Ir pienācis laiks to sakārtot sakņu ekstrakcijas metodes. Tie ir balstīti uz sakņu īpašībām, jo ​​īpaši uz vienādību, kas attiecas uz jebkuru nenegatīvu skaitli b.

Tālāk mēs apskatīsim galvenās sakņu iegūšanas metodes pa vienam.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu – sakņu izvilkšanu no naturāliem skaitļiem, izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Ja kvadrātu, kubu u.c. Ja jums tā nav, ir loģiski izmantot saknes iegūšanas metodi, kas ietver radikālā skaitļa sadalīšanu primārajos faktoros.

Ir vērts īpaši pieminēt to, kas ir iespējams saknēm ar nepāra eksponentiem.

Visbeidzot, apskatīsim metodi, kas ļauj secīgi atrast saknes vērtības ciparus.

Sāksim.

Izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Vienkāršākajos gadījumos kvadrātu, kubu utt tabulas ļauj iegūt saknes. Kas ir šīs tabulas?

Veselu skaitļu kvadrātu tabula no 0 līdz 99 (ieskaitot) sastāv no divām zonām. Tabulas pirmā zona atrodas uz pelēka fona, atlasot konkrētu rindu un konkrētu kolonnu, tā ļauj sastādīt skaitli no 0 līdz 99. Piemēram, atlasīsim 8 desmitu rindu un 3 vienību kolonnu, ar to mēs nofiksējām skaitli 83. Otrā zona aizņem pārējo tabulu. Katra šūna atrodas noteiktas rindas un noteiktas kolonnas krustpunktā, un tajā ir atbilstošā skaitļa kvadrāts no 0 līdz 99. Mūsu izvēlētās 8 desmitnieku rindas un vieninieku 3. kolonnas krustpunktā ir šūna ar skaitli 6889, kas ir skaitļa 83 kvadrāts.

Kubu tabulas, skaitļu ceturtās pakāpes tabulas no 0 līdz 99 un tā tālāk ir līdzīgas kvadrātu tabulai, tikai tajās otrajā zonā ir kubi, ceturtie pakāpju utt. atbilstošos skaitļus.

Kvadrātu, kubu, ceturto pakāpju tabulas utt. ļauj iegūt kvadrātsaknes, kubsaknes, ceturtās saknes utt. attiecīgi no skaitļiem šajās tabulās. Paskaidrosim to izmantošanas principu, ekstrahējot saknes.

Pieņemsim, ka mums ir jāizvelk skaitļa a n-tā sakne, savukārt skaitlis a ir ietverts n-to pakāpju tabulā. Izmantojot šo tabulu, mēs atrodam skaitli b tādu, ka a=b n. Tad , tāpēc skaitlis b būs vēlamā n-tās pakāpes sakne.

Kā piemēru parādīsim, kā izmantot kuba tabulu, lai izvilktu 19 683 kuba sakni. Mēs atrodam kubu tabulā skaitli 19 683, no tā secinām, ka šis skaitlis ir skaitļa 27 kubs, tāpēc .

Ir skaidrs, ka n-to pakāpju tabulas ir ļoti ērtas sakņu iegūšanai. Taču tās bieži vien nav pa rokai, un to sastādīšana prasa zināmu laiku. Turklāt bieži vien ir nepieciešams iegūt saknes no skaitļiem, kas nav ietverti attiecīgajās tabulās. Šādos gadījumos jums ir jāizmanto citas sakņu ekstrakcijas metodes.

Radikālā skaitļa faktorēšana primārajos faktoros

Diezgan ērts veids, kā iegūt naturālā skaitļa sakni (ja, protams, sakne ir iegūta), ir radikālā skaitļa sadalīšana pirmfaktoros. Viņa būtība ir tāda: pēc tam to ir diezgan viegli attēlot kā pakāpju ar vēlamo eksponentu, kas ļauj iegūt saknes vērtību. Precizēsim šo punktu.

Ņemsim naturāla skaitļa a n-to sakni un tā vērtību vienādu ar b. Šajā gadījumā vienādība a=b n ir patiesa. Skaitli b, tāpat kā jebkuru naturālu skaitli, var attēlot kā visu tā pirmfaktoru p 1 , p 2 , …, p m reizinājumu formā p 1 ·p 2 ·…·p m , un šajā gadījumā radikālo skaitli a ir attēlots kā (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Tā kā skaitļa sadalīšana pirmfaktoros ir unikāla, tad radikālā skaitļa a sadalīšanai pirmfaktoros būs forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, kas ļauj aprēķināt saknes vērtību. kā .

Ņemiet vērā, ka, ja radikāla skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros nevar attēlot formā (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tad šāda skaitļa a n-tā sakne nav pilnībā izdalīta.

Noskaidrosim to, risinot piemērus.

Piemērs.

Paņemiet kvadrātsakni no 144.

