Үүнийг цэгцлэх цаг нь болсон үндэс олборлох аргууд. Эдгээр нь язгуурын шинж чанар, тухайлбал, ямар ч сөрөг биш b тоонд үнэн зөв тэгш байдал дээр суурилдаг.

Доор бид үндсийг задлах үндсэн аргуудыг нэг нэгээр нь авч үзэх болно.

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлцгээе - квадратуудын хүснэгт, шоо дөрвөлжин хүснэгт гэх мэтийг ашиглан натурал тооноос үндсийг гаргаж авах.

Хэрэв квадрат, шоо гэх мэт хүснэгтүүд байвал. Хэрэв таны гарт байхгүй бол радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах үндэсийг задлах аргыг ашиглах нь логик юм.

Сондгой илтгэгчтэй үндэс нь юу байж болохыг онцгойлон дурдах нь зүйтэй.

Эцэст нь язгуур утгын цифрүүдийг дараалан олох боломжийг олгодог аргыг авч үзье.

Эхэлцгээе.

Квадрат хүснэгт, шоо дөрвөлжин хүснэгт гэх мэтийг ашиглах.

Хамгийн энгийн тохиолдолд квадрат, шоо гэх мэт хүснэгтүүд нь үндсийг задлах боломжийг олгодог. Эдгээр хүснэгтүүд юу вэ?

0-ээс 99 хүртэлх бүхэл тоонуудын квадратуудын хүснэгт (доор харуулав) нь хоёр бүсээс бүрдэнэ. Хүснэгтийн эхний бүс нь саарал дэвсгэр дээр байрладаг бөгөөд тодорхой мөр, тодорхой баганыг сонгосноор 0-ээс 99 хүртэлх тоог бичих боломжийг олгоно. Жишээлбэл, 8 аравтын эгнээ, 3 нэгжийн баганыг сонгоод 83 гэсэн тоог зассан. Хоёр дахь бүс нь хүснэгтийн үлдсэн хэсгийг эзэлдэг. Нүд бүр нь тодорхой мөр ба тодорхой баганын огтлолцол дээр байрладаг бөгөөд 0-ээс 99 хүртэлх харгалзах тооны квадратыг агуулна. Бидний сонгосон 8 аравтын эгнээ болон нэгийн 3-р баганын огтлолцол дээр 83 тооны квадрат болох 6889 гэсэн тоотой нүд байна.

Кубуудын хүснэгтүүд, 0-ээс 99 хүртэлх тооны дөрөв дэх зэрэглэлийн хүснэгтүүд нь квадратуудын хүснэгттэй төстэй бөгөөд зөвхөн хоёр дахь бүсэд куб, дөрөв дэх зэрэглэл гэх мэтийг агуулдаг. харгалзах тоонууд.

Квадрат, шоо, дөрөв дэх зэрэглэлийн хүснэгтүүд. квадрат үндэс, шоо үндэс, дөрөв дэх үндэс гэх мэтийг гаргаж авах боломжийг танд олгоно. эдгээр хүснэгтэд байгаа тоонуудын дагуу. Үндэс гаргаж авахдаа тэдгээрийг ашиглах зарчмыг тайлбарлая.

a тоо n-р зэрэглэлийн хүснэгтэд агуулагдаж байхад бид a тооны n-р язгуурыг гаргаж авах хэрэгтэй гэж бодъё. Энэ хүснэгтийг ашиглан a=b n байх b тоог олно. Дараа нь , тиймээс b тоо нь n-р зэргийн хүссэн үндэс болно.

Жишээ болгон 19,683-ын шоо үндсийг задлахад шоо хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг үзүүлье. Бид шоо дөрвөлжин хүснэгтээс 19,683 тоог олоод, энэ тоо нь 27 тооны шоо болохыг олж мэдэв. .

Үндэсийг задлахад n-р зэрэглэлийн хүснэгтүүд маш тохиромжтой байдаг нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь ихэвчлэн гарт байдаггүй бөгөөд тэдгээрийг эмхэтгэх нь тодорхой хугацаа шаарддаг. Түүнээс гадна, холбогдох хүснэгтэд агуулаагүй тоонуудаас үндсийг нь гаргаж авах шаардлагатай байдаг. Эдгээр тохиолдолд та үндэс олборлох бусад аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах

Натурал тооны үндсийг гаргаж авах нэлээн тохиромжтой арга бол (мэдээжийн хэрэг, үндсийг нь гаргаж авсан бол) радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах явдал юм. Түүний гол нь энэ: үүний дараа үүнийг хүссэн экспонент бүхий хүч болгон илэрхийлэхэд маш хялбар бөгөөд энэ нь язгуурын утгыг авах боломжийг танд олгоно. Энэ зүйлийг тодруулъя.

Натурал а тооны n-р язгуурыг авч, утга нь b-тэй тэнцүү байг. Энэ тохиолдолд a=b n тэгшитгэл үнэн болно. b тоог ямар ч натурал тоонуудын нэгэн адил p 1 , p 2 , …, p m анхны хүчин зүйлүүдийн үржвэр болгон p 1 ·p 2 ·…·p m хэлбэрээр дүрсэлж болно, энэ тохиолдолд радикал тоо a. (p 1 ·p 2 ·…·p m) n хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах нь өвөрмөц байдаг тул a радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах нь (p 1 ·p 2 ·…·p m) n хэлбэртэй байх бөгөөд энэ нь язгуурын утгыг тооцоолох боломжтой болгодог. зэрэг .

Хэрэв a радикал тоон анхны хүчин зүйл болгон задрахыг (p 1 ·p 2 ·…·p m) n хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бол ийм тооны a n-р үндэс бүрэн гаргаагүй гэдгийг анхаарна уу.

Жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ үүнийг олж мэдье.

Жишээ.

144-ийн квадрат язгуурыг авна.

Шийдэл.

Хэрэв та өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн квадратуудын хүснэгтийг харвал 144 = 12 2 болохыг тодорхой харж болно, үүнээс 144-ийн квадрат язгуур нь 12-той тэнцүү байна.

Гэхдээ энэ үүднээс бид 144 гэсэн радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах замаар үндсийг хэрхэн гаргаж авахыг сонирхож байна. Энэ шийдлийг авч үзье.

Задарцгаая 144-ээс үндсэн хүчин зүйлүүд:

144=2·2·2·2·3·3 гэсэн үг. Үүссэн задралд үндэслэн дараахь өөрчлөлтүүдийг хийж болно. 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Тиймээс, .

Зэрэг, үндэсийн шинж чанарыг ашиглан уусмалыг арай өөрөөр томъёолж болно: .

Хариулт:

Материалыг нэгтгэхийн тулд өөр хоёр жишээний шийдлүүдийг авч үзье.

Жишээ.

