Demontaj qilish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday manfiy bo'lmagan b soniga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi.

Quyida biz o'z navbatida ildizlarni olishning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. qo'lda emas, ildiz sonini oddiy omillarga ajratishni o'z ichiga olgan ildizni ajratib olish usulini qo'llash mantiqan to'g'ri.

Alohida-alohida, g'alati ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun mumkin bo'lgan to'xtashga arziydi.

Nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beruvchi usulni ko'rib chiqing.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni chiqarishga imkon beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi kulrang fonda joylashgan bo'lib, ma'lum bir qator va ma'lum ustunni tanlab, 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorini va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Uning har bir katakchasi ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va bittaning 3-ustunining kesishmasida 83 raqamining kvadrati bo'lgan 6889 raqamiga ega katak mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratlar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ularni qo'llash tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonidan n-darajali ildizni olishimiz kerak, a soni esa n-darajali jadvalda mavjud. Ushbu jadvalga ko'ra, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, kublar jadvali yordamida 19683 yil kub ildizi qanday olinishini ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19 683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ildizlarni olishda n-darajali jadvallar juda qulay ekanligi aniq. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularning kompilyatsiyasi ma'lum vaqtni talab qiladi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday hollarda, ildizlarni olishning boshqa usullariga murojaat qilish kerak.

Ildiz sonning tub omillarga parchalanishi

Tabiiy sondan ildizni ajratib olishning juda qulay usuli (agar, albatta, ildiz chiqarilgan bo'lsa) ildiz sonini tub omillarga ajratishdir. Uning mohiyati quyidagicha: keyin uni kerakli ko'rsatkich bilan daraja sifatida ifodalash juda oson, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrni tushuntirib beraylik.

n-darajali ildiz a natural sondan chiqarilsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. Har qanday natural son sifatida b soni uning barcha tub omillari p 1 , p 2 , …, p m ko‘paytmasi sifatida p 1 p 2 … p m ko‘rinishida ifodalanishi mumkin va bu holda ildiz raqami a (p) shaklida ifodalanadi. 1 p 2 ... p m) n . Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun a ildiz sonining tub omillarga parchalanishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ga o‘xshaydi, bu esa ildizning qiymatini quyidagicha hisoblash imkonini beradi. .

E'tibor bering, agar a ildiz sonini koeffitsientlarga ajratishni (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sondan n-darajali ildiz to'liq chiqarilmaydi.

Keling, misollarni echishda bu bilan shug'ullanamiz.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Yechim.

Agar oldingi bandda berilgan kvadratlar jadvaliga murojaat qilsak, 144=12 2 ekanligi yaqqol ko'rinadi, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ga teng ekanligi ayon bo'ladi.

Ammo bu nuqtadan kelib chiqqan holda, biz 144 sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2 2 2 2 3 3 . Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Demak, .

Ildizlarning darajasi va xossalari xususiyatlaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildiz qiymatini hisoblang.

Yechim.

243 ildiz sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ga teng. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildizning qiymati butun sonmi?

Yechim.

Bu savolga javob berish uchun, keling, ildiz sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kub shaklida ifodalash mumkinligini bilib olaylik.

Bizda 285 768=2 3 3 6 7 2 bor. Olingan parchalanish butun sonning kubi sifatida ko'rsatilmaydi, chunki 7-bosh omilning darajasi uchga karrali emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizi to'liq olinmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Kasr sondan ildiz qanday olinishini aniqlash vaqti keldi. Kasr ildiz raqami p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xossasiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasr ildiz qoidasi: Kasrning ildizi sonning ildizini maxrajning ildiziga bo'lish qismiga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

25/169 oddiy kasrning kvadrat ildizi nimaga teng.

Yechim.

Kvadratchalar jadvaliga ko'ra, biz dastlabki kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy fraksiyadan ildizni ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi ildiz raqamlari oddiy kasrlar bilan almashtirilgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 kasrning kub ildizini oling.

Yechim.

Asl kasrni oddiy kasr sifatida ko'rsatamiz: 474,552=474552/1000 . Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Chunki 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000=10 3 , keyin Va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish uchun qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini ajratib olish

Alohida-alohida, manfiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida o'ylash kerak. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildizning ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda manfiy son ildiz belgisi ostida bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bunday yozuvlarga quyidagi ma'noni berdik: manfiy son -a va 2 n-1 ildizning toq ko'rsatkichi uchun bizda . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini chiqarib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildiz qiymatini toping.

Yechim.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy raqam paydo bo'lishi uchun aylantiramiz: . Endi aralash sonni oddiy kasr bilan almashtiramiz: . Biz oddiy kasrdan ildiz olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning numeratori va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Bit bo'yicha ildiz qiymatini topish

