Det är dags att reda ut det rotextraktionsmetoder. De är baserade på egenskaperna hos rötter, i synnerhet på likheten, vilket är sant för alla icke-negativa tal b.

Nedan kommer vi att titta på de viktigaste metoderna för att extrahera rötter en efter en.

Låt oss börja med det enklaste fallet - extrahera rötter från naturliga tal med hjälp av en tabell med kvadrater, en tabell med kuber, etc.

Om tabeller med rutor, kuber osv. Om du inte har det till hands är det logiskt att använda metoden för att extrahera roten, vilket innebär att sönderdela radikaltalet i primtalsfaktorer.

Det är värt att särskilt nämna vad som är möjligt för rötter med udda exponenter.

Låt oss slutligen överväga en metod som låter oss hitta siffrorna i rotvärdet i följd.

Låt oss börja.

Använda en tabell med kvadrater, en tabell med kuber, etc.

I de enklaste fallen låter tabeller med rutor, kuber etc. dig extrahera rötter. Vilka är dessa tabeller?

Tabellen med kvadrater av heltal från 0 till 99 inklusive (visas nedan) består av två zoner. Den första zonen i tabellen är belägen på en grå bakgrund; genom att välja en specifik rad och en specifik kolumn låter den dig komponera ett tal från 0 till 99. Låt oss till exempel välja en rad med 8 tiotal och en kolumn med 3 enheter, med detta fixade vi siffran 83. Den andra zonen upptar resten av tabellen. Varje cell är belägen i skärningspunkten mellan en viss rad och en viss kolumn, och innehåller kvadraten på motsvarande tal från 0 till 99. I skärningspunkten mellan vår valda rad med 8 tiotal och kolumn 3 av ettor finns en cell med talet 6 889, vilket är kvadraten på talet 83.

Tabeller av kuber, tabeller av fjärde potenser av tal från 0 till 99, och så vidare liknar tabellen med kvadrater, bara de innehåller kuber, fjärde potenser, etc. i den andra zonen. motsvarande nummer.

Tabeller över kvadrater, kuber, fjärde potenser osv. låter dig extrahera kvadratrötter, kubrötter, fjärde rötter, etc. enligt siffrorna i dessa tabeller. Låt oss förklara principen för deras användning vid utvinning av rötter.

Låt oss säga att vi behöver extrahera den n:te roten av talet a, medan talet a finns i tabellen med n:te potenser. Med den här tabellen hittar vi talet b så att a=b n. Sedan , därför kommer talet b att vara den önskade roten av den n:e graden.

Som ett exempel, låt oss visa hur man använder en kubtabell för att extrahera kubroten av 19 683. Vi hittar talet 19 683 i kubtabellen, från det finner vi att detta tal är kuben för talet 27, därför .

Det är tydligt att tabeller med n:te potenser är mycket bekväma för att extrahera rötter. Men de finns ofta inte till hands och det tar lite tid att sammanställa dem. Dessutom är det ofta nödvändigt att extrahera rötter från tal som inte finns i motsvarande tabeller. I dessa fall måste du tillgripa andra metoder för rotextraktion.

Faktorera ett radikalt tal i primtalsfaktorer

Ett ganska bekvämt sätt att extrahera roten till ett naturligt tal (om, naturligtvis, roten extraheras) är att dekomponera radikaltalet i primtalsfaktorer. Hans poängen är detta: efter det är det ganska lätt att representera det som en potens med önskad exponent, vilket gör att du kan få värdet på roten. Låt oss förtydliga denna punkt.

Låt den n:te roten av ett naturligt tal a tas och dess värde lika med b. I detta fall är likheten a=b n sann. Talet b, som alla naturliga tal, kan representeras som produkten av alla dess primfaktorer p 1 , p 2 , …, p m i formen p 1 ·p 2 ·…·p m , och radikaltalet a i detta fall representeras som (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Eftersom nedbrytningen av ett tal till primtalsfaktorer är unik, kommer nedbrytningen av radikaltalet a till primtalsfaktorer att ha formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, vilket gör det möjligt att beräkna rotens värde som .

Observera att om nedbrytningen till primtalsfaktorer av ett radikalt tal a inte kan representeras i formen (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, så extraheras inte den n:te roten av ett sådant tal a helt.

Låt oss ta reda på detta när vi löser exempel.

Exempel.

Ta kvadratroten av 144.

Lösning.

Om du tittar på tabellen med kvadrater som ges i föregående stycke, kan du tydligt se att 144 = 12 2, där det tydligt framgår att kvadratroten ur 144 är lika med 12.

Men mot bakgrund av denna punkt är vi intresserade av hur roten extraheras genom att sönderdela radikaltalet 144 i primtalsfaktorer. Låt oss titta på denna lösning.

Låt oss bryta ner 144 till primtalsfaktorer:

Det vill säga 144=2·2·2·2·3·3. Baserat på den resulterande nedbrytningen kan följande omvandlingar utföras: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Därav, .

Med hjälp av gradens egenskaper och rötternas egenskaper skulle lösningen kunna formuleras lite annorlunda: .