Risinājums.

Ja paskatās uz iepriekšējā rindkopā doto kvadrātu tabulu, var skaidri redzēt, ka 144 = 12 2, no kura ir skaidrs, ka kvadrātsakne no 144 ir vienāda ar 12.

Bet, ņemot vērā šo punktu, mēs esam ieinteresēti, kā sakne tiek iegūta, sadalot radikālo skaitli 144 primārajos faktoros. Apskatīsim šo risinājumu.

Sadalīsimies 144 uz galvenajiem faktoriem:

Tas ir, 144=2·2·2·2·3·3. Pamatojoties uz iegūto sadalīšanos, var veikt šādas pārvērtības: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Tāpēc .

Izmantojot pakāpes īpašības un sakņu īpašības, risinājumu varētu formulēt nedaudz savādāk: .

Atbilde:

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet risinājumus vēl diviem piemēriem.

Piemērs.

Aprēķiniet saknes vērtību.

Risinājums.

Radikālā skaitļa 243 pirmfaktorizācijai ir forma 243=3 5 . Tādējādi .

Atbilde:

Piemērs.

Vai saknes vērtība ir vesels skaitlis?

Risinājums.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, sarēķināsim radikālo skaitli primārajos faktoros un noskaidrosim, vai to var attēlot kā vesela skaitļa kubu.

Mums ir 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Iegūto izvērsumu nevar attēlot kā vesela skaitļa kubu, jo pirmfaktora 7 jauda nav reizināts ar trīs. Tāpēc 285 768 kuba sakni nevar iegūt pilnībā.

Atbilde:

Nē.

Sakņu iegūšana no daļskaitļiem

Ir pienācis laiks izdomāt, kā iegūt daļskaitļa sakni. Daļējo radikāļu skaitli raksta kā p/q. Saskaņā ar koeficienta saknes īpašību šāda vienādība ir patiesa. No šīs vienlīdzības izriet noteikums frakcijas saknes iegūšanai: Daļas sakne ir vienāda ar skaitītāja saknes koeficientu, kas dalīts ar saucēja sakni.

Apskatīsim piemēru saknes iegūšanai no frakcijas.

Piemērs.

Kāda ir kvadrātsakne no parastās daļdaļas 25/169?

Risinājums.

Izmantojot kvadrātu tabulu, mēs atklājam, ka sākotnējās daļas skaitītāja kvadrātsakne ir vienāda ar 5, bet saucēja kvadrātsakne ir vienāda ar 13. Tad . Tas pabeidz parastās frakcijas 25/169 saknes ekstrakciju.

Atbilde:

Decimāldaļskaitļa vai jaukta skaitļa sakne tiek iegūta pēc radikālo skaitļu aizstāšanas ar parastajām daļām.

Piemērs.

Ņem decimāldaļas 474.552 kubsakni.

Risinājums.

Iedomāsimies sākotnējo decimāldaļskaitli kā parastu daļskaitli: 474.552=474552/1000. Tad . Atliek izvilkt kuba saknes, kas atrodas iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā. Jo 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 un 1 000 = 10 3, tad Un . Atliek tikai pabeigt aprēķinus .

Atbilde:

.

Negatīvā skaitļa saknes ņemšana

Ir vērts pakavēties pie sakņu iegūšanas no negatīviem skaitļiem. Pētot saknes, mēs teicām, ka, ja saknes eksponents ir nepāra skaitlis, tad zem saknes zīmes var būt negatīvs skaitlis. Mēs piešķīrām šiem ierakstiem šādu nozīmi: negatīvam skaitlim −a un nepāra eksponentam saknes 2 n−1, . Šī vienlīdzība dod noteikums nepāra sakņu iegūšanai no negatīviem skaitļiem: lai iegūtu negatīva skaitļa sakni, jāņem pretējā pozitīvā skaitļa sakne un rezultāta priekšā jāievieto mīnusa zīme.

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet saknes vērtību.

Risinājums.

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi tā, lai zem saknes zīmes būtu pozitīvs skaitlis: . Tagad jaukto skaitli aizstāj ar parastu daļskaitli: . Mēs izmantojam noteikumu parastās daļskaitļa saknes iegūšanai: . Atliek aprēķināt saknes iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā: .

Šeit ir īss risinājuma kopsavilkums: .

Atbilde:

.

Saknes vērtības bitu noteikšana

Vispārīgā gadījumā zem saknes ir skaitlis, kuru, izmantojot iepriekš apspriestos paņēmienus, nevar attēlot kā jebkura skaitļa n-to pakāpi. Bet šajā gadījumā ir jāzina dotās saknes nozīme, vismaz līdz noteiktai zīmei. Šajā gadījumā, lai iegūtu sakni, varat izmantot algoritmu, kas ļauj secīgi iegūt pietiekamu skaitu vajadzīgā skaitļa ciparu vērtību.