Үндэсийн утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Радикал тоо 243-ын анхны үржүүлэх нь 243=3 5 хэлбэртэй байна. Тиймээс, .

Хариулт:

Жишээ.

Үндсэн утга нь бүхэл тоо мөн үү?

Шийдэл.

Энэ асуултад хариулахын тулд радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон хувааж, бүхэл тооны шоо хэлбэрээр илэрхийлж болох эсэхийг харцгаая.

Бидэнд 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 байна. Үүссэн өргөтгөлийг бүхэл тооны шоо хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй, учир нь 7-р анхны хүчин зүйлийн хүч нь гурвын үржвэр биш юм. Тиймээс 285,768-ын шоо үндсийг бүрэн гаргаж авах боломжгүй.

Хариулт:

Үгүй

Бутархай тооноос үндэс гаргаж авах

Бутархай тооны үндсийг хэрхэн гаргаж авахыг ойлгох цаг болжээ. Бутархай радикал тоог p/q гэж бичье. Хаалтын язгуурын шинж чанарын дагуу дараах тэгш байдал үнэн байна. Энэ тэгш байдлаас үүдэн гарч ирдэг бутархайн үндсийг гаргаж авах дүрэм: Бутархайн язгуур нь хуваагчийн язгуурт хуваагдсан тооны язгуурын хуваасантай тэнцүү байна.

Бутархайгаас үндэс гаргаж авах жишээг авч үзье.

Жишээ.

25/169 энгийн бутархайн квадрат язгуур хэд вэ?

Шийдэл.

Квадратуудын хүснэгтийг ашигласнаар бид анхны бутархайн хуваагчийн квадрат язгуур 5, хуваагчийн квадрат язгуур 13-тай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Дараа нь . Энэ нь 25/169 энгийн бутархайн үндсийг гаргаж авч дуусна.

Хариулт:

Аравтын бутархай буюу холимог тооны язгуурыг радикал тоонуудыг энгийн бутархайгаар сольсны дараа гаргаж авдаг.

Жишээ.

474.552 аравтын бутархайн шоо язгуурыг ав.

Шийдэл.

Анхны аравтын бутархайг энгийн бутархай гэж төсөөлье: 474.552=474552/1000. Дараа нь . Үүссэн бутархайн хуваагч ба хуваарьт байгаа шоо үндсийг гаргаж авахад л үлддэг. Учир нь 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 ба 1 000 = 10 3, тэгвэл Тэгээд . Тооцооллыг дуусгах л үлдлээ .

Хариулт:

.

Сөрөг тооны үндсийг авах

Сөрөг тооноос үндсийг гаргаж авах талаар анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Үндэсийг судлахдаа бид язгуур илтгэгч сондгой тоо байвал язгуур тэмдгийн дор сөрөг тоо байж болно гэж хэлсэн. Бид эдгээр оруулгуудад дараах утгыг өгсөн: сөрөг тоо −a ба сондгой илтгэгч 2 n−1 язгуурын хувьд, . Энэ тэгш байдал нь өгдөг сөрөг тооноос сондгой язгуур гаргаж авах дүрэм: сөрөг тооны үндсийг задлахын тулд та эсрэг талын эерэг тооны үндсийг авч, үр дүнгийн өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй.

Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

Үндэсийн утгыг ол.

Шийдэл.

Эх тэмдгийн дор эерэг тоо байхаар анхны илэрхийлэлийг өөрчилье. . Одоо холимог тоог энгийн бутархайгаар солино. . Бид энгийн бутархайн үндсийг гаргаж авах дүрмийг ашигладаг. . Үүссэн бутархайн тоо ба хуваагч дахь үндсийг тооцоолоход л үлддэг. .

Шийдлийн товч тоймыг энд оруулав. .

Хариулт:

.

Үндсэн утгыг битийн аргаар тодорхойлох

Ерөнхийдөө язгуур дор дээр дурдсан аргуудыг ашиглан ямар ч тооны n-р зэрэглэлээр илэрхийлэх боломжгүй тоо байдаг. Гэхдээ энэ тохиолдолд өгөгдсөн язгуурын утгыг ядаж тодорхой тэмдэг хүртэл мэдэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд үндэсийг задлахын тулд та хүссэн тооны хангалттай тооны цифрүүдийн утгыг дараалан авах боломжийг олгодог алгоритмыг ашиглаж болно.

Энэхүү алгоритмын эхний алхам бол үндсэн утгын хамгийн чухал бит юу болохыг олж мэдэх явдал юм. Үүний тулд 0, 10, 100, ... тоонуудыг радикал тооноос хэтэрсэн тоо гарах хүртэл n зэрэглэлд дараалан өсгөнө. Дараа нь өмнөх үе шатанд бидний n зэрэглэлд хүргэсэн тоо нь харгалзах хамгийн чухал цифрийг заана.

Жишээлбэл, тавын язгуурыг гаргаж авахдаа алгоритмын энэ алхамыг анхаарч үзээрэй. 0, 10, 100, ... тоонуудыг аваад 5-аас их тоо гартал квадрат болго. Бидэнд 0 2 = 0 байна<5 , 10 2 =100>5, энэ нь хамгийн чухал цифр нь нэгийн орон байх болно гэсэн үг юм. Энэ битийн утгыг мөн доод утгыг үндэс олборлох алгоритмын дараагийн алхмуудаас олох болно.

Алгоритмын дараагийн бүх алхмууд нь язгуурын хүссэн утгын дараагийн битүүдийн утгыг олох замаар язгуурын утгыг дараалан тодруулахад чиглэгдэж, хамгийн дээдээс эхлээд хамгийн бага руу шилжих болно. Жишээлбэл, эхний алхамд язгуурын утга нь 2, хоёр дахь нь 2.2, гурав дахь нь - 2.23, гэх мэт 2.236067977 болж хувирдаг. Цифрүүдийн утгыг хэрхэн олохыг тайлбарлая.

0, 1, 2, ..., 9 гэсэн боломжит утгуудыг хайж олох замаар цифрүүдийг олно. Энэ тохиолдолд харгалзах тоонуудын n-р зэрэглэлийг зэрэгцүүлэн тооцож, тэдгээрийг радикал тоотой харьцуулна. Хэрэв зарим үе шатанд зэрэглэлийн утга нь радикал тооноос давсан бол өмнөх утгатай тохирох цифрийн утгыг олсон гэж үзэж, үндэс олборлох алгоритмын дараагийн алхам руу шилжинэ; хэрэв ийм зүйл болохгүй бол, тэгвэл энэ цифрийн утга 9 болно.

Тавын квадрат язгуурыг гаргаж авсан ижил жишээг ашиглан эдгээр цэгүүдийг тайлбарлая.

Эхлээд бид нэгжийн цифрийн утгыг олно. Бид 0, 1, 2, ..., 9 утгуудыг давж, 0 2, 1 2, ..., 9 2-ыг тооцоолж, 5-ын радикал тооноос их утгыг авах хүртлээ. Эдгээр бүх тооцоог хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэх нь тохиромжтой.