Svar:

För att konsolidera materialet, överväg lösningarna till ytterligare två exempel.

Exempel.

Beräkna värdet på roten.

Lösning.

Primfaktoriseringen av radikaltalet 243 har formen 243=3 5 . Således, .

Svar:

Exempel.

Är rotvärdet ett heltal?

Lösning.

För att besvara denna fråga, låt oss faktorisera radikaltalet i primtalsfaktorer och se om det kan representeras som en kub av ett heltal.

Vi har 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Den resulterande expansionen kan inte representeras som en kub av ett heltal, eftersom potensen av primtalsfaktorn 7 inte är en multipel av tre. Därför kan kubroten av 285 768 inte extraheras helt.

Svar:

Nej.

Extrahera rötter från bråktal

Det är dags att ta reda på hur man extraherar roten till ett bråktal. Låt bråkradikaltalet skrivas som p/q. Enligt egenskapen hos roten till en kvot är följande likhet sann. Av denna jämlikhet följer regel för att extrahera roten av en bråkdel: Roten till ett bråk är lika med kvoten av roten av täljaren delat med roten av nämnaren.

Låt oss titta på ett exempel på att extrahera en rot från en bråkdel.

Exempel.

Vad är kvadratroten av det vanliga bråket 25/169?

Lösning.

Med hjälp av kvadrattabellen finner vi att kvadratroten av täljaren i det ursprungliga bråket är lika med 5 och kvadratroten av nämnaren är lika med 13. Sedan . Detta slutför utvinningen av roten av den vanliga fraktionen 25/169.

Svar:

Roten till ett decimaltal eller ett blandat tal extraheras efter att radikaltalen har ersatts med vanliga bråk.

Exempel.

Ta kubroten av decimalbråket 474.552.

Lösning.

Låt oss föreställa oss det ursprungliga decimalbråket som ett vanligt bråk: 474.552=474552/1000. Sedan . Det återstår att extrahera kubrötter som finns i täljaren och nämnaren för den resulterande fraktionen. Därför att 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 och 1 000 = 10 3, sedan Och . Allt som återstår är att slutföra beräkningarna .

Svar:

.

Att ta roten av ett negativt tal

Det är värt att uppehålla sig vid att extrahera rötter från negativa tal. När vi studerade rötter sa vi att när rotexponenten är ett udda tal, så kan det finnas ett negativt tal under rottecknet. Vi gav dessa poster följande betydelse: för ett negativt tal −a och en udda exponent för roten 2 n−1, . Denna jämlikhet ger regel för att extrahera udda rötter från negativa tal: för att extrahera roten till ett negativt tal måste du ta roten från det motsatta positiva talet och sätta ett minustecken framför resultatet.

Låt oss titta på exempellösningen.

Exempel.

Hitta värdet på roten.

Lösning.

Låt oss omvandla det ursprungliga uttrycket så att det finns ett positivt tal under rottecknet: . Ersätt nu det blandade talet med ett vanligt bråktal: . Vi tillämpar regeln för att extrahera roten till ett vanligt bråk: . Det återstår att beräkna rötterna i täljaren och nämnaren för den resulterande fraktionen: .

Här är en kort sammanfattning av lösningen: .

Svar:

.

Bitvis bestämning av rotvärdet

I det allmänna fallet, under roten finns det ett tal som, med de tekniker som diskuterats ovan, inte kan representeras som den n:te potensen av något tal. Men i det här fallet finns det ett behov av att veta innebörden av en given rot, åtminstone upp till ett visst tecken. I det här fallet, för att extrahera roten, kan du använda en algoritm som låter dig sekventiellt få ett tillräckligt antal siffror av det önskade numret.

Det första steget i denna algoritm är att ta reda på vad den mest signifikanta biten av rotvärdet är. För att göra detta höjs siffrorna 0, 10, 100, ... sekventiellt till potensen n tills det ögonblick då ett tal överskrider radikaltalet erhålls. Då kommer siffran som vi höjde till potensen n i föregående steg att indikera motsvarande mest signifikanta siffra.

Tänk till exempel på detta steg i algoritmen när du extraherar kvadratroten ur fem. Ta siffrorna 0, 10, 100, ... och kvadrera dem tills vi får ett tal större än 5. Vi har 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, vilket betyder att den mest signifikanta siffran kommer att vara en-siffran. Värdet på denna bit, såväl som de lägre, kommer att hittas i nästa steg i rotextraktionsalgoritmen.

Alla efterföljande steg i algoritmen syftar till att sekventiellt klargöra rotens värde genom att hitta värdena för nästa bitar av det önskade värdet av roten, börja med det högsta och flytta till de lägsta. Till exempel visar sig rotens värde vid det första steget vara 2, vid det andra – 2,2, vid det tredje – 2,23, och så vidare 2,236067977…. Låt oss beskriva hur siffrornas värden hittas.