Pirmais šī algoritma solis ir noskaidrot, kas ir saknes vērtības nozīmīgākais bits. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100, ... secīgi paaugstina līdz pakāpei n, līdz tiek iegūts brīdis, kad skaitlis pārsniedz radikālo skaitli. Tad skaitlis, kuru mēs paaugstinājām līdz pakāpei n iepriekšējā posmā, norādīs atbilstošo nozīmīgāko ciparu.

Piemēram, apsveriet šo algoritma darbību, iegūstot kvadrātsakni no pieci. Paņemiet skaitļus 0, 10, 100, ... un salieciet tos kvadrātā, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 5. Mums ir 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, kas nozīmē, ka nozīmīgākais cipars būs viens. Šī bita vērtība, kā arī zemākie, tiks atrasta saknes ekstrakcijas algoritma nākamajos soļos.

Visas turpmākās algoritma darbības ir vērstas uz saknes vērtības secīgu noskaidrošanu, atrodot nākamās vēlamās saknes vērtības bitu vērtības, sākot ar augstāko un pārejot uz zemākajām. Piemēram, saknes vērtība pirmajā solī izrādās 2, otrajā - 2,2, trešajā - 2,23 un tā tālāk 2,236067977…. Aprakstīsim, kā tiek atrastas ciparu vērtības.

Cipari tiek atrasti, meklējot to iespējamās vērtības 0, 1, 2, ..., 9. Šajā gadījumā paralēli tiek aprēķinātas atbilstošo skaitļu n-tās pakāpes, un tās tiek salīdzinātas ar radikālo skaitli. Ja kādā posmā pakāpes vērtība pārsniedz radikālo skaitli, tad tiek uzskatīts, ka ir atrasta iepriekšējai vērtībai atbilstošā cipara vērtība un tiek veikta pāreja uz nākamo saknes ekstrakcijas algoritma soli; ja tas nenotiek, tad šī cipara vērtība ir 9.

Izskaidrosim šos punktus, izmantojot to pašu piemēru, kā iegūt kvadrātsakni no pieci.

Vispirms atrodam vienību cipara vērtību. Mēs iesim cauri vērtībām 0, 1, 2, ..., 9, aprēķinot attiecīgi 0 2, 1 2, ..., 9 2, līdz iegūsim vērtību, kas ir lielāka par radikālo skaitli 5. Visus šos aprēķinus ir ērti parādīt tabulas veidā:

Tātad vienību cipara vērtība ir 2 (kopš 2 2<5 , а 2 3 >5). Pāriesim pie desmito vietu vērtības atrašanas. Šajā gadījumā skaitļus 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 salīdzināsim kvadrātā, salīdzinot iegūtās vērtības ar radikālo skaitli 5:

Kopš 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tad desmito vietu vērtība ir 2. Varat turpināt simtdaļas vērtības atrašanu:

Šādi tika atrasta nākamā pieci saknes vērtība, tā ir vienāda ar 2,23. Un tāpēc jūs varat turpināt atrast vērtības: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim saknes ekstrakciju ar simtdaļu precizitāti, izmantojot aplūkoto algoritmu.

Vispirms nosakām nozīmīgāko ciparu. Lai to izdarītu, mēs sagriežam kubā skaitļus 0, 10, 100 utt. līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 2 151 186. Mums ir 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , tātad nozīmīgākais cipars ir desmiti cipars.

Noteiksim tā vērtību.

Kopš 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, tad desmitnieku vērtība ir 1. Pāriesim pie vienībām.

Tādējādi viena cipara vērtība ir 2. Pārejam pie desmitdaļām.

Tā kā pat 12,9 3 ir mazāks par radikālo skaitli 2 151,186, tad desmito vietu vērtība ir 9. Atliek veikt pēdējo algoritma darbību, tas mums dos saknes vērtību ar nepieciešamo precizitāti.

Šajā posmā saknes vērtība tiek atrasta ar precizitāti līdz simtdaļām: .

Noslēdzot šo rakstu, es vēlos teikt, ka ir daudz citu veidu, kā iegūt saknes. Bet lielākajai daļai uzdevumu pietiek ar tiem, kurus mēs pētījām iepriekš.

Bibliogrāfija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8. klasei. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehnikumos).

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedriski svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

1. fakts.
\(\bullet\) Ņemsim kādu nenegatīvu skaitli \(a\) (tas ir, \(a\geqslant 0\) ). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no skaitļa \(a\) sauc tādu nenegatīvu skaitli \(b\) , kad kvadrātā mēs iegūstam skaitli \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kā )\quad a=b^2\] No definīcijas izriet, ka \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie ierobežojumi ir svarīgs kvadrātsaknes pastāvēšanas nosacījums, un tos vajadzētu atcerēties!
Atcerieties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā dod nenegatīvu rezultātu. Tas ir, \(100^2=10000\geqslant 0\) un \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ar ko \(\sqrt(25)\) ir vienāds? Mēs zinām, ka \(5^2=25\) un \((-5)^2=25\) . Tā kā pēc definīcijas ir jāatrod nenegatīvs skaitlis, tad \(-5\) nav piemērots, tāpēc \(\sqrt(25)=5\) (jo \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) vērtības atrašanu sauc par skaitļa \(a\) kvadrātsakni, bet skaitli \(a\) sauc par radikālu izteiksmi.
\(\bullet\) Pamatojoties uz definīciju, izteiksme \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) utt. nav jēgas.