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajali sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan son mavjud. Ammo shu bilan birga, hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha berilgan ildizning qiymatini bilish zarurati tug'iladi. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning raqamlarining etarli miqdordagi qiymatlarini doimiy ravishda olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari ildiz sonidan kattaroq son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko‘tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n ning darajasiga ko'targan raqam mos keladigan yuqori tartibni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. Biz 0, 10, 100, ... raqamlarini olamiz va 5 dan katta raqam olinmaguncha ularni kvadratga aylantiramiz. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5 , ya'ni eng muhim raqam birliklar raqami bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, pastroqlari, ildizni ajratib olish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning kerakli qiymatining keyingi raqamlari qiymatlari topilganligi sababli, ildiz qiymatini ketma-ket takomillashtirishga qaratilgan, chunki eng yuqoridan boshlab va eng pastgacha harakatlanadi. . Misol uchun, birinchi bosqichda ildizning qiymati 2 , ikkinchisida - 2,2 , uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... . Keling, bitlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Bitlarni topish ularning mumkin bo'lgan qiymatlarini sanash orqali amalga oshiriladi 0, 1, 2, ..., 9 . Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel ravishda hisoblab chiqiladi va ular ildiz soni bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, u holda oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi, agar bu sodir bo'lmasa, u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning bir xil misolidan foydalanib, bu fikrlarning barchasini tushuntirib beraylik.

Birinchidan, birliklar raqamining qiymatini toping. Biz 0, 1, 2, …, 9 qiymatlarini takrorlaymiz, mos ravishda 0 2, 1 2, …, 9 2 ni radikal raqam 5 dan kattaroq qiymatga ega bo'lmaguncha hisoblaymiz. Ushbu hisob-kitoblarning barchasi jadval shaklida qulay tarzda taqdim etiladi:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (chunki 2 2<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, olingan qiymatlarni 5 ildiz raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, keyin o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Shunday qilib, beshning ildizining keyingi qiymati topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz boshqa qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Birinchidan, biz katta raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. 2,151,186 dan kattaroq raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaylik.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, keyin o'nlik raqamining qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar joyining qiymati 2 ga teng. Keling, o'nga o'taylik.

Hatto 12,9 3 radikal soni 2 151,186 dan kichik bo'lgani uchun o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish uchun qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida shuni aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8 hujayra uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma).

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni to'playmiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonunga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, agar biz bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak, siz haqingizdagi maʼlumotlarni oshkor qilishimiz mumkin.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs vorisiga topshirishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

1-fakt.
\(\bullet\) Manfiy bo'lmagan \(a\) sonini oling (ya'ni \(a\geqslant 0\) ). Keyin (arifmetik) kvadrat ildiz\(a\) raqamidan shunday manfiy bo'lmagan \(b\) son chaqiriladi, uning kvadratiga aylanganda \(a\) raqamini olamiz: \[\sqrt a=b\quad \matn(bir xil )\quad a=b^2\] Ta'rifdan kelib chiqadiki \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ushbu cheklovlar kvadrat ildizning mavjudligi uchun muhim shartdir va esda tutish kerak!
Eslatib o'tamiz, har qanday raqam kvadratga aylantirilganda manfiy bo'lmagan natija beradi. Ya'ni, \(100^2=10000\geqslant 0\) va \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) nima? Biz bilamizki, \(5^2=25\) va \((-5)^2=25\) . Ta'rifga ko'ra biz manfiy bo'lmagan sonni topishimiz kerak, \(-5\) mos emas, shuning uchun \(\sqrt(25)=5\) (chunki \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) qiymatini topish \(a\) sonining kvadrat ildizini olish, \(a\) soni esa ildiz ifodasi deb ataladi.
\(\bullet\) Ta'rifga asoslanib, \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) va h.k. ifodalar. mantiqiy emas.

2-fakt.
Tez hisoblash uchun \(1\) dan \(20\) gacha bo'lgan natural sonlar kvadratlari jadvalini o'rganish foydali bo'ladi: \[\begin(massiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiv)\]

3-fakt.
Kvadrat ildizlar bilan nima qilish mumkin?
\(\ o'q \) Kvadrat ildizlarning yig'indisi yoki farqi yig'indi yoki farqning kvadrat ildiziga TENG EMAS, ya'ni. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Shunday qilib, agar siz hisoblashingiz kerak bo'lsa, masalan, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , unda dastlab \(\sqrt(25)\) va \(\sqrt) qiymatlarini topishingiz kerak. (49)\ ) va keyin ularni qo'shing. Demak, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Agar \(\sqrt a+\sqrt b\) qo'shilganda \(\sqrt a\) yoki \(\sqrt b\) qiymatlarini topib bo'lmasa, unda bunday ifoda keyingi o'zgartirilmaydi va avvalgidek qoladi. Masalan, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) yig'indisida biz \(\sqrt(49)\) ni topishimiz mumkin - bu \(7\) , lekin \(\sqrt 2\) bo'lishi mumkin emas. har qanday tarzda aylantirilgan, Shuning uchun \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Bundan tashqari, bu iborani, afsuski, hech qanday tarzda soddalashtirish mumkin emas.\(\ o'q \) Kvadrat ildizlarning mahsuloti/ko'rsatkichi mahsulot/ko'rsatkichning kvadrat ildiziga teng, ya'ni. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (tenglikning ikkala qismi ham mantiqiy bo'lishi sharti bilan)
Misol: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu xossalardan foydalanib, katta sonlarning kvadrat ildizlarini faktoring yordamida topish qulay.
Bir misolni ko'rib chiqing. \(\sqrt(44100)\) ni toping. Chunki \(44100:100=441\) , keyin \(44100=100\cdot 441\) . Boʻlinish mezoniga koʻra \(441\) soni \(9\) ga boʻlinadi (chunki uning raqamlari yigʻindisi 9 va 9 ga boʻlinadi), shuning uchun \(441:9=49\) , ya'ni \(441=9\ cdot 49\) .
Shunday qilib, biz oldik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Keling, \(5\sqrt2\) (\(5\cdot \sqrt2\) ifodasining qisqartmasi) iborasidan foydalanib, kvadrat ildiz belgisi ostida raqamlarni qanday kiritishni ko'rsatamiz. Chunki \(5=\sqrt(25)\) , keyin \ Shuni ham yodda tutingki, masalan,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Nega bunday? 1-misol bilan tushuntiramiz). Siz allaqachon tushunganingizdek, biz \(\sqrt2\) raqamini qandaydir tarzda aylantira olmaymiz. Tasavvur qiling-a, \(\sqrt2\) qandaydir raqam \(a\) . Shunga ko'ra, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifodasi \(a+3a\)dan boshqa narsa emas (bir raqam \(a\) va yana uchta bir xil raqamlar \(a\) ). Va biz bilamizki, bu to'rtta shunday raqamga teng \(a\) , ya'ni \(4\sqrt2\) .