Siffrorna hittas genom att söka igenom deras möjliga värden 0, 1, 2, ..., 9. I detta fall beräknas de n:te potenserna av motsvarande siffror parallellt och de jämförs med radikaltalet. Om värdet på graden i något skede överstiger radikalnumret, anses värdet på siffran som motsvarar det föregående värdet hittat, och övergången till nästa steg i rotextraktionsalgoritmen görs; om detta inte händer, då är värdet på denna siffra 9.

Låt oss förklara dessa punkter med samma exempel på att extrahera kvadratroten ur fem.

Först hittar vi värdet på enhetssiffran. Vi kommer att gå igenom värdena 0, 1, 2, ..., 9, beräkna 0 2, 1 2, ..., 9 2, tills vi får ett värde som är större än radikaltalet 5. Det är bekvämt att presentera alla dessa beräkningar i form av en tabell:

Så värdet på enhetssiffran är 2 (eftersom 2 2<5 , а 2 3 >5). Låt oss gå vidare till att hitta värdet på tiondelsplatsen. I det här fallet kommer vi att kvadrera siffrorna 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, och jämföra de resulterande värdena med det radikala talet 5:

Sedan 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, då är värdet på tiondelsplatsen 2. Du kan fortsätta med att hitta värdet på hundradelsplatsen:

Så här hittades nästa värde på roten av fem, det är lika med 2,23. Och så kan du fortsätta att hitta värden: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

För att konsolidera materialet kommer vi att analysera utvinningen av roten med en noggrannhet på hundradelar med hjälp av den övervägda algoritmen.

Först bestämmer vi den mest signifikanta siffran. För att göra detta kuber vi talen 0, 10, 100, etc. tills vi får ett tal större än 2 151 186. Vi har 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , så den mest signifikanta siffran är tiotalssiffran.

Låt oss bestämma dess värde.

Sedan 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, då är värdet på tiotalet 1. Låt oss gå vidare till enheter.

Således är värdet på ettornas siffra 2. Låt oss gå vidare till tiondelar.

Eftersom även 12,9 3 är mindre än radikaltalet 2 151,186, är värdet på tiondelsplatsen 9. Det återstår att utföra det sista steget i algoritmen; det kommer att ge oss värdet på roten med den noggrannhet som krävs.

I detta skede hittas rotens värde exakt till hundradelar: .

Som avslutning på den här artikeln skulle jag vilja säga att det finns många andra sätt att extrahera rötter. Men för de flesta uppgifter räcker de vi studerat ovan.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för årskurs 8. läroanstalter.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och analysens början: Lärobok för årskurserna 10 - 11 på allmänna läroanstalter.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för dem som går in på tekniska skolor).

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att genomföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra syften av allmän betydelse.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Fakta 1.
\(\bullet\) Låt oss ta ett icke-negativt tal \(a\) (det vill säga \(a\geqslant 0\) ). Sedan (arithmetik) roten ur från talet \(a\) kallas ett sådant icke-negativt tal \(b\) , vid kvadrat får vi talet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samma som )\quad a=b^2\] Av definitionen följer det \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Dessa restriktioner är ett viktigt villkor för att det ska finnas en kvadratrot och bör komma ihåg!
Kom ihåg att vilket tal som helst i kvadrat ger ett icke-negativt resultat. Det vill säga \(100^2=10000\geqslant 0\) och \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Vad är \(\sqrt(25)\) lika med? Vi vet att \(5^2=25\) och \((-5)^2=25\) . Eftersom vi per definition måste hitta ett icke-negativt tal, är \(-5\) inte lämplig, därför \(\sqrt(25)=5\) (eftersom \(25=5^2\) ).
Att hitta värdet på \(\sqrt a\) kallas att ta kvadratroten av talet \(a\) , och talet \(a\) kallas det radikala uttrycket.
\(\bullet\) Baserat på definitionen, uttryck \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. inte vettigt.