2. fakts.
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi apgūt naturālo skaitļu kvadrātu tabulu no \(1\) līdz \(20\) : \[\begin(masīvs)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masīvs)\]

3. fakts.
Kādas darbības var veikt ar kvadrātsaknēm?
\(\lode\) Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV VIENĀDA ar summas vai starpības kvadrātsakni, tas ir \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Tādējādi, ja nepieciešams aprēķināt, piemēram, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tad sākotnēji jāatrod vērtības \(\sqrt(25)\) un \(\ sqrt(49)\) un pēc tam salieciet tos. Tāpēc \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ja vērtības \(\sqrt a\) vai \(\sqrt b\) nevar atrast, pievienojot \(\sqrt a+\sqrt b\), tad šāda izteiksme netiek tālāk pārveidota un paliek tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mēs varam atrast \(\sqrt(49)\) ir \(7\) , bet \(\sqrt 2\) nevar pārveidot jebkurā gadījumā, tāpēc \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Diemžēl šo izteicienu nevar vēl vairāk vienkāršot\(\bullet\) Kvadrātsakņu reizinājums/dalījums ir vienāds ar reizinājuma/dalījuma kvadrātsakni, tas ir \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (ar nosacījumu, ka abām vienlīdzības pusēm ir jēga)
Piemērs: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Izmantojot šīs īpašības, ir ērti atrast lielu skaitļu kvadrātsaknes, tos faktorējot.
Apskatīsim piemēru. Atradīsim \(\sqrt(44100)\) . Kopš \(44100:100=441\) , tad \(44100=100\cdot 441\) . Saskaņā ar dalāmības kritēriju skaitlis \(441\) dalās ar \(9\) (jo tā ciparu summa ir 9 un dalās ar 9), tāpēc \(441:9=49\), tas ir, \(441=9\ cdot 49\) .
Tā mēs saņēmām: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Apskatīsim citu piemēru: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes \(5\sqrt2\) piemēru (izteiksmes \(5\cdot \sqrt2\) īss apzīmējums). Kopš \(5=\sqrt(25)\) , tad \ Ņemiet vērā arī to, ka, piemēram,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kāpēc ir tā, ka? Paskaidrosim, izmantojot 1. piemēru). Kā jūs jau saprotat, mēs nevaram kaut kā pārveidot skaitli \(\sqrt2\). Iedomāsimies, ka \(\sqrt2\) ir kāds skaitlis \(a\) . Attiecīgi izteiksme \(\sqrt2+3\sqrt2\) nav nekas cits kā \(a+3a\) (viens cipars \(a\) plus vēl trīs tādi paši skaitļi \(a\)). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem \(a\) , tas ir, \(4\sqrt2\) .