4-fakt.
\(\bullet\) Ba'zi sonning qiymatini topishda ildiz (radikal)ning \(\sqrt () \ \) belgisidan qutulishning iloji bo'lmasa, "ildizni ajratib bo'lmaydi" deb tez-tez aytiladi. Misol uchun, \(16\) raqamini ildiz qilishingiz mumkin, chunki \(16=4^2\) , shuning uchun \(\sqrt(16)=4\) . Ammo \(3\) raqamidan ildizni ajratib olish, ya'ni \(\sqrt3\) ni topish mumkin emas, chunki kvadrati \(3\) ni beradigan raqam yo'q.
Bunday raqamlar (yoki bunday raqamlar bilan ifodalangan) irratsionaldir. Masalan, raqamlar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) va h.k. mantiqsizdir.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) va hokazo.
\(\bullet\) E'tibor bering, har qanday raqam ratsional yoki irratsional bo'ladi. Va barcha ratsional va barcha irratsional sonlar birgalikda nomli to'plamni tashkil qiladi haqiqiy (haqiqiy) raqamlar to'plami. Bu to'plam \(\mathbb(R)\) harfi bilan belgilanadi.
Bu shuni anglatadiki, biz hozir biladigan barcha raqamlar haqiqiy sonlar deb ataladi.

5-fakt.
\(\o'q\) Haqiqiy sonning moduli \(a\) - bu \(a\) nuqtadan \(0\) gacha bo'lgan masofaga teng \(|a|\) manfiy bo'lmagan son. chiziq. Masalan, \(|3|\) va \(|-3|\) 3 ga teng, chunki \(3\) va \(-3\) nuqtalardan \(0\) gacha boʻlgan masofalar bir xil va \(3 \) ga teng.
\(\bullet\) Agar \(a\) manfiy bo'lmagan son bo'lsa, \(|a|=a\) .
Misol: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Agar \(a\) manfiy son bo'lsa, \(|a|=-a\) .
Misol: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ularning ta'kidlashicha, manfiy raqamlar uchun modul minusni, musbat raqamlarni, shuningdek \(0\) raqamini "eydi", modul o'zgarishsiz qoladi.
LEKIN bu qoida faqat raqamlar uchun amal qiladi. Agar sizda modul belgisi ostida noma'lum \(x\) (yoki boshqa noma'lum) mavjud bo'lsa, masalan, \(|x|\) , bu haqda biz uning ijobiy, nolga teng yoki salbiy ekanligini bilmaymiz, keyin moduldan qutula olmaymiz. Bunday holda, bu ifoda shunday bo'lib qoladi: \(|x|\) . \(\ bullet\) Quyidagi formulalar o'rinli: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( taqdim ) a\geqslant 0\] Ko'pincha quyidagi xatoga yo'l qo'yiladi: ular \(\sqrt(a^2)\) va \((\sqrt a)^2\) bir xil narsa ekanligini aytishadi. Bu faqat \(a\) musbat son yoki nol bo'lganda to'g'ri bo'ladi. Ammo agar \(a\) manfiy son bo'lsa, bu to'g'ri emas. Bunday misolni ko'rib chiqish kifoya. \(a\) o'rniga \(-1\) raqamini olaylik. Keyin \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , lekin \((\sqrt (-1))^2\) ifodasi umuman mavjud emas (chunki u imkonsiz ildiz belgisi ostida salbiy raqamlarni qo'ying!).
Shuning uchun e'tiboringizni \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) ga teng emasligiga qaratamiz! Misol: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\o'ng)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), chunki \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) dan beri \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifodasi juft sonni bildiradi)
Ya'ni, qaysidir darajada bo'lgan sondan ildiz ajratib olinganda, bu daraja ikki barobar kamayadi.
Misol:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (e'tibor bering, agar modul o'rnatilmagan bo'lsa, u holda raqamning ildizi \(-25 ga teng bo'ladi. \) ; lekin biz eslaymizki, ildizning ta'rifiga ko'ra, bu bo'lishi mumkin emas: ildizni ajratib olishda biz har doim ijobiy raqam yoki nol olishimiz kerak)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (chunki juft darajali har qanday son manfiy emas)