Fakta 2.
För snabba beräkningar kommer det att vara användbart att lära sig tabellen med kvadrater av naturliga tal från \(1\) till \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Vilka operationer kan du göra med kvadratrötter?
\(\kula\) Summan eller skillnaden av kvadratrötter ÄR INTE lik kvadratroten av summan eller skillnaden, det vill säga \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Således, om du behöver beräkna till exempel \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , måste du initialt hitta värdena för \(\sqrt(25)\) och \(\ sqrt(49)\ ) och vik dem sedan. Därav, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Om värdena \(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) inte kan hittas när man lägger till \(\sqrt a+\sqrt b\), så transformeras inte ett sådant uttryck ytterligare utan förblir som det är. Till exempel, i summan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi hitta \(\sqrt(49)\) är \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan inte transformeras i hur som helst, det är därför \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Tyvärr kan detta uttryck inte förenklas ytterligare\(\bullet\) Produkten/kvoten av kvadratrötter är lika med kvadratroten av produkten/kvoten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (förutsatt att båda sidor av jämlikheten är vettiga)
Exempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Med dessa egenskaper är det bekvämt att hitta kvadratrötter av stora tal genom att faktorisera dem.
Låt oss titta på ett exempel. Låt oss hitta \(\sqrt(44100)\) . Sedan \(44100:100=441\) , sedan \(44100=100\cdot 441\) . Enligt kriteriet för delbarhet är talet \(441\) delbart med \(9\) (eftersom summan av dess siffror är 9 och är delbart med 9), därför \(441:9=49\), det vill säga \(441=9\ cdot 49\) .
Så fick vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Låt oss titta på ett annat exempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Låt oss visa hur man anger siffror under kvadratrottecknet med exemplet på uttrycket \(5\sqrt2\) (kort notation för uttrycket \(5\cdot \sqrt2\)). Eftersom \(5=\sqrt(25)\) , alltså \ Observera också att t.ex.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Varför är det så? Låt oss förklara med exempel 1). Som du redan förstår kan vi inte på något sätt omvandla talet \(\sqrt2\). Låt oss föreställa oss att \(\sqrt2\) är ett tal \(a\) . Följaktligen är uttrycket \(\sqrt2+3\sqrt2\) inget mer än \(a+3a\) (ett tal \(a\) plus ytterligare tre av samma tal \(a\)). Och vi vet att detta är lika med fyra sådana tal \(a\) , det vill säga \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) De säger ofta "du kan inte extrahera roten" när du inte kan bli av med tecknet \(\sqrt () \ \) för roten (radikal) när man hittar värdet på ett tal . Till exempel kan du ta roten av talet \(16\) eftersom \(16=4^2\) , därför \(\sqrt(16)=4\) . Men det är omöjligt att extrahera roten till talet \(3\), det vill säga att hitta \(\sqrt3\), eftersom det inte finns något tal som kvadrat ger \(3\) .
Sådana tal (eller uttryck med sådana tal) är irrationella. Till exempel siffror \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) och så vidare. är irrationella.
Också irrationella är talen \(\pi\) (talet "pi", ungefär lika med \(3.14\)), \(e\) (detta tal kallas Euler-talet, det är ungefär lika med \(2.7) \)) osv.
\(\bullet\) Observera att alla tal kommer att vara antingen rationella eller irrationella. Och tillsammans bildar alla rationella och alla irrationella tal en mängd som kallas en uppsättning reella tal. Denna uppsättning betecknas med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Det betyder att alla siffror som vi för närvarande känner till kallas reella tal.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen för ett reellt tal \(a\) är ett icke-negativt tal \(|a|\) lika med avståndet från punkten \(a\) till \(0\) på riktig linje. Till exempel är \(|3|\) och \(|-3|\) lika med 3, eftersom avstånden från punkterna \(3\) och \(-3\) till \(0\) är samma och lika med \(3 \) .
\(\bullet\) Om \(a\) är ett icke-negativt tal, då \(|a|=a\) .
Exempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Om \(a\) är ett negativt tal, då \(|a|=-a\) .
Exempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De säger att för negativa tal "äter" modulen minus, medan positiva tal, såväl som talet \(0\), lämnas oförändrade av modulen.
MEN Denna regel gäller endast siffror. Om det under ditt modultecken finns en okänd \(x\) (eller någon annan okänd), till exempel \(|x|\) , som vi inte vet om den är positiv, noll eller negativ, så bli av med av modulen kan vi inte. I det här fallet förblir uttrycket detsamma: \(|x|\) . \(\bullet\) Följande formler håller: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tillhandahålls ) a\geqslant 0\] Mycket ofta görs följande misstag: de säger att \(\sqrt(a^2)\) och \((\sqrt a)^2\) är en och samma. Detta är bara sant om \(a\) är ett positivt tal eller noll. Men om \(a\) är ett negativt tal, så är detta falskt. Det räcker att överväga detta exempel. Låt oss ta talet \(-1\) istället för \(a\). Sedan \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrycket \((\sqrt (-1))^2\) existerar inte alls (trots allt, det är omöjligt att använda rottecknet sätta negativa tal!).
Därför uppmärksammar vi er på att \(\sqrt(a^2)\) inte är lika med \((\sqrt a)^2\) ! Exempel: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), därför att \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Eftersom \(\sqrt(a^2)=|a|\) , sedan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrycket \(2n\) anger ett jämnt tal)
Det vill säga, när man tar roten till ett tal som är i någon grad, halveras denna grad.
Exempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (observera att om modulen inte levereras visar det sig att roten av talet är lika med \(-25\ ) ; men vi kommer ihåg att detta per definition av en rot inte kan hända: när vi extraherar en rot bör vi alltid få ett positivt tal eller noll)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (eftersom alla tal i en jämn potens är icke-negativa)