Тэгэхээр нэгжийн цифрийн утга нь 2 байна (2 2-оос хойш<5 , а 2 3 >5). Аравтын байрны утгыг олохоор үргэлжлүүлье. Энэ тохиолдолд бид 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 тоонуудыг квадрат болгож, үр дүнгийн утгыг радикал тоо 5-тай харьцуулна.

2.2 2 оноос хойш<5 , а 2,3 2 >5, дараа нь аравны орны утга 2 байна. Та зуутын байрны утгыг олохын тулд үргэлжлүүлж болно:

Ингэж тавын язгуурын дараагийн утгыг олсон нь 2.23-тай тэнцэнэ. Тиймээс та утгыг үргэлжлүүлэн олох боломжтой: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид авч үзсэн алгоритмыг ашиглан үндсийг зуутын нарийвчлалтайгаар задлан шинжлэх болно.

Эхлээд бид хамгийн чухал цифрийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид 0, 10, 100 гэх мэт тоонуудыг куб болгоно. Бид 2,151,186-аас их тоог авах хүртэл. Бидэнд 0 3 = 0 байна<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , тиймээс хамгийн чухал цифр нь аравтын орон юм.

Үүний үнэ цэнийг тодорхойлъё.

103 оноос хойш<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, тэгвэл аравтын орны утга 1 байна. Нэгж рүү шилжье.

Тиймээс нэгийн цифрийн утга нь 2 байна. Аравны нэг рүү шилжье.

12.9 3 ч гэсэн радикал тоо 2 151.186-аас бага тул аравдугаар байрны утга 9 байна. Энэ нь алгоритмын сүүлчийн алхамыг гүйцэтгэхэд л үлддэг бөгөөд энэ нь бидэнд язгуурын утгыг шаардлагатай нарийвчлалтайгаар өгөх болно.

Энэ үе шатанд язгуурын утгыг зуун хувь хүртэл нарийвчлалтай олно. .

Энэ нийтлэлийн төгсгөлд би үндсийг задлах өөр олон арга байдаг гэдгийг хэлмээр байна. Гэхдээ ихэнх даалгавруудын хувьд бидний дээр дурдсан ажлууд хангалттай.

Ном зүй.

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 8-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11 дүгээр ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Баримт 1.
\(\сум\) Сөрөг бус тоо \(a\) (өөрөөр хэлбэл \(a\geqslant 0\) ) авч үзье. Дараа нь (арифметик) квадрат язгуур\(a\) тооноос ийм сөрөг бус тоо гэж нэрлэгддэг \(b\) , квадрат нь бид \(a\) тоог авна: \[\sqrt a=b\quad \text(тай ижил)\quad a=b^2\]Тодорхойлолтоос харахад ийм байна \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Эдгээр хязгаарлалтууд нь квадрат язгуур оршин тогтнох чухал нөхцөл бөгөөд үүнийг санаж байх ёстой!
Дурын тоог квадрат болгоход сөрөг үр дүн өгдөг гэдгийг санаарай. Энэ нь \(100^2=10000\geqslant 0\) ба \((-100)^2=10000\geqslant 0\) гэсэн үг юм.
\(\сум\) \(\sqrt(25)\) хэдтэй тэнцүү вэ? \(5^2=25\) ба \((-5)^2=25\) гэдгийг бид мэднэ. Тодорхойлолтоор бид сөрөг бус тоог олох ёстой тул \(-5\) тохиромжгүй тул \(\sqrt(25)=5\) (\(25=5^2\) учир).
\(\sqrt a\)-ийн утгыг олохыг \(a\) тооны язгуур, \(a\) тоог радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.
\(\сум\) Тодорхойлолт дээр үндэслэн \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) гэх мэт илэрхийлэл. утгагүй.

Баримт 2.
Шуурхай тооцоолохын тулд \(1\) -ээс \(20\) хүртэлх натурал тоонуудын квадратуудын хүснэгтийг сурах нь ашигтай байх болно. \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(массив)\]

Баримт 3.
Та квадрат язгуураар ямар үйлдлүүдийг хийж болох вэ?
\(\сум\) Квадрат язгуурын нийлбэр эсвэл зөрүү нь нийлбэр эсвэл зөрүүний квадрат язгууртай ТЭНЦҮҮ БОЛОХГҮЙ, өөрөөр хэлбэл \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Тиймээс, хэрэв та жишээ нь \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) тооцоолох шаардлагатай бол эхлээд \(\sqrt(25)\) ба \(\) утгуудыг олох хэрэгтэй. sqrt(49)\ ) дараа нь нугалав. Тиймээс, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Хэрэв \(\sqrt a+\sqrt b\) нэмэх үед \(\sqrt a\) эсвэл \(\sqrt b\) утгууд олдохгүй байвал ийм илэрхийлэл цаашид өөрчлөгдөхгүй бөгөөд байгаагаараа л үлдэнэ. Жишээлбэл, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) нийлбэрээс бид \(\sqrt(49)\) нь \(7\)-г олох боловч \(\sqrt 2\)-г өөрчлөх боломжгүй. ямар ч байсан, ийм учраас л \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Харамсалтай нь энэ илэрхийллийг цаашид хялбарчлах боломжгүй юм\(\сум\) Квадрат язгуурын үржвэр/хэсэг нь үржвэр/хувийн квадрат язгууртай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (тэгш байдлын хоёр тал утга учиртай байх нөхцөлд)
Жишээ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\сум\) Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглан олон тооны квадрат язгуурыг хүчин зүйлээр ялгах замаар олоход тохиромжтой.
Нэг жишээ авч үзье. \(\sqrt(44100)\) -г олцгооё. \(44100:100=441\) тул \(44100=100\cdot 441\) . Хуваагдах шалгуурын дагуу \(441\) тоо нь \(9\)-д хуваагддаг (түүний цифрүүдийн нийлбэр нь 9 бөгөөд 9-д хуваагддаг тул) \(441:9=49\), өөрөөр хэлбэл, \(441=9\ cdot 49\) .
Тиймээс бид дараахь зүйлийг авсан. \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Өөр нэг жишээг харцгаая: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\сум\) \(5\sqrt2\) (\(5\cdot \sqrt2\) илэрхийллийн товч тэмдэглэгээ) илэрхийллийн жишээн дээр язгуур тэмдгийн доор тоо хэрхэн оруулахыг үзүүлье. \(5=\sqrt(25)\) тул \ Жишээлбэл,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Яагаад тэр вэ? Жишээ 1) ашиглан тайлбарлая. Таны ойлгосноор бид \(\sqrt2\) тоог ямар нэгэн байдлаар хувиргаж чадахгүй. \(\sqrt2\) нь \(a\) тоо гэж төсөөлье. Үүний дагуу \(\sqrt2+3\sqrt2\) илэрхийлэл нь \(a+3a\)-аас өөр юу ч биш (нэг тоо \(a\) дээр нэмэх нь ижил тооны өөр гурван \(a\)). Энэ нь ийм дөрвөн тоотой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ \(a\) , өөрөөр хэлбэл \(4\sqrt2\) .