6-fakt.
Ikki kvadrat ildizni qanday solishtirish mumkin?
\(\ bullet\) Kvadrat ildizlar uchun to'g'ri: agar \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aMisol:
1) \(\sqrt(50)\) va \(6\sqrt2\) ni solishtiring. Birinchidan, biz ikkinchi ifodani aylantiramiz \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Shunday qilib, \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) qanday butun sonlar orasida joylashgan?
Chunki \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) va \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) va \(0,5\) ni solishtiring. Faraz qilaylik \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((ikki tomonga bittasini qo'shing))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \to'rtta\matn((kvadrat ikkala qism))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(hizalangan)\] Biz noto'g'ri tengsizlikka erishganimizni ko'ramiz. Shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri edi va \(\sqrt 2-1<0,5\) .
E'tibor bering, tengsizlikning ikkala tomoniga ma'lum bir son qo'shilishi uning belgisiga ta'sir qilmaydi. Tengsizlikning ikkala qismini musbat songa ko'paytirish/bo'lish ham uning belgisiga ta'sir qilmaydi, lekin manfiy songa ko'paytirish/bo'lish tengsizlik belgisini teskari qiladi!
Tenglama/tengsizlikning ikkala tomonini faqat ikkala tomoni manfiy bo'lmagan taqdirdagina kvadratlash mumkin. Masalan, oldingi misoldagi tengsizlikda siz ikkala tomonni kvadratga olishingiz mumkin, tengsizlikda \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\ bullet\) Shuni yodda tuting \[\begin(hizalangan) &\sqrt 2\taxminan 1,4\\ &\sqrt 3\taxminan 1,7 \end(hizalangan)\] Ushbu raqamlarning taxminiy ma'nosini bilish raqamlarni taqqoslashda sizga yordam beradi! \(\ o'q \) Kvadratchalar jadvalida mavjud bo'lmagan katta sondan ildizni (agar u ajratilgan bo'lsa) ajratib olish uchun avval qaysi "yuzliklar", keyin qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlashingiz kerak. va keyin bu raqamning oxirgi raqamini aniqlang. Keling, bu qanday ishlashini misol bilan ko'rsatamiz.
\(\sqrt(28224)\) oling. Biz bilamizki, \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) va hokazo. E'tibor bering, \(28224\) \(10\,000\) va \(40\,000\) orasida. Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) \(100\) va \(200\) orasida.
Endi bizning raqamimiz qaysi "o'nliklar" orasida ekanligini aniqlaymiz (masalan, \(120\) va \(130\) ). Kvadratlar jadvalidan shuni ham bilamizki, \(11^2=121\) , \(12^2=144\) va hokazo, keyin \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Shunday qilib, biz \(28224\) \(160^2\) va \(170^2\) orasida ekanligini ko'ramiz. Shuning uchun \(\sqrt(28224)\) soni \(160\) va \(170\) orasida.
Keling, oxirgi raqamni aniqlashga harakat qilaylik. Keling, kvadratlashtirishda qaysi bir xonali raqamlar oxirida berishini eslaylik \ (4 \) ? Bular \(2^2\) va \(8^2\) . Shuning uchun, \(\sqrt(28224)\) 2 yoki 8 bilan tugaydi. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. \(162^2\) va \(168^2\) ni toping:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Demak, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matematikadan imtihonni adekvat hal qilish uchun, birinchi navbatda, ko'plab teoremalar, formulalar, algoritmlar va boshqalarni kiritadigan nazariy materialni o'rganish kerak.Bir qarashda, bu juda oddiydek tuyulishi mumkin. Biroq, matematikadan Yagona davlat imtihonining nazariyasi har qanday darajadagi tayyorgarlikka ega bo'lgan talabalar uchun oson va tushunarli tarzda taqdim etiladigan manbani topish, aslida, juda qiyin vazifadir. Maktab darsliklarini har doim ham qo'lda ushlab turish mumkin emas. Va matematikadan imtihon uchun asosiy formulalarni topish hatto Internetda ham qiyin bo'lishi mumkin.

Nega faqat imtihon topshirganlar uchun emas, balki matematikada nazariyani o'rganish juda muhim?

1. Chunki u sizning dunyoqarashingizni kengaytiradi. Matematika bo'yicha nazariy materialni o'rganish dunyoni bilish bilan bog'liq keng ko'lamli savollarga javob olishni istagan har bir kishi uchun foydalidir. Tabiatdagi hamma narsa tartibli va aniq mantiqqa ega. Aynan shu narsa fanda o'z aksini topadi, bu orqali dunyoni tushunish mumkin.
2. Chunki u aqlni rivojlantiradi. Matematikadan imtihon uchun ma'lumotnomalarni o'rganish, shuningdek, turli muammolarni hal qilish, inson mantiqiy fikrlash va fikr yuritishni, fikrlarni to'g'ri va aniq shakllantirishni o'rganadi. U tahlil qilish, umumlashtirish, xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantiradi.

Sizni o'quv materiallarini tizimlashtirish va taqdim etishga bo'lgan yondashuvimizning barcha afzalliklarini shaxsan baholashga taklif qilamiz.