Fakta 6.
Hur jämför man två kvadratrötter?
\(\bullet\) För kvadratrötter är det sant: om \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExempel:
1) jämför \(\sqrt(50)\) och \(6\sqrt2\) . Låt oss först omvandla det andra uttrycket till \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Alltså, sedan \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellan vilka heltal finns \(\sqrt(50)\)?
Eftersom \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) och \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Låt oss jämföra \(\sqrt 2-1\) och \(0.5\) . Låt oss anta att \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((lägg till en på båda sidor))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadraterande båda sidor))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser att vi har fått en felaktig ojämlikhet. Därför var vårt antagande felaktigt och \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Observera att om du lägger till ett visst tal på båda sidor av olikheten inte påverkar dess tecken. Att multiplicera/dividera båda sidor av en olikhet med ett positivt tal påverkar inte dess tecken, men multiplicera/dividera med ett negativt tal vänder olikhetens tecken!
Du kan kvadrera båda sidorna av en ekvation/olikhet ENDAST OM båda sidorna är icke-negativa. Till exempel, i olikheten från föregående exempel kan du kvadrera båda sidorna, i olikheten \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Det bör man komma ihåg \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\] Att känna till den ungefärliga betydelsen av dessa siffror kommer att hjälpa dig när du jämför siffror! \(\bullet\) För att extrahera roten (om den kan extraheras) från något stort antal som inte finns i kvadrattabellen måste du först bestämma mellan vilka "hundratals" den ligger, sedan - mellan vilka " tiotals”, och bestäm sedan den sista siffran i detta nummer. Låt oss visa hur detta fungerar med ett exempel.
Låt oss ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet att \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etc. Observera att \(28224\) är mellan \(10\,000\) och \(40\,000\) . Därför är \(\sqrt(28224)\) mellan \(100\) och \(200\) .
Låt oss nu avgöra mellan vilka "tiotal" vårt nummer är placerat (det vill säga till exempel mellan \(120\) och \(130\)). Från tabellen med kvadrater vet vi också att \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., sedan \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Så vi ser att \(28224\) är mellan \(160^2\) och \(170^2\) . Därför är talet \(\sqrt(28224)\) mellan \(160\) och \(170\) .
Låt oss försöka bestämma den sista siffran. Låt oss komma ihåg vilka ensiffriga tal, när de kvadreras, ger \(4\) i slutet? Dessa är \(2^2\) och \(8^2\) . Därför kommer \(\sqrt(28224)\) att sluta på antingen 2 eller 8. Låt oss kontrollera detta. Låt oss hitta \(162^2\) och \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Därför \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

För att på ett adekvat sätt lösa Unified State Exam i matematik måste du först studera teoretiskt material, som introducerar dig till många satser, formler, algoritmer, etc. Vid första anblicken kan det verka som att detta är ganska enkelt. Men att hitta en källa där teorin för Unified State Exam i matematik presenteras på ett enkelt och begripligt sätt för elever med vilken utbildningsnivå som helst, är i själva verket en ganska svår uppgift. Skolböcker kan inte alltid ha till hands. Och att hitta grundläggande formler för Unified State Exam i matematik kan vara svårt även på Internet.

Varför är det så viktigt att studera teori i matematik, inte bara för dem som tar Unified State Exam?

1. För det vidgar dina vyer. Att studera teoretiskt material i matematik är användbart för alla som vill få svar på en lång rad frågor relaterade till kunskap om omvärlden. Allt i naturen är ordnat och har en tydlig logik. Det är just detta som återspeglas i vetenskapen, genom vilket det är möjligt att förstå världen.
2. För att det utvecklar intelligens. Genom att studera referensmaterial för Unified State Exam i matematik, såväl som att lösa olika problem, lär sig en person att tänka och resonera logiskt, att formulera tankar kompetent och tydligt. Han utvecklar förmågan att analysera, generalisera och dra slutsatser.

Vi inbjuder dig att personligen utvärdera alla fördelar med vår metod för systematisering och presentation av utbildningsmaterial.

Ganska ofta, när vi löser problem, ställs vi inför ett stort antal som vi behöver extrahera Roten ur. Många elever bestämmer sig för att detta är ett misstag och börjar lösa hela exemplet igen. Under inga omständigheter bör du göra detta! Det finns två anledningar till detta:

1. Rötter av stora antal dyker upp i problem. Speciellt i text;
2. Det finns en algoritm med vilken dessa rötter beräknas nästan muntligt.

Vi kommer att överväga denna algoritm idag. Vissa saker kanske verkar obegripliga för dig. Men om du uppmärksammar denna lektion kommer du att få ett kraftfullt vapen mot kvadratrötter.

Så, algoritmen:

1. Begränsa den nödvändiga roten ovanför och under till tal som är multiplar av 10. Därför kommer vi att minska sökintervallet till 10 tal;
2. Från dessa 10 nummer, sålla bort de som definitivt inte kan vara rötter. Som ett resultat kommer 1-2 nummer kvar;
3. Kvadra dessa 1-2 siffror. Den vars kvadrat är lika med det ursprungliga talet kommer att vara roten.

Innan vi använder denna algoritm i praktiken, låt oss titta på varje enskilt steg.

Rotbegränsning

Först och främst måste vi ta reda på mellan vilka tal vår rot ligger. Det är mycket önskvärt att talen är multiplar av tio:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Vi får en serie siffror:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Vad säger dessa siffror oss? Det är enkelt: vi får gränser. Ta till exempel talet 1296. Det ligger mellan 900 och 1600. Därför kan dess rot inte vara mindre än 30 och större än 40:

[Bildtext till bilden]

Samma sak gäller för alla andra tal som du kan hitta kvadratroten från. Till exempel, 3364:

[Bildtext till bilden]

Istället för ett obegripligt tal får vi alltså ett mycket specifikt område där den ursprungliga roten ligger. För att ytterligare begränsa sökområdet, gå vidare till det andra steget.