Баримт 4.
\(\сум\) Тооны утгыг олоход язгуурын \(\sqrt () \ \) тэмдгийг арилгахгүй бол "үндэсийг гаргаж чадахгүй" гэж ихэвчлэн хэлдэг. . Жишээлбэл, та \(16\) тооны үндсийг авч болно, учир нь \(16=4^2\) , тиймээс \(\sqrt(16)=4\) . Гэхдээ \(3\) тооны үндсийг задлах, өөрөөр хэлбэл \(\sqrt3\) олох боломжгүй, учир нь квадрат нь \(3\) өгөх тоо байхгүй.
Ийм тоо (эсвэл ийм тоо бүхий илэрхийлэл) нь үндэслэлгүй юм. Жишээлбэл, тоонууд \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)гэх мэт. үндэслэлгүй юм.
Мөн \(\pi\) тоонууд ("пи", ойролцоогоор \(3.14\)-тэй тэнцүү), \(e\) тоонууд (энэ тоог Эйлерийн тоо гэж нэрлэдэг, энэ нь ойролцоогоор \(2.7)-тай тэнцүү байна. \)) гэх мэт.
\(\сум\) Аливаа тоо оновчтой эсвэл иррациональ байх болно гэдгийг анхаарна уу. Бүх рационал ба бүх иррационал тоонууд хамтдаа нэртэй олонлогийг бүрдүүлдэг бодит тоонуудын багц.Энэ олонлогийг \(\mathbb(R)\) үсгээр тэмдэглэнэ.
Энэ нь бидний одоо мэддэг бүх тоог бодит тоо гэж нэрлэдэг гэсэн үг юм.

Баримт 5.
\(\сум\) Бодит тооны \(a\) модуль нь \(a\) цэгээс \(0\) хүртэлх зайтай тэнцэх \(|a|\) сөрөг бус тоо юм. бодит шугам. Жишээлбэл, \(|3|\) ба \(|-3|\) нь 3-тай тэнцүү, учир нь \(3\) ба \(-3\) цэгээс \(0\) хүртэлх зай нь ижил ба тэнцүү \(3 \) .
\(\сум\) Хэрэв \(a\) нь сөрөг бус тоо бол \(|a|=a\) .
Жишээ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\сум\) Хэрэв \(a\) сөрөг тоо бол \(|a|=-a\) .
Жишээ: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Тэд сөрөг тоонуудын хувьд модуль нь хасахыг "иддэг" гэж хэлдэг бол эерэг тоо, мөн \(0\) тоо нь модулиар өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлддэг.
ГЭХДЭЭЭнэ дүрэм зөвхөн тоонд хамаарна. Хэрэв таны модулийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх \(x\) (эсвэл өөр ямар нэгэн үл мэдэгдэх) байвал эерэг, тэг эсвэл сөрөг аль нь болохыг бид мэдэхгүй \(|x|\) жишээлбэл, үүнийг арилга. модулийн хувьд бид чадахгүй. Энэ тохиолдолд энэ илэрхийлэл хэвээр байна: \(|x|\) . \(\сум\) Дараах томьёо агуулна: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\том((\sqrt(a))^2=a)), \text(өгөгдсөн ) a\geqslant 0\]Маш олон удаа дараах алдаа гардаг: тэд \(\sqrt(a^2)\) ба \((\sqrt a)^2\) нь нэг бөгөөд адилхан гэж хэлдэг. Энэ нь зөвхөн \(a\) эерэг тоо эсвэл тэг байвал үнэн болно. Гэхдээ хэрэв \(a\) сөрөг тоо бол энэ нь худал байна. Энэ жишээг авч үзэхэд хангалттай. \(a\)-ын оронд \(-1\) тоог авъя. Дараа нь \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , гэхдээ \((\sqrt (-1))^2\) илэрхийлэл огт байхгүй (эцсийн эцэст, Сөрөг тоог тавих үндэс тэмдгийг ашиглах боломжгүй!).
Тиймээс, \(\sqrt(a^2)\) нь \((\sqrt a)^2\) -тай тэнцүү биш гэдгийг бид анхаарлаа хандуулж байна!Жишээ: 1) \(\sqrt(\зүүн(-\sqrt2\баруун)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), учир нь \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\сум\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) тул \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) илэрхийлэл нь тэгш тоог илэрхийлдэг)
Өөрөөр хэлбэл, тодорхой хэмжээгээр байгаа тооны үндсийг авах үед энэ зэрэг нь хоёр дахин багасдаг.
Жишээ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (хэрэв модулийг өгөөгүй бол тооны үндэс нь \(-25\-тай тэнцүү болохыг анхаарна уу. ) ; гэхдээ бид язгуурын тодорхойлолтоор ийм зүйл болохгүй гэдгийг санаж байна: үндсийг задлахдаа бид үргэлж эерэг тоо эсвэл тэг авах ёстой)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ямар ч тэгш тоо сөрөг биш тул)