Ko'pincha, muammolarni hal qilishda biz olishimiz kerak bo'lgan katta raqamlarga duch kelamiz Kvadrat ildiz. Ko'pgina talabalar bu xato deb qaror qilishadi va butun misolni hal qilishni boshlaydilar. Hech qanday holatda buni qilmaslik kerak! Buning ikkita sababi bor:

1. Katta sonlarning ildizlari muammolarda paydo bo'ladi. Ayniqsa matnda;
2. Bu ildizlar deyarli og'zaki ko'rib chiqiladigan algoritm mavjud.

Bugun biz ushbu algoritmni ko'rib chiqamiz. Ehtimol, ba'zi narsalar sizga tushunarsiz bo'lib tuyuladi. Ammo agar siz ushbu darsga e'tibor qaratsangiz, siz eng kuchli qurolga ega bo'lasiz kvadrat ildizlar.

Shunday qilib, algoritm:

1. Yuqoridagi va pastdagi kerakli ildizni 10 ning ko'paytmalari bilan cheklang. Shunday qilib, biz qidiruv oralig'ini 10 raqamga qisqartiramiz;
2. Ushbu 10 ta raqamdan, albatta, ildiz bo'la olmaydiganlarni olib tashlang. Natijada, 1-2 raqam qoladi;
3. Ushbu 1-2 raqamni kvadratga aylantiring. Ularning kvadrati asl songa teng bo'lganlari ildiz bo'ladi.

Ushbu algoritmni amalda qo'llashdan oldin, keling, har bir alohida bosqichni ko'rib chiqaylik.

Ildizlarni cheklash

Avvalo, ildizimiz qaysi raqamlar orasida joylashganligini aniqlashimiz kerak. Raqamlar o'nga karrali bo'lishi juda ma'qul:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Biz bir qator raqamlarni olamiz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu raqamlar bizga nima beradi? Hammasi oddiy: biz chegaralarni olamiz. Masalan, 1296 raqamini olaylik. U 900 dan 1600 gacha boʻladi. Shuning uchun uning ildizi 30 dan kichik va 40 dan katta boʻlishi mumkin emas:

[Rasm sarlavhasi]

Kvadrat ildizni topishingiz mumkin bo'lgan har qanday boshqa raqam bilan ham xuddi shunday. Masalan, 3364:

[Rasm sarlavhasi]

Shunday qilib, tushunarsiz raqam o'rniga biz asl ildiz yotadigan juda aniq diapazonni olamiz. Qidiruv doirasini yanada toraytirish uchun ikkinchi bosqichga o'ting.

Aniq ortiqcha raqamlarni yo'q qilish

Shunday qilib, bizda 10 ta raqam bor - ildiz uchun nomzodlar. Biz ularni juda tez, murakkab fikrlash va ustunda ko'paytirmasdan qabul qildik. Davom etish vaqti keldi.

Ishoning yoki ishonmang, endi biz nomzodlar sonini ikkitaga qisqartiramiz - va yana hech qanday murakkab hisob-kitoblarsiz! Maxsus qoidani bilish kifoya. Mana:

Kvadratning oxirgi raqami faqat oxirgi raqamga bog'liq asl raqam.

Boshqacha qilib aytganda, kvadratning oxirgi raqamiga qarash kifoya - va biz asl raqam qaerda tugashini darhol tushunamiz.

Oxirgi o'rinda bo'lishi mumkin bo'lgan faqat 10 ta raqam mavjud. Keling, ular kvadratga aylantirilganda nimaga aylanishini aniqlashga harakat qilaylik. Jadvalga qarang:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ushbu jadval ildizni hisoblash uchun yana bir qadamdir. Ko'rib turganingizdek, ikkinchi qatordagi raqamlar beshga nisbatan nosimmetrik bo'lib chiqdi. Masalan:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Ko'rib turganingizdek, oxirgi raqam ikkala holatda ham bir xil. Va bu shuni anglatadiki, masalan, 3364 ning ildizi majburiy ravishda 2 yoki 8 bilan tugaydi. Boshqa tomondan, biz oldingi paragrafdagi cheklovni eslaymiz. Biz olamiz:

[Rasm sarlavhasi]

Qizil kvadratlar bu raqamni hali bilmasligimizni ko'rsatadi. Axir, ildiz 50 dan 60 gacha bo'lib, unda 2 va 8 bilan tugaydigan faqat ikkita raqam mavjud:

[Rasm sarlavhasi]

Ana xolos! Barcha mumkin bo'lgan ildizlardan faqat ikkita variantni qoldirdik! Va bu eng qiyin holatda, chunki oxirgi raqam 5 yoki 0 bo'lishi mumkin. Va keyin ildizlar uchun yagona nomzod qoladi!

Yakuniy hisob-kitoblar

Demak, bizda 2 ta nomzod raqami qoldi. Qaysi biri ildiz ekanligini qanday bilasiz? Javob aniq: ikkala raqamni kvadratga aylantiring. Kvadrat bo'lgan raqam asl raqamni beradi va ildiz bo'ladi.

Masalan, 3364 raqami uchun biz ikkita nomzod raqamini topdik: 52 va 58. Keling, ularni kvadratga aylantiramiz:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Ana xolos! Ildiz 58 ekanligi ma'lum bo'ldi! Shu bilan birga, hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun yig'indi va ayirma kvadratlari formulasidan foydalandim. Buning yordamida siz ustundagi raqamlarni ko'paytirishingiz shart emas edi! Bu hisob-kitoblarni optimallashtirishning yana bir darajasi, lekin, albatta, bu mutlaqo ixtiyoriy :)

Ildizlarni hisoblash misollari

Albatta, nazariya yaxshi. Ammo keling, buni amalda sinab ko'raylik.