4. fakts.
\(\bullet\) Viņi bieži saka "jūs nevarat izvilkt sakni", ja, atrodot skaitļa vērtību, nevarat atbrīvoties no saknes zīmes \(\sqrt () \ \) . Piemēram, varat izmantot skaitļa \(16\) sakni, jo \(16=4^2\) , tāpēc \(\sqrt(16)=4\) . Bet nav iespējams izvilkt skaitļa \(3\) sakni, tas ir, atrast \(\sqrt3\), jo nav skaitļa, kas kvadrātā dotu \(3\) .
Šādi skaitļi (vai izteiksmes ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) un tā tālāk. ir neracionāli.
Iracionāli ir arī skaitļi \(\pi\) (skaitlis "pi", aptuveni vienāds ar \(3.14\)), \(e\) (šo skaitli sauc par Eilera skaitli, tas ir aptuveni vienāds ar \(2.7) \)) utt.
\(\bullet\) Lūdzu, ņemiet vērā, ka jebkurš skaitlis būs racionāls vai neracionāls. Un kopā visi racionālie un visi iracionālie skaitļi veido kopu, ko sauc reālu skaitļu kopa.Šo kopu apzīmē ar burtu \(\mathbb(R)\) .
Tas nozīmē, ka visus skaitļus, kurus mēs šobrīd zinām, sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts.
\(\bullet\) Reālā skaitļa modulis \(a\) ir nenegatīvs skaitlis \(|a|\), kas vienāds ar attālumu no punkta \(a\) līdz \(0\) uz īsta līnija. Piemēram, \(|3|\) un \(|-3|\) ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem \(3\) un \(-3\) līdz \(0\) ir vienāds un vienāds ar \(3 \) .
\(\bullet\) Ja \(a\) ir nenegatīvs skaitlis, tad \(|a|=a\) .
Piemērs: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tad \(|a|=-a\) .
Piemērs: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “apēd” mīnusu, savukārt pozitīvos skaitļus, kā arī skaitli \(0\) modulis atstāj nemainīgus.
BETŠis noteikums attiecas tikai uz cipariem. Ja zem jūsu moduļa zīmes ir nezināms \(x\) (vai kāds cits nezināms), piemēram, \(|x|\) , par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, nulle vai negatīvs, tad atbrīvojieties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek nemainīga: \(|x|\) . \(\bullet\) Ir spēkā šādas formulas: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( nodrošināts ) a\geqslant 0\]Ļoti bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka \(\sqrt(a^2)\) un \((\sqrt a)^2\) ir viens un tas pats. Tas ir taisnība tikai tad, ja \(a\) ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja \(a\) ir negatīvs skaitlis, tas ir nepatiess. Pietiek apsvērt šo piemēru. \(a\) vietā pieņemsim skaitli \(-1\) . Tad \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet izteiksme \((\sqrt (-1))^2\) vispār nepastāv (galu galā, nav iespējams izmantot saknes zīmi likt negatīvus skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka \(\sqrt(a^2)\) nav vienāds ar \((\sqrt a)^2\) ! Piemērs: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jo \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kopš \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tad \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izteiksme \(2n\) apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, ņemot sakni no skaitļa, kas ir zināmā mērā, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (ņemiet vērā: ja modulis netiek piegādāts, izrādās, ka skaitļa sakne ir vienāda ar \(-25\) ) ); taču atceramies , ka pēc saknes definīcijas tas nevar notikt: izdalot sakni, vienmēr jāiegūst pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (jo jebkurš skaitlis līdz pāra pakāpei nav negatīvs)

6. fakts.
Kā salīdzināt divas kvadrātsaknes?
\(\bullet\) Kvadrātsaknēm ir taisnība: ja \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPiemērs:
1) salīdziniet \(\sqrt(50)\) un \(6\sqrt2\) . Pirmkārt, pārveidosim otro izteiksmi par \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tādējādi kopš \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Starp kādiem veseliem skaitļiem atrodas \(\sqrt(50)\)?
Kopš \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) un \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Salīdzināsim \(\sqrt 2-1\) un \(0,5\) . Pieņemsim, ka \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pievienot vienu abām pusēm))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((abas puses kvadrātā))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(līdzināts)\] Mēs redzam, ka esam ieguvuši nepareizu nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tās zīmi. Abu nevienādības pušu reizināšana/dalīšana ar pozitīvu skaitli arī neietekmē tās zīmi, bet reizināšana/dalīšana ar negatīvu skaitli apvērš nevienādības zīmi!
Vienādojuma/nevienādības abas malas var izlikt kvadrātā TIKAI TAD, JA abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra var kvadrātā abas puses, nevienādībā \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Jāatceras, ka \[\begin(līdzināts) &\sqrt 2\apmēram 1,4\\ &\sqrt 3\apmēram 1,7 \end(līdzināts)\]Šo skaitļu aptuvenās nozīmes pārzināšana palīdzēs skaitļu salīdzināšanā! \(\bullet\) Lai izvilktu sakni (ja to var izvilkt) no kāda liela skaitļa, kas nav kvadrātu tabulā, vispirms jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas atrodas, tad – starp kuriem “ desmiti”, un pēc tam nosakiet šī skaitļa pēdējo ciparu. Parādīsim, kā tas darbojas ar piemēru.
Ņemsim \(\sqrt(28224)\) . Mēs zinām, ka \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) utt. Ņemiet vērā, ka \(28224\) ir starp \(10\,000\) un \(40\,000\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) ir starp \(100\) un \(200\) .
Tagad noteiksim, starp kuriem “desmitiem” atrodas mūsu numurs (tas ir, piemēram, starp \(120\) un \(130\)). Arī no kvadrātu tabulas zinām, ka \(11^2=121\) , \(12^2=144\) utt., tad \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) ) . Tātad mēs redzam, ka \(28224\) ir starp \(160^2\) un \(170^2\) . Tāpēc skaitlis \(\sqrt(28224)\) ir starp \(160\) un \(170\) .
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādi viencipara skaitļi, kad tie tiek likti kvadrātā, beigās dod \(4\)? Tie ir \(2^2\) un \(8^2\) . Tāpēc \(\sqrt(28224)\) beigsies ar 2 vai 8. Pārbaudīsim to. Atradīsim \(162^2\) un \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Tāpēc \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Lai adekvāti atrisinātu vienoto valsts eksāmenu matemātikā, vispirms ir jāapgūst teorētiskais materiāls, kas iepazīstina ar daudzām teorēmām, formulām, algoritmiem utt. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka tas ir pavisam vienkārši. Taču atrast avotu, kurā matemātikas vienotā valsts eksāmena teorija tiek pasniegta viegli un saprotami jebkura līmeņa sagatavotības skolēniem, patiesībā ir diezgan grūts uzdevums. Skolas mācību grāmatas ne vienmēr var turēt pa rokai. Un matemātikas vienotā valsts eksāmena pamatformulu atrašana var būt sarežģīta pat internetā.