Баримт 6.
Хоёр квадрат язгуурыг хэрхэн харьцуулах вэ?
\(\сум\) Квадрат язгуурын хувьд энэ нь үнэн: хэрэв \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aЖишээ:
1) \(\sqrt(50)\) болон \(6\sqrt2\) . Эхлээд хоёр дахь илэрхийллийг хувиргацгаая \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Тиймээс \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) ямар бүхэл тоонуудын хооронд байрлах вэ?
Учир нь \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) болон \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) ба \(0.5\) -ийг харьцуулж үзье. \(\sqrt2-1>0.5\) гэж үзье: \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2-1>0.5 \ \том| +1\quad \text((хоёр талд нэгийг нэмнэ))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \том| \ ^2 \дөрвөлжин\текст((хоёр талыг дөрвөлжин))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Бид буруу тэгш бус байдлыг олж авснаа харж байна. Тиймээс бидний таамаг буруу байсан бөгөөд \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Тэгш бус байдлын хоёр талд тодорхой тоог нэмэх нь түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй гэдгийг анхаарна уу. Тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь мөн түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй, харин сөрөг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь тэгш бус байдлын тэмдгийг урвуу болгоно!
Та тэгшитгэл/тэгш бус байдлын хоёр талыг ЗӨВХӨН хоёр тал нь сөрөг биш байвал квадрат болгож болно. Жишээлбэл, өмнөх жишээний тэгш бус байдалд та хоёр талыг квадрат болгож болно, тэгш бус байдалд \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\сум\) Үүнийг санах хэрэгтэй \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2\ойролцоогоор 1.4\\ &\sqrt 3\ойролцоогоор 1.7 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Эдгээр тоонуудын ойролцоо утгыг мэдэх нь тоонуудыг харьцуулахдаа танд тусална! \(\сум\) Дөрвөлжингийн хүснэгтэд байхгүй зарим нэг их тооноос үндсийг (хэрэв гаргаж авах боломжтой бол) гаргаж авахын тулд эхлээд аль “зуут”-ын хооронд, дараа нь аль “зууны хооронд байрлаж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. хэдэн арван", дараа нь энэ тооны сүүлийн цифрийг тодорхойлно. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг жишээгээр харуулъя.
\(\sqrt(28224)\) -г авч үзье. \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) гэх мэтийг бид мэднэ. \(28224\) нь \(10\,000\) болон \(40\,000\) хооронд байгааг анхаарна уу. Тиймээс \(\sqrt(28224)\) нь \(100\) болон \(200\) хооронд байна.
Одоо бидний тоо аль "аравтын" хооронд байрлаж байгааг тодорхойлъё (жишээлбэл, \(120\) ба \(130\) хооронд). Мөн квадратуудын хүснэгтээс бид \(11^2=121\) , \(12^2=144\) гэх мэт, дараа нь \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Тиймээс бид \(28224\) нь \(160^2\) болон \(170^2\) хооронд байгааг харж байна. Тиймээс \(\sqrt(28224)\) тоо \(160\) болон \(170\) хооронд байна.
Сүүлийн цифрийг тодорхойлохыг хичээцгээе. Ямар нэг оронтой тоонуудын квадрат нь төгсгөлд нь \(4\) өгдөг гэдгийг санацгаая? Эдгээр нь \(2^2\) ба \(8^2\) юм. Тиймээс \(\sqrt(28224)\) нь 2 эсвэл 8-аар төгсөх болно. Үүнийг шалгая. \(162^2\) ба \(168^2\)-г олъё:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Тиймээс \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг зохих ёсоор шийдвэрлэхийн тулд та эхлээд олон тооны теорем, томъёо, алгоритм гэх мэт онолын материалыг судлах хэрэгтэй. Өнгөц харахад энэ нь маш энгийн мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын онолыг ямар ч түвшний сургалттай оюутнуудад хялбар, ойлгомжтой байдлаар харуулсан эх сурвалжийг олох нь үнэндээ нэлээд хэцүү ажил юм. Сургуулийн сурах бичгийг үргэлж гартаа байлгаж болохгүй. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын үндсэн томъёог олох нь интернетээс ч хэцүү байж болно.

Математикийн чиглэлээр онолыг судлах нь яагаад зөвхөн Улсын нэгдсэн шалгалт өгдөг хүмүүст тийм чухал байдаг вэ?

1. Учир нь энэ нь таны алсын харааг тэлж өгдөг. Математикийн онолын материалыг судлах нь хүрээлэн буй ертөнцийн талаарх мэдлэгтэй холбоотой өргөн хүрээний асуултын хариултыг авахыг хүссэн хэн бүхэнд хэрэгтэй. Байгаль дээрх бүх зүйл эмх цэгцтэй, тодорхой логиктой байдаг. Энэ нь шинжлэх ухаанд яг тодорхой тусгагдсан зүйл бөгөөд үүгээр дамжуулан ертөнцийг ойлгох боломжтой юм.
2. Учир нь энэ нь оюун ухааныг хөгжүүлдэг. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын лавлагаа материалыг судалж, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх замаар хүн логикоор сэтгэж, сэтгэж, бодлоо чадварлаг, тодорхой боловсруулж сурдаг. Тэрээр дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлдэг.

Боловсролын материалыг системчлэх, танилцуулах арга барилын бүх давуу талыг биечлэн үнэлэхийг бид урьж байна.

Асуудлыг шийдэхдээ бид маш олон тоотой тулгардаг бөгөөд үүнээс гаргаж авах шаардлагатай байдаг Квадрат язгуур. Олон оюутнууд үүнийг алдаа гэж үзээд бүх жишээг дахин шийдэж эхэлдэг. Ямар ч тохиолдолд та үүнийг хийж болохгүй! Үүнд хоёр шалтгаан бий:

1. Олон тооны үндэс нь асуудалд гарч ирдэг. Ялангуяа текстэнд;
2. Эдгээр үндсийг бараг амаар тооцдог алгоритм байдаг.

Өнөөдөр бид энэ алгоритмыг авч үзэх болно. Магадгүй зарим зүйл танд ойлгомжгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ хэрэв та энэ хичээлд анхаарлаа хандуулбал эсрэг хүчтэй зэвсэг авах болно квадрат үндэс.

Тиймээс, алгоритм:

1. Шаардлагатай язгуурыг 10-ын үржвэртэй тоогоор дээд ба доор хязгаарлана. Тиймээс бид хайлтын хүрээг 10 тоо болгон багасгах болно;
2. Эдгээр 10 тооноос үндэс болж чадахгүйг нь хас. Үүний үр дүнд 1-2 тоо үлдэх болно;
3. Эдгээр 1-2 тоог квадрат. Квадрат нь анхны тоотой тэнцүү бол язгуур болно.

Энэ алгоритмыг хэрэгжүүлэхийн өмнө алхам бүрийг тус тусад нь авч үзье.

Үндэс хязгаарлалт

Юуны өмнө бидний үндэс аль тоонуудын хооронд байрлаж байгааг олж мэдэх хэрэгтэй. Тоонууд нь аравын үржвэр байх нь зүйтэй.

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Бид хэд хэдэн тоо авдаг:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Эдгээр тоо бидэнд юу хэлж байна вэ? Энэ нь энгийн: бид хил хязгаарыг олж авдаг. Жишээлбэл, 1296 тоог ав. Энэ нь 900-аас 1600-ийн хооронд байна. Тиймээс түүний үндэс нь 30-аас бага, 40-өөс их байж болохгүй.

[Зургийн тайлбар]

Үүнтэй ижил зүйл нь квадрат язгуурыг олох боломжтой бусад тоонуудад хамаарна. Жишээлбэл, 3364:

[Зургийн тайлбар]

Тиймээс, үл ойлгогдох тооны оронд бид анхны үндэс байрладаг маш тодорхой мужийг олж авдаг. Хайлтын талбарыг улам нарийсгахын тулд хоёр дахь алхам руу шилжинэ үү.

Шаардлагагүй тоонуудыг арилгах

Тиймээс, бидэнд 10 тоо байна - үндэстэнд нэр дэвшигчид. Бид тэдгээрийг маш хурдан, нарийн төвөгтэй сэтгэхүй, багананд үржүүлэхгүйгээр олж авсан. Одоо цааш явах цаг боллоо.