[Rasm sarlavhasi]

Birinchidan, 576 raqami qaysi raqamlar orasida joylashganligini bilib olaylik:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Endi oxirgi raqamga qaraylik. Bu 6 ga teng. Bu qachon sodir bo'ladi? Faqat ildiz 4 yoki 6 bilan tugasa. Biz ikkita raqamni olamiz:

Har bir raqamni kvadratga solish va asl raqam bilan solishtirish qoladi:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Ajoyib! Birinchi kvadrat asl raqamga teng bo'lib chiqdi. Demak, bu ildiz.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:

[Rasm sarlavhasi]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

1369 → 9;
33; 37.

Keling, uni kvadratga aylantiramiz:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Mana javob: 37.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:

[Rasm sarlavhasi]

Biz raqamni cheklaymiz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

2704 → 4;
52; 58.

Keling, uni kvadratga aylantiramiz:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Biz javob oldik: 52. Ikkinchi raqamni endi kvadratga solish kerak bo'lmaydi.

Vazifa. Kvadrat ildizni hisoblang:

[Rasm sarlavhasi]

Biz raqamni cheklaymiz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Keling, oxirgi raqamni ko'rib chiqaylik:

4225 → 5;
65.

Ko'rib turganingizdek, ikkinchi bosqichdan keyin faqat bitta variant qoladi: 65. Bu kerakli ildiz. Ammo keling, uni kvadratga aylantiramiz va tekshiramiz:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Hammasi to'g'ri. Javobni yozamiz.

Xulosa

Afsuski, yaxshiroq emas. Keling, sabablarni ko'rib chiqaylik. Ulardan ikkitasi bor:

• Har qanday oddiy matematik imtihonda kalkulyatordan foydalanish taqiqlanadi, xoh u GIA yoki Yagona davlat imtihonida. Va kalkulyatorni sinfga olib kirish uchun ularni imtihondan osongina haydash mumkin.
• Ahmoq amerikaliklar kabi bo'lmang. Ular ildizlarga o'xshamaydi - ular ikkita tub sonni qo'sha olmaydi. Va kasrlarni ko'rganda, ular odatda histerik bo'lib qoladilar.

Kalkulyatorlar paydo bo'lishidan oldin, talabalar va o'qituvchilar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblab chiqdilar. Raqamning kvadrat ildizini qo'lda hisoblashning bir necha yo'li mavjud. Ulardan ba'zilari faqat taxminiy echimni taklif qiladi, boshqalari aniq javob beradi.

Qadamlar

Asosiy faktorizatsiya

Ildiz sonni kvadrat sonlar bo'lgan omillarga aylantiring. Ildiz raqamiga qarab, siz taxminiy yoki aniq javob olasiz. Kvadrat raqamlar - bu butun kvadrat ildizni olish mumkin bo'lgan raqamlar. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 8 sonining omillari 2 va 4, chunki 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 raqamlari kvadrat sonlar, chunki √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrat omillar omillar bo'lib, ular kvadrat sonlardir. Birinchidan, ildiz sonini kvadrat omillarga ajratishga harakat qiling.

• Masalan, 400 ning kvadrat ildizini hisoblang (qo'lda). Avval 400 ni kvadrat omillarga ajratib ko'ring. 400 100 ning ko'paytmasi, ya'ni 25 ga bo'linadi - bu kvadrat raqam. 400 ni 25 ga bo'lish sizga 16 ni beradi. 16 soni ham kvadrat sondir. Shunday qilib, 400 ni 25 va 16 ning kvadrat omillariga, ya'ni 25 x 16 = 400 ga ko'paytirish mumkin.
• Buni quyidagicha yozish mumkin: √400 = √(25 x 16).

1. Ayrim hadlar ko‘paytmasining kvadrat ildizi har bir hadning kvadrat ildizlari ko‘paytmasiga teng, ya’ni √(a x b) = √a x √b. Ushbu qoidadan foydalaning va har bir kvadrat omilning kvadrat ildizini oling va javobni topish uchun natijalarni ko'paytiring.

   • Bizning misolimizda 25 va 16 ning kvadrat ildizini oling.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Agar radikal son ikkita kvadrat omilga ta'sir qilmasa (va ko'p hollarda shunday bo'ladi), siz aniq javobni butun son sifatida topa olmaysiz. Ammo siz ildiz sonini kvadrat koeffitsientga va oddiy koeffitsientga (butun kvadrat ildizni olib bo'lmaydigan raqam) ajratish orqali muammoni soddalashtirishingiz mumkin. Keyin kvadrat omilning kvadrat ildizini olasiz va oddiy omilning ildizini olasiz.