Kāpēc teoriju matemātikā ir tik svarīgi apgūt ne tikai vienotā valsts eksāmena kārtotājiem?

1. Jo tas paplašina redzesloku. Teorētiskā materiāla apgūšana matemātikā ir noderīga ikvienam, kurš vēlas saņemt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar zināšanām par apkārtējo pasauli. Dabā viss ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tas ir tieši tas, kas atspoguļojas zinātnē, caur kuru ir iespējams izprast pasauli.
2. Jo tas attīsta intelektu. Studējot uzziņas materiālus vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, kā arī risinot dažādas problēmas, cilvēks mācās domāt un loģiski spriest, formulēt domas prasmīgi un skaidri. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt un izdarīt secinājumus.

Aicinām personīgi izvērtēt visas priekšrocības, ko sniedz mūsu pieeja mācību materiālu sistematizēšanai un prezentācijai.

Diezgan bieži, risinot problēmas, mēs saskaramies ar lieliem skaitļiem, no kuriem mums ir jāizņem Kvadrātsakne. Daudzi studenti nolemj, ka tā ir kļūda, un sāk no jauna atrisināt visu piemēru. Nekādā gadījumā nevajadzētu to darīt! Tam ir divi iemesli:

1. Problēmās parādās liela skaita saknes. Īpaši tekstos;
2. Ir algoritms, pēc kura šīs saknes tiek aprēķinātas gandrīz mutiski.

Mēs šodien apsvērsim šo algoritmu. Varbūt dažas lietas jums šķitīs nesaprotamas. Bet, ja jūs pievērsīsiet uzmanību šai nodarbībai, jūs saņemsiet spēcīgu ieroci pret kvadrātsaknes.

Tātad, algoritms:

1. Ierobežojiet nepieciešamo sakni virs un zemāk līdz skaitļiem, kas ir 10 reizinātāji. Tādējādi mēs samazināsim meklēšanas diapazonu līdz 10 skaitļiem;
2. No šiem 10 skaitļiem atsijājiet tos, kas noteikti nevar būt saknes. Rezultātā paliks 1-2 cipari;
3. Kvadrātiņā šos 1-2 skaitļus. Tas, kura kvadrāts ir vienāds ar sākotnējo skaitli, būs sakne.

Pirms šī algoritma izmantošanas praksē, apskatīsim katru atsevišķu soli.

Sakņu ierobežojums

Pirmkārt, mums ir jānoskaidro, starp kuriem skaitļiem atrodas mūsu sakne. Ir ļoti vēlams, lai skaitļi būtu desmit reizes:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Mēs iegūstam skaitļu sēriju:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ko šie skaitļi mums stāsta? Tas ir vienkārši: mēs iegūstam robežas. Ņemiet, piemēram, skaitli 1296. Tas atrodas no 900 līdz 1600. Tāpēc tā sakne nevar būt mazāka par 30 un lielāka par 40:

[Paraksts attēlam]

Tas pats attiecas uz jebkuru citu skaitli, no kura var atrast kvadrātsakni. Piemēram, 3364:

[Paraksts attēlam]

Tādējādi nesaprotama skaitļa vietā mēs iegūstam ļoti konkrētu diapazonu, kurā atrodas sākotnējā sakne. Lai vēl vairāk sašaurinātu meklēšanas apgabalu, pārejiet uz otro darbību.

Acīmredzami nevajadzīgu skaitļu likvidēšana

Tātad, mums ir 10 skaitļi - saknes kandidāti. Mēs tos ieguvām ļoti ātri, bez sarežģītas domāšanas un reizināšanas kolonnā. Ir laiks virzīties tālāk.

Tici vai nē, bet tagad kandidātu skaitu samazināsim līdz diviem – atkal bez sarežģītiem aprēķiniem! Pietiek zināt īpašo noteikumu. Te tas ir:

Kvadrāta pēdējais cipars ir atkarīgs tikai no pēdējā cipara oriģinālais numurs.

Citiem vārdiem sakot, vienkārši paskatieties uz kvadrāta pēdējo ciparu, un mēs uzreiz sapratīsim, kur beidzas sākotnējais skaitlis.