Итгэнэ үү, үгүй ​​юу, бид одоо нэр дэвшигчдийн тоог хоёр болгон бууруулна - дахин ямар ч төвөгтэй тооцоололгүйгээр! Тусгай дүрмийг мэдэхэд хангалттай. Энэ байна:

Дөрвөлжингийн сүүлийн цифр нь зөвхөн сүүлийн цифрээс хамаарна анхны дугаар.

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжингийн сүүлийн цифрийг харахад л бид анхны дугаар хаана дуусдагийг шууд ойлгох болно.

Сүүлийн байранд орох 10 оронтой л тоо байна. Тэднийг квадрат болгоход юу болж хувирдагийг олж мэдэхийг хичээцгээе. Хүснэгтийг харна уу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Энэ хүснэгт нь үндсийг тооцоолох өөр нэг алхам юм. Таны харж байгаагаар хоёр дахь мөрөнд байгаа тоонууд тавтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Жишээлбэл:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Таны харж байгаагаар сүүлийн цифр нь хоёр тохиолдолд ижил байна. Энэ нь жишээлбэл, 3364-ийн үндэс нь 2 эсвэл 8-аар төгсөх ёстой гэсэн үг юм. Нөгөө талаас бид өмнөх догол мөрийн хязгаарлалтыг санаж байна. Бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Улаан дөрвөлжин нь бид энэ тоог хараахан мэдэхгүй байгааг харуулж байна. Гэхдээ үндэс нь 50-аас 60 хүртэлх мужид байрладаг бөгөөд 2 ба 8-аар төгссөн хоёр тоо л байна.

[Зургийн тайлбар]

Тэгээд л болоо! Бүх боломжит үндэсүүдээс бид зөвхөн хоёр сонголтыг үлдээсэн! Мөн энэ нь хамгийн хэцүү тохиолдолд юм, учир нь сүүлийн орон нь 5 эсвэл 0 байж болно. Тэгээд дараа нь үндэс нь зөвхөн нэг нэр дэвшигч байх болно!

Эцсийн тооцоолол

Ингээд 2 нэр дэвшигчийн дугаар үлдлээ. Аль нь үндэс болохыг яаж мэдэх вэ? Хариулт нь тодорхой байна: хоёуланг нь квадрат. Анхны тоог квадрат болгож өгсөн нь язгуур болно.

Жишээлбэл, 3364 дугаарын хувьд бид 52 ба 58 гэсэн хоёр нэр дэвшигчийн тоог олсон. Тэднийг квадрат болгоё:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Тэгээд л болоо! Үндэс нь 58 гэдэг нь тогтоогдсон! Үүний зэрэгцээ тооцооллыг хялбарчлахын тулд би нийлбэр ба зөрүүний квадратуудын томъёог ашигласан. Үүний ачаар би тоонуудыг багана болгон үржүүлэх шаардлагагүй болсон! Энэ бол тооцооллын оновчлолын өөр түвшин боловч мэдээжийн хэрэг энэ нь бүрэн сонголттой :)

Үндэсийг тооцоолох жишээ

Онол бол мэдээж сайн. Гэхдээ практик дээр үүнийг шалгаж үзье.

[Зургийн тайлбар]

Эхлээд 576 тоо аль тоонуудын хооронд байгааг олж мэдье.

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Одоо сүүлчийн тоог харцгаая. Энэ нь 6-тай тэнцүү. Энэ нь хэзээ тохиолддог вэ? Зөвхөн язгуур нь 4 эсвэл 6-аар төгссөн бол бид хоёр тоог авна.

Үлдсэн зүйл бол тоо бүрийг квадрат болгож, анхныхтай нь харьцуулах явдал юм.

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Агуу их! Эхний дөрвөлжин нь анхны тоотой тэнцүү болж хувирав. Тэгэхээр энэ бол үндэс юм.

Даалгавар. Квадрат язгуурыг тооцоолох:

[Зургийн тайлбар]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Сүүлийн цифрийг харцгаая:

1369 → 9;
33; 37.

Үүнийг квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Хариулт нь энд байна: 37.

Даалгавар. Квадрат язгуурыг тооцоолох:

[Зургийн тайлбар]

Бид тоог хязгаарладаг:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Сүүлийн цифрийг харцгаая:

2704 → 4;
52; 58.

Үүнийг квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Бид хариулт авсан: 52. Хоёр дахь тоог цаашид квадрат болгох шаардлагагүй болно.

Даалгавар. Квадрат язгуурыг тооцоолох:

[Зургийн тайлбар]

Бид тоог хязгаарладаг:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Сүүлийн цифрийг харцгаая:

4225 → 5;
65.

Таны харж байгаагаар, хоёр дахь алхамын дараа зөвхөн нэг сонголт үлдсэн: 65. Энэ бол хүссэн үндэс юм. Гэхдээ үүнийг квадрат болгож, шалгацгаая:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Бүх зүйл зөв. Бид хариултаа бичнэ.

Дүгнэлт

Харамсалтай нь, илүү сайн зүйл алга. Шалтгаануудыг авч үзье. Тэдгээрийн хоёр нь байна:

• Улсын шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалт гэх мэт ердийн математикийн шалгалтанд тооны машин ашиглахыг хориглоно. Хэрэв та ангидаа тооны машин авчирвал шалгалтаас амархан хөөгдөж болно.
• Битгий тэнэг америкчууд шиг бай. Үндэстэй адилгүй - тэд хоёр анхны тоог нэмж чадахгүй. Мөн тэд бутархайг хараад ерөнхийдөө гистерик болдог.

Тооцоологчоос өмнө оюутнууд, багш нар квадрат язгуурыг гараар тооцдог байв. Тооны квадрат язгуурыг гараар тооцоолох хэд хэдэн арга байдаг. Тэдний зарим нь зөвхөн ойролцоо шийдлийг санал болгодог бол зарим нь яг тодорхой хариулт өгдөг.

Алхам

Ерөнхий хүчин зүйлчлэл

Радикал тоог квадрат тоо болгон үржүүл.Радикал тооноос хамааран та ойролцоогоор эсвэл тодорхой хариулт авах болно. Квадрат тоо нь бүхэл язгуурыг авч болох тоонууд юм. Хүчин зүйл нь үржүүлснээр анхны тоог өгдөг тоо юм. Жишээлбэл, 8-ын тооны хүчин зүйлүүд нь 2 ба 4, 2 x 4 = 8 тул 25, 36, 49 тоо нь квадрат тоо, учир нь √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадрат хүчин зүйлүүд хүчин зүйлүүд бөгөөд эдгээр нь квадрат тоо юм. Нэгдүгээрт, радикал тоог квадрат хүчин зүйл болгон хуваахыг хичээ.