   • Masalan, 147 sonining kvadrat ildizini hisoblang. 147 sonini ikki kvadrat koeffitsientga ajratib bo'lmaydi, lekin uni quyidagi ko'rsatkichlarga ajratish mumkin: 49 va 3. Masalani quyidagicha yeching:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Agar kerak bo'lsa, ildizning qiymatini baholang. Endi siz ildizning qiymatini (taxminiy qiymatni toping) uni ildiz raqamiga eng yaqin (son chizig'ining ikkala tomonida) bo'lgan kvadrat raqamlarning ildizlari qiymatlari bilan taqqoslash orqali baholashingiz mumkin. Siz ildizning qiymatini o'nlik kasr sifatida olasiz, uni ildiz belgisi orqasidagi raqamga ko'paytirish kerak.

   • Keling, misolimizga qaytaylik. Ildiz raqami 3. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 1 (√1 = 1) va 4 (√4 = 2) raqamlaridir. Shunday qilib, √3 qiymati 1 va 2 orasida yotadi. √3 qiymati 1 ga qaraganda 2 ga yaqinroq bo'lgani uchun bizning taxminimiz: √3 = 1,7. Biz bu qiymatni ildiz belgisidagi raqamga ko'paytiramiz: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Agar siz kalkulyatorda hisob-kitob qilsangiz, siz 12.13 ni olasiz, bu bizning javobimizga juda yaqin.
     • Bu usul katta raqamlar bilan ham ishlaydi. Masalan, √35 ni ko'rib chiqing. Ildiz raqami 35. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 25 (√25 = 5) va 36 (√36 = 6) raqamlaridir. Shunday qilib, √35 qiymati 5 va 6 orasida yotadi. √35 qiymati 5 ga nisbatan 6 ga ancha yaqin bo'lgani uchun (chunki 35 36 dan atigi 1 ga kichik), biz √35 dan bir oz kichik ekanligini aytishimiz mumkin. 6. Kalkulyator bilan tekshirish bizga 5.92 javobini beradi - biz haq edik.

4. Yana bir usul - ildiz sonini tub omillarga ajratish. Bosh omillar - bu faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlar. Bosh ko‘paytuvchilarni qatorga yozing va bir xil ko‘rsatkichlar juftligini toping. Bunday omillarni ildiz belgisidan chiqarish mumkin.

   • Masalan, 45 ning kvadrat ildizini hisoblang. Biz ildiz sonini tub omillarga ajratamiz: 45 \u003d 9 x 5 va 9 \u003d 3 x 3. Shunday qilib, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 ni ildiz belgisidan chiqarish mumkin: √45 = 3√5. Endi biz √5 ni taxmin qilishimiz mumkin.
   • Boshqa misolni ko'rib chiqing: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Sizda uchta ko'paytiruvchi 2 bor; ulardan bir nechtasini oling va ularni ildiz belgisidan olib tashlang.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Endi biz √2 va √11 ni baholab, taxminiy javobni topishimiz mumkin.

   Kvadrat ildizni qo'lda hisoblash

   Ustun bo'linishidan foydalanish

   1. Bu usul uzoq bo'linishga o'xshash jarayonni o'z ichiga oladi va aniq javob beradi. Birinchidan, varaqni ikkiga bo'ladigan vertikal chiziqni torting, so'ngra gorizontal chiziqni o'ngga va varaqning yuqori chetidan bir oz pastga vertikal chiziqqa torting. Endi o'nli kasrdan keyin kasr qismidan boshlab, ildiz sonini juft raqamlarga ajrating. Demak, 79520789182.47897 raqami “7 95 20 78 91 82, 47 89 70” deb yoziladi.

      • Masalan, 780.14 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ikkita chiziq chizing (rasmda ko'rsatilgandek) va yuqori chapdagi raqamni "7 80, 14" deb yozing. Chapdagi birinchi raqam juftlashtirilmagan raqam bo'lishi odatiy holdir. Javob (berilgan raqamning ildizi) yuqori o'ng tomonda yoziladi.

   2. Chapdan raqamlarning birinchi juftligi (yoki bitta raqam) berilgan bo‘lsa, kvadrati ko‘rib chiqilayotgan sonlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) kichik yoki teng bo‘lgan eng katta n butun sonni toping. Boshqacha qilib aytganda, chapdan birinchi son juftiga (yoki bitta raqamga) eng yaqin, lekin undan kichik kvadrat sonni toping va shu kvadrat sonning kvadrat ildizini oling; n raqamini olasiz. Topilgan n ni yuqori o'ng tomonga yozing va pastki o'ng tomonga n kvadratini yozing.

      • Bizning holatda, chapdagi birinchi raqam 7 raqami bo'ladi. Keyingi, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Chapdagi birinchi raqamlar juftidan (yoki bitta raqamdan) hozirgina topilgan n sonining kvadratini ayiring. Hisoblash natijasini ayirma ostiga yozing (n sonining kvadrati).

      • Bizning misolimizda 7 dan 4 ni ayirib, 3 ni oling.

   4. Ikkinchi juft raqamlarni olib tashlang va oldingi bosqichda olingan qiymat yoniga yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki baravar oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shib yozing.

      • Bizning misolimizda raqamlarning ikkinchi juftligi "80" dir. 3 dan keyin "80" ni yozing. Keyin yuqori o'ngdan raqam ikki barobarga ko'tariladi 4. Pastki o'ngdan "4_×_=" yozing.