Eliminerar uppenbarligen onödiga siffror

Så vi har 10 nummer - kandidater för roten. Vi fick dem väldigt snabbt, utan komplext tänkande och multiplikation i en kolumn. Det är dags att gå vidare.

Tro det eller ej, vi kommer nu att minska antalet kandidatnummer till två – igen utan några komplicerade beräkningar! Det räcker med att känna till specialregeln. Här är det:

Den sista siffran i kvadraten beror bara på den sista siffran originalnummer.

Med andra ord, titta bara på den sista siffran i kvadraten så förstår vi omedelbart var det ursprungliga numret slutar.

Det finns bara 10 siffror som kan komma på sista plats. Låt oss försöka ta reda på vad de blir till när de är kvadratiska. Ta en titt på tabellen:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Denna tabell är ytterligare ett steg mot att beräkna roten. Som du kan se visade sig siffrorna på den andra raden vara symmetriska i förhållande till femman. Till exempel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Som du kan se är den sista siffran densamma i båda fallen. Det betyder att till exempel roten av 3364 måste sluta på 2 eller 8. Däremot minns vi begränsningen från föregående stycke. Vi får:

[Bildtext till bilden]

Röda rutor indikerar att vi ännu inte känner till denna siffra. Men roten ligger i intervallet från 50 till 60, där det bara finns två tal som slutar på 2 och 8:

[Bildtext till bilden]

Det är allt! Av alla möjliga rötter lämnade vi bara två alternativ! Och detta är i det svåraste fallet, eftersom den sista siffran kan vara 5 eller 0. Och då blir det bara en kandidat för rötterna!

Slutliga beräkningar

Så vi har 2 kandidatnummer kvar. Hur vet du vilken som är roten? Svaret är uppenbart: kvadrera båda siffrorna. Den som kvadrerat ger det ursprungliga talet blir roten.

Till exempel, för talet 3364 hittade vi två kandidatnummer: 52 och 58. Låt oss kvadrera dem:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Det är allt! Det visade sig att roten är 58! För att förenkla beräkningarna använde jag samtidigt formeln för kvadraterna på summan och skillnaden. Tack vare detta behövde jag inte ens multiplicera siffrorna i en kolumn! Detta är en annan nivå av beräkningsoptimering, men det är naturligtvis helt valfritt :)

Exempel på beräkning av rötter

Teori är förstås bra. Men låt oss kolla det i praktiken.

[Bildtext till bilden]

Låt oss först ta reda på mellan vilka siffror talet 576 ligger:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Låt oss nu titta på den sista siffran. Det är lika med 6. När händer detta? Endast om roten slutar på 4 eller 6. Vi får två tal:

Allt som återstår är att kvadrera varje nummer och jämföra det med originalet:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Bra! Den första kvadraten visade sig vara lika med det ursprungliga numret. Så detta är roten.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:

[Bildtext till bilden]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadra den:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Här är svaret: 37.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:

[Bildtext till bilden]

Vi begränsar antalet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadra den:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Vi fick svaret: 52. Den andra siffran behöver inte längre kvadratiseras.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:

[Bildtext till bilden]

Vi begränsar antalet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

4225 → 5;
65.

Som du kan se finns det bara ett alternativ kvar efter det andra steget: 65. Detta är den önskade roten. Men låt oss ändå ruta det och kontrollera:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Allt är korrekt. Vi skriver ner svaret.

Slutsats

Ack, inte bättre. Låt oss titta på orsakerna. Det finns två av dem:

• I alla vanliga matematikprov, vare sig det är State Examination eller Unified State Exam, är användningen av miniräknare förbjuden. Och om du tar med en miniräknare till klassen kan du lätt bli utslängd från tentan.
• Var inte som dumma amerikaner. Som inte är som rötter - de kan inte lägga till två primtal. Och när de ser fraktioner blir de i allmänhet hysteriska.

Innan miniräknare räknade elever och lärare kvadratrötter för hand. Det finns flera sätt att beräkna kvadratroten ur ett tal manuellt. Vissa av dem erbjuder endast en ungefärlig lösning, andra ger ett exakt svar.

Steg

primtalsfaktorisering

Faktorera radikaltalet till faktorer som är kvadrattal. Beroende på radikalnumret får du ett ungefärligt eller exakt svar. Kvadratnummer är tal från vilka hela kvadratroten kan tas. Faktorer är tal som, när de multipliceras, ger det ursprungliga talet. Till exempel är faktorerna för talet 8 2 och 4, eftersom 2 x 4 = 8, talen 25, 36, 49 är kvadrattal, eftersom √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiska faktorer är faktorer , som är kvadrattal. Försök först att faktorisera det radikala talet i kvadratfaktorer.