• Жишээлбэл, 400-ийн квадрат язгуурыг (гараар) тооцоол. Эхлээд 400-г квадрат хүчин зүйл болгон хуваахыг хичээ. 400 нь 100-ын үржвэр, өөрөөр хэлбэл 25-т хуваагддаг - энэ бол квадрат тоо юм. 400-г 25-д хуваахад 16 гарна. 16 гэсэн тоо ч мөн адил квадрат тоо юм. Тиймээс 400-ийг 25 ба 16-ийн квадрат хүчин зүйл болгон, өөрөөр хэлбэл 25 x 16 = 400 гэж тооцож болно.
• Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно: √400 = √(25 x 16).

1. Зарим гишүүний үржвэрийн квадрат язгуур нь гишүүн бүрийн квадрат язгуурын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл √(a x b) = √a x √b. Энэ дүрмийг ашиглан квадрат хүчин зүйл бүрийн квадрат язгуурыг авч, хариултыг олохын тулд үр дүнг үржүүл.

   • Бидний жишээнд 25 ба 16-ын үндсийг ав.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Хэрэв радикал тоо нь хоёр квадрат хүчин зүйлд хамаарахгүй бол (мөн энэ нь ихэнх тохиолдолд тохиолддог) та бүхэл тоо хэлбэрээр тодорхой хариултыг олох боломжгүй болно. Гэхдээ та радикал тоог квадрат хүчин зүйл болон энгийн хүчин зүйл (бүхэл квадрат язгуурыг авч болохгүй тоо) болгон задлах замаар асуудлыг хялбарчилж болно. Дараа нь та квадрат хүчин зүйлийн язгуурыг авч, нийтлэг хүчин зүйлийн үндсийг авна.

   • Жишээ нь: 147 тооны квадрат язгуурыг тооцоол. 147 тоог хоёр квадрат хүчин зүйлд хуваах боломжгүй, харин 49 ба 3 гэсэн хүчин зүйлүүдэд хуваах боломжтой. Бодлогыг дараах байдлаар шийд.
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Шаардлагатай бол язгуурын утгыг тооцоол.Одоо та язгуурын утгыг (ойролцоогоор утгыг олох) радикал тоонд хамгийн ойрхон (тооны шугамын хоёр талд) байгаа квадрат тоонуудын язгуурын утгатай харьцуулж тооцоолж болно. Та язгуур утгыг аравтын бутархай хэлбэрээр хүлээн авах бөгөөд үүнийг үндсэн тэмдгийн ард байгаа тоогоор үржүүлэх ёстой.

   • Өөрийнхөө жишээ рүү буцъя. Радикал тоо нь 3. Түүнтэй хамгийн ойрхон квадрат тоонууд нь 1 (√1 = 1) ба 4 (√4 = 2) тоонууд байх болно. Тиймээс √3-ийн утга 1-ээс 2-ын хооронд байрлана. √3-ийн утга 1-ээс 2-той ойролцоо байх магадлалтай тул бидний тооцоолсноор: √3 = 1.7. Бид энэ утгыг үндсэн тэмдгийн тоогоор үржүүлнэ: 7 x 1.7 = 11.9. Хэрэв та тооцоолуур дээр тооцоо хийвэл 12.13 оноо авах болно, энэ нь бидний хариулттай ойролцоо байна.
     • Энэ арга нь бас их тоотой ажилладаг. Жишээлбэл, √35-ыг авч үзье. Радикал тоо нь 35. Түүнтэй хамгийн ойр дөрвөлжин тоонууд нь 25 (√25 = 5) ба 36 (√36 = 6) тоонууд байх болно. Тиймээс √35-ийн утга нь 5-6-ийн хооронд байрлана. √35-ийн утга нь 5-аас 6-д хамаагүй ойр (учир нь 35 нь 36-аас 1-ээр бага) тул √35 нь 6-аас арай бага гэж хэлж болно. Тооны машиныг шалгаад 5.92 гэсэн хариултыг өгдөг - бидний зөв байсан.

4. Өөр нэг арга бол радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм.Анхны хүчин зүйлүүд нь зөвхөн 1 болон өөрт хуваагддаг тоонууд юм. Анхны хүчин зүйлсийг цувралаар бичиж, ижил хүчин зүйлүүдийн хосыг ол. Ийм хүчин зүйлийг үндсэн тэмдгээс гаргаж авч болно.

   • Жишээлбэл, 45-ын квадрат язгуурыг тооцоол. Бид радикал тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваана: 45 = 9 x 5, 9 = 3 x 3. Тиймээс √45 = √(3 x 3 x 5). 3-ыг үндсэн тэмдэг болгон авч болно: √45 = 3√5. Одоо бид √5 гэж тооцоолж болно.
   • Өөр нэг жишээг харцгаая: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Та 2-ын гурван үржүүлэгчийг хүлээн авсан; хоёрыг нь аваад үндсэн тэмдгээс цааш хөдөлгө.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Одоо та √2 ба √11-ийг үнэлж, ойролцоо хариултыг олох боломжтой.

   Квадрат язгуурыг гараар тооцоолох

   Урт хуваалтыг ашиглах

   1. Энэ арга нь урт хуваахтай төстэй үйл явцыг хамардаг бөгөөд үнэн зөв хариултыг өгдөг.Эхлээд хуудсыг хоёр хагас болгон хуваах босоо шугамыг зурж, дараа нь хуудасны дээд ирмэгээс баруун тийш, бага зэрэг доош босоо шугам руу хэвтээ шугам зурна. Одоо аравтын бутархайн бутархай хэсгээс эхлэн радикал тоог хос тоонд хуваа. Тэгэхээр 79520789182.47897 дугаарыг "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" гэж бичсэн байна.

      • Жишээлбэл, 780.14 тооны квадрат язгуурыг тооцоолъё. Хоёр зураас зураад (зурагт үзүүлсэн шиг) өгөгдсөн тоог зүүн дээд талд “7 80, 14” хэлбэрээр бичнэ. Зүүн талын эхний цифр нь хосгүй цифр байх нь хэвийн үзэгдэл юм. Та хариултыг (энэ тооны үндэс) баруун дээд буланд бичнэ.

   2. Зүүн талын эхний хос тооны (эсвэл ганц тоо) хувьд квадрат нь тухайн хос тооноос (эсвэл ганц тооноос) бага буюу тэнцүү байх хамгийн том n бүхэл тоог ол. Өөрөөр хэлбэл, зүүн талын эхний хос тоонд (эсвэл ганц тоо) хамгийн ойр, гэхдээ түүнээс бага квадрат тоог олоод, тэр квадрат тооны язгуурыг авна; та n тоог авах болно. Баруун дээд талд олсон n-ийг, баруун доод талд n-ийн квадратыг бич.

      • Манай тохиолдолд зүүн талын эхний тоо 7. Дараа нь 4 байна< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Зүүн талд байгаа эхний хос тооноос (эсвэл ганц тоо) сая олсон n тооны квадратыг хас.Тооцооллын үр дүнг хасах (n тооны квадрат) доор бичнэ.

