim 1,618. Ja mēs sadalām elementus ar vienu, mēs iegūstam 2,618 un 0,382. Kā jūs jau sapratāt, tie ir arī apgriezti proporcionāli. Iegūtos skaitļus sauc par Fibonači koeficientiem. Tagad paskaidrosim, kāpēc mēs veicām šos aprēķinus.

Zelta attiecība

Mēs atšķiram visus sev apkārt esošos objektus pēc noteiktiem kritērijiem. Viens no tiem ir forma. Daži cilvēki mūs piesaista vairāk, daži mazāk, bet daži mums nepatīk. Ir novērots, ka simetrisks un proporcionāls objekts cilvēkam ir daudz vieglāk uztverams un rada harmonijas un skaistuma sajūtu. Pilns attēls vienmēr ietver daļas dažādi izmēri, kas savā starpā atrodas noteiktās attiecībās. No šejienes izriet atbilde uz jautājumu par to, ko sauc par zelta attiecību. Šis jēdziens nozīmē attiecību pilnību starp veselumu un daļām dabā, zinātnē, mākslā utt. No matemātiskā viedokļa apsveriet šādu piemēru. Ņemsim jebkura garuma segmentu un sadalīsim to divās daļās tā, lai mazākā daļa būtu saistīta ar lielāko, jo summa (visa segmenta garums) ir saistīta ar lielāko. Tātad, ņemsim segmentu Ar par vērtību viens. Viņa daļa A būs vienāds ar 0,618, otrā daļa b, izrādās, ir vienāds ar 0,382. Tādējādi mēs ievērojam Zelta koeficienta nosacījumu. Līnijas segmentu attiecība c Uz a vienāds ar 1,618. Un daļu attiecības c Un b- 2,618. Mēs iegūstam Fibonači koeficientus, kurus mēs jau zinām. Zelta trīsstūris, zelta taisnstūris un zelta kuboīds ir veidoti pēc tāda paša principa. Ir arī vērts atzīmēt, ka cilvēka ķermeņa daļu proporcionālā attiecība ir tuvu zelta attiecībai.

Vai Fibonači secība ir visa pamatā?

Mēģināsim apvienot Zelta griezuma teoriju un slaveno itāļu matemātiķa sēriju. Sāksim ar diviem pirmā izmēra kvadrātiem. Pēc tam virsū pievienojiet vēl vienu otrā izmēra kvadrātu. Blakus uzzīmēsim tādu pašu figūru ar malas garumu, kas vienāds ar divu iepriekšējo malu summu. Līdzīgi uzzīmējiet piecu izmēru kvadrātu. Un jūs varat turpināt šo reklāmu bezgalīgi, līdz jums tas nogurst. Galvenais, lai katra nākamā kvadrāta malas izmērs būtu vienāds ar iepriekšējo divu malu izmēru summu. Mēs iegūstam daudzstūru sēriju, kuru malu garums ir Fibonači skaitļi. Šīs figūras sauc par Fibonači taisnstūriem. Veiksim gluda līnija cauri mūsu daudzstūru stūriem un mēs iegūstam... Arhimēda spirāli! Dotā skaitļa soļa pieaugums, kā zināms, vienmēr ir vienmērīgs. Ja izmantojat savu iztēli, iegūto zīmējumu var saistīt ar gliemju čaulu. No šejienes mēs varam secināt, ka Fibonači secība ir pamats proporcionālām, harmoniskām elementu attiecībām apkārtējā pasaulē.

Matemātiskā secība un Visums

Ja paskatās cieši, Arhimēda spirāli (dažreiz skaidri, dažreiz aizklāti) un līdz ar to Fibonači principu var izsekot daudzos pazīstamos dabas elementos, kas ieskauj cilvēku. Piemēram, tas pats gliemja apvalks, parasto brokoļu ziedkopas, saulespuķu zieds, skujkoku auga konuss un tamlīdzīgi. Ja paskatīsimies tālāk, mēs redzēsim Fibonači secību bezgalīgās galaktikās. Pat cilvēks, iedvesmojoties no dabas un pārņemot tās formas, rada objektus, kuros var izsekot iepriekšminētajām sērijām. Tagad ir pienācis laiks atcerēties Zelta attiecību. Kopā ar Fibonači modeli var izsekot šīs teorijas principiem. Pastāv versija, ka Fibonači secība ir sava veida dabas pārbaudījums, lai pielāgotos ideālākai un fundamentālākai Zelta koeficienta logaritmiskajai secībai, kas ir gandrīz identiska, taču tai nav sākuma un ir bezgalīga. Dabas paraugs ir tāds, ka tai ir jābūt savam atskaites punktam, no kura sākt kaut ko jaunu radīt. Fibonači sērijas pirmo elementu attiecība ir tālu no Golden Ratio principiem. Tomēr, jo tālāk mēs to turpinām, jo ​​vairāk šī neatbilstība tiek izlīdzināta. Lai noteiktu secību, jums jāzina tās trīs elementi, kas nāk viens pēc otra. Zelta secībai pietiek ar diviem. Tā kā tā ir gan aritmētiskā, gan ģeometriskā progresija.

Secinājums

Tomēr, pamatojoties uz iepriekš minēto, var uzdot diezgan loģiskus jautājumus: "No kurienes radušies šie skaitļi? Kas ir visas pasaules uzbūves autors, kurš centās to padarīt ideālu? Vai vienmēr viss bija tā, kā viņš gribēja? Ja Tātad, kāpēc radās neveiksme? Kas notiks tālāk?" Kad atrodat atbildi uz vienu jautājumu, jūs saņemat nākamo. Atrisināju – parādās vēl divi. Pēc to atrisināšanas jūs saņemat vēl trīs. Tikuši galā ar tiem, jūs iegūsit piecus neatrisinātus. Tad astoņi, tad trīspadsmit, divdesmit viens, trīsdesmit četri, piecdesmit pieci...