• Beräkna till exempel kvadratroten av 400 (för hand). Försök först att faktorisera 400 i kvadratfaktorer. 400 är en multipel av 100, det vill säga delbart med 25 - det här är ett kvadrattal. Att dividera 400 med 25 ger dig 16. Talet 16 är också ett kvadrattal. Således kan 400 inkluderas i kvadratfaktorerna 25 och 16, det vill säga 25 x 16 = 400.
• Detta kan skrivas så här: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratroten av produkten av vissa termer är lika med produkten av kvadratrötterna för varje term, det vill säga √(a x b) = √a x √b. Använd denna regel för att ta kvadratroten av varje kvadratfaktor och multiplicera resultaten för att hitta svaret.

   • I vårt exempel, ta roten av 25 och 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Om det radikala talet inte räknas in i två kvadratfaktorer (och detta händer i de flesta fall), kommer du inte att kunna hitta det exakta svaret i form av ett heltal. Men du kan förenkla problemet genom att dela upp det radikala talet i en kvadratfaktor och en vanlig faktor (ett tal som hela kvadratroten inte kan tas från). Då tar du kvadratroten av kvadratfaktorn och tar roten från den gemensamma faktorn.

   • Beräkna till exempel kvadratroten av talet 147. Talet 147 kan inte faktoriseras i två kvadratfaktorer, men det kan faktoriseras till följande faktorer: 49 och 3. Lös problemet på följande sätt:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Om det behövs, uppskatta värdet på roten. Nu kan du uppskatta värdet på roten (hitta ett ungefärligt värde) genom att jämföra det med värdena på rötterna av kvadrattalen som är närmast (på båda sidor av tallinjen) till det radikala talet. Du kommer att få rotvärdet som ett decimaltal, som måste multipliceras med talet bakom rottecknet.

   • Låt oss återgå till vårt exempel. Radikaltalet är 3. Kvadrattalen närmast det kommer att vara talen 1 (√1 = 1) och 4 (√4 = 2). Således ligger värdet på √3 mellan 1 och 2. Eftersom värdet på √3 förmodligen är närmare 2 än 1 är vår uppskattning: √3 = 1,7. Vi multiplicerar detta värde med talet vid rottecknet: 7 x 1,7 = 11,9. Om du räknar på en miniräknare får du 12,13, vilket är ganska nära vårt svar.
     • Denna metod fungerar även med stora antal. Tänk till exempel på √35. Radikaltalet är 35. De närmaste kvadrattalen till det kommer att vara talen 25 (√25 = 5) och 36 (√36 = 6). Således ligger värdet på √35 mellan 5 och 6. Eftersom värdet på √35 är mycket närmare 6 än 5 (eftersom 35 bara är 1 mindre än 36) kan vi säga att √35 är något mindre än 6 Kolla på kalkylatorn ger oss svaret 5,92 - vi hade rätt.

4. Ett annat sätt är att faktorisera radikaltalet till primtalsfaktorer. Primfaktorer är tal som bara är delbara med 1 och sig själva. Skriv primtalsfaktorerna i en serie och hitta par av identiska faktorer. Sådana faktorer kan tas ur rottecknet.

   • Beräkna till exempel kvadratroten ur 45. Vi faktorerar radikaltalet i primtalsfaktorer: 45 = 9 x 5 och 9 = 3 x 3. Alltså √45 = √(3 x 3 x 5). 3 kan tas ut som ett rottecken: √45 = 3√5. Nu kan vi uppskatta √5.
   • Låt oss titta på ett annat exempel: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Du fick tre multiplikatorer på 2; ta ett par av dem och flytta dem bortom rottecknet.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nu kan du utvärdera √2 och √11 och hitta ett ungefärligt svar.

   Beräkna kvadratroten manuellt

   Använder lång division

   1. Denna metod innebär en process som liknar lång division och ger ett korrekt svar. Rita först en vertikal linje som delar arket i två halvor, och sedan till höger och något under arkets övre kant, rita en horisontell linje till den vertikala linjen. Dela nu det radikala talet i par av tal, börja med bråkdelen efter decimalkomma. Så, numret 79520789182.47897 skrivs som "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Låt oss till exempel beräkna kvadratroten av talet 780,14. Rita två linjer (som visas på bilden) och skriv det givna numret i formen "7 80, 14" längst upp till vänster. Det är normalt att den första siffran från vänster är en oparad siffra. Du kommer att skriva svaret (roten av detta nummer) längst upp till höger.

   2. För det första paret av tal (eller enstaka tal) från vänster, hitta det största heltal n vars kvadrat är mindre än eller lika med det aktuella talparet (eller enstaka talet). Med andra ord, hitta det kvadrattal som är närmast, men mindre än, det första paret av tal (eller enstaka tal) från vänster, och ta kvadratroten av det kvadrattalet; du får numret n. Skriv n du hittade längst upp till höger och skriv kvadraten på n längst ner till höger.

      • I vårt fall kommer den första siffran till vänster att vara 7. Därefter 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Subtrahera kvadraten på talet n du just hittade från det första paret siffror (eller enstaka tal) till vänster. Skriv resultatet av beräkningen under subtrahenden (kvadraten på talet n).