      • Бидний жишээн дээр 7-оос 4-ийг хасаад 3-ыг авна.

   4. Хоёр дахь хос тоог буулгаж, өмнөх алхамд олж авсан утгын хажууд бичнэ үү.Дараа нь баруун дээд талд байгаа тоог хоёр дахин нэмээд үр дүнг баруун доод талд "_×_=" нэмээд бичнэ үү.

      • Бидний жишээн дээр хоёр дахь хос тоо нь "80" юм. 3-ын ард "80" гэж бичнэ. Дараа нь баруун дээд талд байгаа тоог хоёр дахин хийвэл 4 гарна. Баруун доод талд "4_×_=" гэж бичнэ.

   5. Баруун талд байгаа хоосон зайг бөглөнө үү.

      • Манай тохиолдолд зураасны оронд 8-ын тоог тавьбал 48 х 8 = 384, энэ нь 380-аас их байна. Тиймээс 8 нь хэтэрхий том тоо боловч 7 нь тохирох болно. Зураасны оронд 7 гэж бичээд авна уу: 47 x 7 = 329. Баруун дээд талд 7 гэж бичнэ үү - энэ нь 780.14 тооны хүссэн квадрат язгуурын хоёр дахь орон юм.

   6. Зүүн талд байгаа одоогийн тооноос гарсан тоог хас.Өмнөх алхамын үр дүнг зүүн талын одоогийн дугаарын доор бичээд зөрүүг олж, хасалтын дор бичнэ.

      • Бидний жишээнд 380-аас 329-ийг хасвал 51-тэй тэнцэнэ.

   7. 4-р алхамыг давт.Хэрэв шилжүүлж буй хос тоо нь анхны тооны бутархай хэсэг бол баруун дээд буланд шаардлагатай квадрат язгуурт бүхэл ба бутархай хэсгүүдийн хооронд тусгаарлах (таслал) тавина. Зүүн талд дараагийн хос тоог буулгана уу. Баруун дээд талд байгаа тоог хоёр дахин нэмээд үр дүнг баруун доод талд "_×_=" нэмээд бичнэ үү.

      • Бидний жишээн дээр хасагдах дараагийн хос тоо нь 780.14 тооны бутархай хэсэг байх тул баруун дээд талд хүссэн квадрат язгуурт бүхэл болон бутархай хэсгүүдийн тусгаарлагчийг байрлуулна. 14-ийг буулгаж, зүүн доод талд бичнэ үү. Баруун дээд талд (27) давхардсан тоо 54 тул баруун доод талд "54_×_=" гэж бичнэ.

   8. 5 ба 6-р алхамуудыг давтана уу.Баруун талын зураасны оронд хамгийн их тоог ол (зураасны оронд ижил тоог орлуулах шаардлагатай) үржүүлгийн үр дүн нь зүүн талд байгаа одоогийн тооноос бага буюу тэнцүү байх болно.

      • Бидний жишээнд 549 x 9 = 4941 байгаа нь зүүн талд байгаа одоогийн тооноос бага (5114). Баруун дээд талд 9 гэж бичээд зүүн талд байгаа одоогийн тооноос үржүүлгийн үр дүнг хасна: 5114 - 4941 = 173.

   9. Хэрэв та язгуурын аравтын бутархайг олох шаардлагатай бол одоогийн тооны зүүн талд хэд хэдэн тэг бичээд 4, 5, 6-р алхмуудыг давтана уу. Хариултын нарийвчлалыг (аравтын бутархайн тоо) авах хүртэл алхмуудыг давтана уу. хэрэгтэй.

   Үйл явцыг ойлгох

   Энэ аргыг эзэмшихийн тулд та S квадратын талбайн язгуурыг олох шаардлагатай тоог төсөөлөөд үз дээ. Энэ тохиолдолд та ийм дөрвөлжингийн L талын уртыг хайж олох болно. Бид L-ийн утгыг L² = S байхаар тооцоолно.

   Хариулт дээрх тоо бүрт үсэг өгнө үү. L-ийн утгын эхний цифрийг (хүссэн квадрат язгуур) А-аар тэмдэглэе. B нь хоёр дахь цифр, C нь гурав дахь гэх мэт.

   Эхний цифрүүдийн хос бүрт үсэг зааж өгнө үү. S-ийн утгын эхний хос цифрийг S a, хоёр дахь хос цифрийг S b гэх мэтээр тэмдэглэе.

   Энэ арга болон урт хуваагдлын хоорондын уялдаа холбоог ойлгоорой.Бид хуваах тоондоо зөвхөн дараагийн цифрийг л сонирхдог хуваалтын нэгэн адил квадрат язгуурыг тооцоолохдоо бид хос цифрийг дарааллаар нь (квадрат язгуурын утгын дараагийн нэг цифрийг авахын тулд) хийдэг. ).

   1. S тооны эхний хос Sa цифрийг (бидний жишээнд Sa = 7) авч үзээд квадрат язгуурыг ол.Энэ тохиолдолд, хүссэн квадрат язгуур утгын эхний А цифр нь квадрат нь S a-аас бага буюу тэнцүү цифр байх болно (өөрөөр хэлбэл бид A-г хайж байгаа бөгөөд A² ≤ Sa тэгш бус байдал үүсэх болно.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • 88962-ыг 7-д хуваах хэрэгтэй гэж бодъё; Энд эхний алхам нь ижил төстэй байх болно: бид 88962 (8) хуваагдах тооны эхний цифрийг авч үзээд 7-оор үржүүлэхэд 8-аас бага буюу тэнцүү утгыг өгөх хамгийн том тоог сонгоно. Өөрөөр хэлбэл, бид хайж байна. Тэгш бус байдал үнэн байх d тоо: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Талбайг нь тооцоолох шаардлагатай дөрвөлжин талбайг оюун ухаанаараа төсөөлөөд үз дээ.Та L-г хайж байна, өөрөөр хэлбэл талбай нь S-тэй тэнцүү квадратын хажуугийн уртыг хайж байна. A, B, C нь L тооны тоонууд юм. Та үүнийг өөрөөр бичиж болно: 10A + B = L (for хоёр оронтой тоо) эсвэл 100A + 10B + C = L (гурван оронтой тооны хувьд) гэх мэт.

      • Болъё (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B нь B цифр нь нэгжийг, А цифр нь аравыг илэрхийлдэг тоо гэдгийг санаарай. Жишээлбэл, A=1, B=2 бол 10A+B нь 12-той тэнцүү байна. (10A+B)²бүх талбайн талбай, 100А²- том дотоод талбайн талбай, B²- жижиг дотоод дөрвөлжин талбай, 10A×B- хоёр тэгш өнцөгт бүрийн талбай. Тайлбарласан дүрсүүдийн талбайг нэмснээр та анхны квадратын талбайг олох болно.