   5. O'ng tarafdagi bo'sh joylarni to'ldiring.

      • Bizning holatda, agar chiziq o'rniga 8 raqamini qo'ysak, u holda 48 x 8 \u003d 384, bu 380 dan ortiq. Shuning uchun 8 juda katta raqam, lekin 7 yaxshi. Chiziqlar o'rniga 7 ni yozing va oling: 47 x 7 \u003d 329. Yuqori o'ngdan 7 ni yozing - bu 780.14 raqamining kerakli kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.

   6. Olingan raqamni chapdagi joriy raqamdan ayiring. Oldingi bosqichdan olingan natijani chap tarafdagi joriy raqam ostiga yozing, farqni toping va ayirilgan raqamning ostiga yozing.

      • Bizning misolimizda 380 dan 329 ni ayirib oling, bu 51 ga teng.

   7. 4-bosqichni takrorlang. Agar buzilgan raqamlar juftligi asl sonning kasr qismi bo'lsa, u holda butun son va kasr qismlarini ajratuvchi (vergul) yuqori o'ngdan kerakli kvadrat ildizga qo'ying. Chapda, keyingi raqamlar juftini pastga olib boring. Yuqoridagi o'ngdagi raqamni ikki baravar oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shib yozing.

      • Bizning misolimizda 780.14 raqamining kasr qismi bo'ladi, shuning uchun o'ngdan yuqoridan kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlarini ajratuvchisini qo'ying. 14 ni buzing va pastki chap tomonga yozing. Yuqori o'ng tomonning ikki barobari (27) 54, shuning uchun pastki o'ngga "54_×_=" yozing.

   8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. O'ngdagi chiziqchalar o'rniga eng katta raqamni toping (chiziqlar o'rniga siz bir xil raqamni almashtirishingiz kerak), shunda ko'paytirish natijasi chapdagi joriy raqamdan kichik yoki teng bo'ladi.

      • Bizning misolimizda 549 x 9 = 4941, bu chapdagi joriy raqamdan (5114) kamroq. Yuqori o'ng tomonga 9 ni yozing va chapdagi joriy raqamdan ko'paytirish natijasini ayiring: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kvadrat ildiz uchun koʻproq oʻnli kasrlarni topish kerak boʻlsa, chap tarafdagi joriy raqam yoniga bir juft nol yozing va 4, 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Kerakli javobning aniqligini olmaguningizcha amallarni takrorlang (soni kasrlar).

   Jarayonni tushunish

   Ushbu usulni o'zlashtirish uchun kvadrat ildizi S kvadratning maydoni sifatida topish kerak bo'lgan sonni tasavvur qiling. Bunday holda, siz bunday kvadratning L tomonining uzunligini qidirasiz. L² = S bo'lgan L qiymatini hisoblang.

   Javobingizdagi har bir raqam uchun harf kiriting. L qiymatidagi birinchi raqamni A bilan belgilang (kerakli kvadrat ildiz). B ikkinchi raqam bo'ladi, C uchinchi va hokazo.

   Har bir bosh raqamlar juftligi uchun harfni belgilang. S qiymatidagi birinchi raqamlar juftini S a bilan, ikkinchi juft raqamni S b va hokazo bilan belgilang.

   Ushbu usulning uzun bo'linish bilan bog'liqligini tushuntiring. Bo'linish operatsiyasida bo'lgani kabi, biz har safar bo'linadigan sonning faqat bitta keyingi raqamiga qiziqamiz, kvadrat ildizni hisoblashda biz ketma-ket bir juft raqam bilan ishlaymiz (kvadrat ildiz qiymatida keyingi bitta raqamni olish uchun) .

   1. S sonining birinchi juft Sa raqamlarini ko'rib chiqing (misolimizda Sa = 7) va uning kvadrat ildizini toping. Bunday holda, kvadrat ildizning qidirilayotgan qiymatining birinchi A raqami kvadrati S a dan kichik yoki teng bo'lgan raqam bo'ladi (ya'ni, biz A² tengsizligini qanoatlantiradigan shunday A ni qidiramiz. ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Aytaylik, 88962 ni 7 ga bo'lish kerak; bu erda birinchi qadam shunga o'xshash bo'ladi: biz 88962 (8) bo'linadigan sonning birinchi raqamini ko'rib chiqamiz va 7 ga ko'paytirilganda 8 dan kichik yoki teng qiymat beradigan eng katta raqamni tanlaymiz. Ya'ni, biz qidiramiz. tengsizlik rost bo'lgan d soni: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Maydonini hisoblashingiz kerak bo'lgan kvadratni aqlan tasavvur qiling. Siz L ni qidiryapsiz, ya'ni maydoni S bo'lgan kvadrat tomonining uzunligi. A, B, C - L sonidagi raqamlar. Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 10A + B \u003d L (ikkitasi uchun) -raqamli raqam) yoki 100A + 10B + C \u003d L (uch xonali raqam uchun) va boshqalar.

      • Mayli (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Esda tutingki, 10A+B bu B birliklar va A o'nliklarni bildiruvchi sondir. Masalan, agar A=1 va B=2 bo'lsa, 10A+B 12 raqamiga teng bo'ladi. (10A+B)² butun kvadratning maydoni, 100A² katta ichki kvadratning maydoni, B² kichik ichki kvadratning maydoni, 10A×B ikkita to'rtburchakning har birining maydoni. Ta'riflangan raqamlarning maydonlarini qo'shib, siz asl kvadratning maydonini topasiz.