      • I vårt exempel subtraherar du 4 från 7 och får 3.

   4. Ta ner det andra paret siffror och skriv ner det bredvid värdet som erhölls i föregående steg. Dubbla sedan siffran uppe till höger och skriv resultatet längst ner till höger med tillägg av "_×_=".

      • I vårt exempel är det andra nummerparet "80". Skriv "80" efter 3:an. Fördubbla sedan siffran längst upp till höger ger 4. Skriv "4_×_=" längst ner till höger.

   5. Fyll i fälten till höger.

      • I vårt fall, om vi sätter talet 8 istället för bindestreck, så är 48 x 8 = 384, vilket är mer än 380. Därför är 8 ett för stort tal, men 7 duger. Skriv 7 istället för bindestreck och få: 47 x 7 = 329. Skriv 7 uppe till höger - det här är den andra siffran i den önskade kvadratroten av talet 780,14.

   6. Subtrahera det resulterande talet från det nuvarande talet till vänster. Skriv resultatet från föregående steg under det aktuella numret till vänster, hitta skillnaden och skriv det under subtrahenden.

      • I vårt exempel subtraherar du 329 från 380, vilket är lika med 51.

   7. Upprepa steg 4. Om talparet som överförs är bråkdelen av det ursprungliga talet, sätt sedan en avgränsare (komma) mellan heltals- och bråkdelen i den nödvändiga kvadratroten uppe till höger. Ta ner nästa nummerpar till vänster. Dubbla siffran uppe till höger och skriv resultatet längst ner till höger med tillägg av "_×_=".

      • I vårt exempel kommer nästa talpar som ska tas bort vara bråkdelen av talet 780.14, så placera avgränsaren för heltals- och bråkdelarna i den önskade kvadratroten uppe till höger. Ta ner 14 och skriv det längst ner till vänster. Dubbla siffran uppe till höger (27) är 54, så skriv "54_×_=" längst ner till höger.

   8. Upprepa steg 5 och 6. Hitta det största talet i stället för strecken till höger (istället för strecken måste du ersätta samma tal) så att resultatet av multiplikationen är mindre än eller lika med det aktuella talet till vänster.

      • I vårt exempel är 549 x 9 = 4941, vilket är mindre än det nuvarande siffran till vänster (5114). Skriv 9 uppe till höger och subtrahera resultatet av multiplikationen från det aktuella talet till vänster: 5114 - 4941 = 173.

   9. Om du behöver hitta fler decimaler för kvadratroten, skriv ett par nollor till vänster om det aktuella talet och upprepa steg 4, 5 och 6. Upprepa steg tills du får svarsprecisionen (antal decimaler) du behöver.

   Förstå processen

   För att bemästra denna metod, föreställ dig talet vars kvadratrot du behöver hitta som arean av kvadraten S. I det här fallet kommer du att leta efter längden på sidan L av en sådan kvadrat. Vi beräknar värdet på L så att L² = S.

   Ge en bokstav för varje nummer i svaret. Låt oss beteckna med A den första siffran i värdet på L (den önskade kvadratroten). B kommer att vara den andra siffran, C den tredje och så vidare.

   Ange en bokstav för varje par första siffror. Låt oss beteckna med S a det första sifferparet i värdet av S, med S b det andra sifferparet, och så vidare.

   Förstå sambandet mellan denna metod och lång division. Precis som vid division, där vi bara är intresserade av nästa siffra i talet vi dividerar varje gång, när vi beräknar en kvadratrot, arbetar vi genom ett par siffror sekventiellt (för att få nästa siffra i kvadratrotsvärdet) .

   1. Betrakta det första siffrorna Sa i talet S (Sa = 7 i vårt exempel) och hitta dess kvadratrot. I detta fall kommer den första siffran A i det önskade kvadratrotsvärdet att vara en siffra vars kvadrat är mindre än eller lika med Sa (det vill säga vi letar efter ett A så att olikheten A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Låt oss säga att vi måste dividera 88962 med 7; här kommer det första steget att vara liknande: vi betraktar den första siffran i det delbara talet 88962 (8) och väljer det största talet som, multiplicerat med 7, ger ett värde mindre än eller lika med 8. Det vill säga vi letar efter ett tal d för vilket olikheten är sann: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Föreställ dig mentalt en kvadrat vars area du behöver beräkna. Du letar efter L, det vill säga längden på sidan av en kvadrat vars area är lika med S. A, B, C är talen i talet L. Du kan skriva det annorlunda: 10A + B = L (för ett tvåsiffrigt nummer) eller 100A + 10B + C = L (för tresiffrigt nummer) och så vidare.

      • Låta (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Kom ihåg att 10A+B är ett tal där siffran B står för enheter och siffran A står för tior. Till exempel, om A=1 och B=2 är 10A+B lika med talet 12. (10A+B)²är arean av hela torget, 100A²- arean av det stora inre torget, B²- arean av det lilla inre torget, 10A×B- arean av var och en av de två rektanglarna. Genom att lägga ihop ytorna på de beskrivna figurerna hittar du arean för den ursprungliga kvadraten.