Pēdējā vietā var būt tikai 10 cipari. Mēģināsim noskaidrot, par ko tie pārvēršas, ja tos saliek kvadrātā. Apskatiet tabulu:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Šī tabula ir vēl viens solis ceļā uz saknes aprēķināšanu. Kā redzat, skaitļi otrajā rindā izrādījās simetriski attiecībā pret pieciem. Piemēram:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kā redzat, abos gadījumos pēdējais cipars ir vienāds. Tas nozīmē, ka, piemēram, 3364 saknei jābeidzas ar 2 vai 8. No otras puses, mēs atceramies ierobežojumu no iepriekšējās rindkopas. Mēs iegūstam:

[Paraksts attēlam]

Sarkanie kvadrāti norāda, ka mēs vēl nezinām šo skaitli. Bet sakne atrodas diapazonā no 50 līdz 60, uz kura ir tikai divi skaitļi, kas beidzas ar 2 un 8:

[Paraksts attēlam]

Tas ir viss! No visām iespējamām saknēm mēs atstājām tikai divus variantus! Un tas ir visgrūtākajā gadījumā, jo pēdējais cipars var būt 5 vai 0. Un tad uz saknēm būs tikai viens kandidāts!

Galīgie aprēķini

Tātad mums ir palikuši 2 kandidātu numuri. Kā jūs zināt, kura no tām ir sakne? Atbilde ir acīmredzama: kvadrātā abus skaitļus. Tas, kas kvadrātā dod sākotnējo skaitli, būs sakne.

Piemēram, skaitlim 3364 mēs atradām divus kandidātu skaitļus: 52 un 58. Izlīdzināsim tos kvadrātā:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

Tas ir viss! Izrādījās, ka sakne ir 58! Tajā pašā laikā, lai vienkāršotu aprēķinus, es izmantoju formulas summas un starpības kvadrātiem. Pateicoties tam, man pat nebija jāreizina skaitļi kolonnā! Tas ir vēl viens aprēķinu optimizācijas līmenis, bet, protams, tas ir pilnīgi neobligāts :)

Sakņu aprēķināšanas piemēri

Teorija, protams, ir laba. Bet pārbaudīsim to praksē.

[Paraksts attēlam]

Vispirms noskaidrosim, starp kuriem skaitļiem atrodas skaitlis 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Tagad apskatīsim pēdējo numuru. Tas ir vienāds ar 6. Kad tas notiek? Tikai tad, ja sakne beidzas ar 4 vai 6. Mēs iegūstam divus skaitļus:

Atliek tikai kvadrātā katru skaitli un salīdzināt ar oriģinālu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Lieliski! Pirmais kvadrāts izrādījās vienāds ar sākotnējo skaitli. Tātad šī ir sakne.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Paraksts attēlam]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Apskatīsim pēdējo ciparu:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadrātveida:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Šeit ir atbilde: 37.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Paraksts attēlam]

Mēs ierobežojam skaitu:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Apskatīsim pēdējo ciparu:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadrātveida:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Saņēmām atbildi: 52. Otrais cipars vairs nebūs jāliek kvadrātā.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Paraksts attēlam]

Mēs ierobežojam skaitu:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Apskatīsim pēdējo ciparu:

4225 → 5;
65.

Kā redzat, pēc otrā soļa ir palikusi tikai viena iespēja: 65. Šī ir vēlamā sakne. Bet tomēr pieņemsim to kvadrātā un pārbaudīsim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viss ir pareizi. Mēs pierakstām atbildi.

Secinājums

Diemžēl nav labāk. Apskatīsim iemeslus. Ir divi no tiem:

• Jebkurā parastā matemātikas eksāmenā, vai tas būtu valsts eksāmens vai vienotais valsts eksāmens, kalkulatoru izmantošana ir aizliegta. Un, ja nodarbībās ienesat kalkulatoru, jūs varat viegli izmest no eksāmena.
• Neesiet kā stulbi amerikāņi. Kas nav kā saknes - tās nevar pievienot divus pirmskaitļus. Un, kad viņi redz frakcijas, viņi parasti kļūst histēriski.

Pirms kalkulatoriem skolēni un skolotāji ar roku aprēķināja kvadrātsaknes. Ir vairāki veidi, kā manuāli aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. Daži no tiem piedāvā tikai aptuvenu risinājumu, citi sniedz precīzu atbildi.

Soļi

Galvenā faktorizācija

Reaģējiet radikālo skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no radikālā skaitļa jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Faktori ir skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir ​​kvadrātskaitļi, jo √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātskaitļi. Vispirms mēģiniet saskaitīt radikālo skaitli kvadrātveida faktoros.

• Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (ar roku). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātveida koeficientos. 400 ir 100 reizinātājs, tas ir, dalās ar 25 - tas ir kvadrātveida skaitlis. Dalot 400 ar 25, iegūstat 16. Skaitlis 16 ir arī kvadrātskaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.
• To var uzrakstīt šādi: √400 = √(25 x 16).

1. Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, √(a x b) = √a x √b. Izmantojiet šo noteikumu, lai ņemtu kvadrātsakni no katra kvadrātveida faktora un reizinātu rezultātus, lai atrastu atbildi.

   • Mūsu piemērā ņemiet sakni no 25 un 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ja radikālais skaitlis neiedalās divos kvadrātfaktoros (un tas notiek vairumā gadījumu), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi vesela skaitļa veidā. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot radikālo skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un pieņemsit kopējā faktora sakni.

   • Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var iedalīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ja nepieciešams, novērtējiet saknes vērtību. Tagad jūs varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātskaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk radikālajam skaitlim (abās skaitļu līnijas pusēs). Jūs saņemsiet saknes vērtību kā decimāldaļu, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

   • Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Radikālais skaitlis ir 3. Kvadrātskaitļi, kas tam ir vistuvāk, būs skaitļi 1 (√1 = 1) un 4 (√4 = 2). Tādējādi √3 vērtība atrodas starp 1 un 2. Tā kā √3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aprēķins ir: √3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 = 11,9. Ja veicat matemātiku, izmantojot kalkulatoru, jūs iegūsit 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.
     • Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet √35. Radikālais skaitlis ir 35. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi būs skaitļi 25 (√25 = 5) un 36 (√36 = 6). Tādējādi √35 vērtība atrodas starp 5 un 6. Tā kā √35 vērtība ir daudz tuvāk 6 nekā 5 (jo 35 ir tikai par 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka √35 ir nedaudz mazāka par 6 Pārbaude kalkulatorā sniedz atbildi 5,92 – mums bija taisnība.

4. Vēl viens veids ir faktorēt radikālo skaitli primārajos faktoros. Pirmfaktori ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši par sevi. Uzrakstiet galvenos faktorus virknē un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.

   • Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Radikālo skaitli veidojam pirmajos faktoros: 45 = 9 x 5 un 9 = 3 x 3. Tādējādi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 var izņemt kā saknes zīmi: √45 = 3√5. Tagad mēs varam novērtēt √5.
   • Apskatīsim citu piemēru: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Jūs saņēmāt trīs reizinātājus ar 2; paņemiet pāris no tiem un pārvietojiet tos tālāk par saknes zīmi.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Tagad varat novērtēt √2 un √11 un atrast aptuvenu atbildi.

   Kvadrātsaknes manuāla aprēķināšana

   Izmantojot garo dalījumu

   1. Šī metode ietver procesu, kas līdzīgs garajai dalīšanai, un sniedz precīzu atbildi. Vispirms novelciet vertikālu līniju, kas sadala lapu divās daļās, un pēc tam pa labi un nedaudz zem lapas augšējās malas novelciet horizontālu līniju līdz vertikālajai līnijai. Tagad sadaliet radikālo skaitli skaitļu pāros, sākot ar daļskaitli pēc komata. Tātad numurs 79520789182.47897 tiek rakstīts kā "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Piemēram, aprēķināsim kvadrātsakni no skaitļa 780.14. Novelciet divas līnijas (kā parādīts attēlā) un augšējā kreisajā pusē ierakstiet norādīto skaitli formā “7 80, 14”. Tas ir normāli, ka pirmais cipars no kreisās puses ir nepāra cipars. Jūs ierakstīsit atbildi (šā skaitļa sakni) augšējā labajā stūrī.

   2. Pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses atrodiet lielāko veselo skaitli n, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar attiecīgo skaitļu pāri (vai vienu skaitli). Citiem vārdiem sakot, atrodiet kvadrātskaitli, kas ir vistuvāk pirmajam skaitļu pārim (vai vienam skaitlim) no kreisās puses, bet mazāks par to, un paņemiet šī kvadrātskaitļa kvadrātsakni; jūs saņemsiet numuru n. Augšējā labajā stūrī ierakstiet n, bet apakšējā labajā stūrī ierakstiet n kvadrātu.

      • Mūsu gadījumā pirmais cipars pa kreisi būs 7. Nākamais — 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Atņemiet tikko atrastā skaitļa n kvadrātu no pirmā skaitļu pāra (vai viena skaitļa) kreisajā pusē. Aprēķina rezultātu ierakstiet zem apakšdaļas (skaitļa n kvadrāts).

      • Mūsu piemērā no 7 atņemiet 4 un iegūstiet 3.

   4. Noņemiet otro skaitļu pāri un pierakstiet to blakus vērtībai, kas iegūta iepriekšējā darbībā. Pēc tam dubultojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā otrais skaitļu pāris ir "80". Ierakstiet "80" aiz 3. Pēc tam, dubultojot skaitli augšējā labajā pusē, iegūstiet 4. Apakšējā labajā stūrī ierakstiet "4_×_=".

   5. Labajā pusē aizpildiet tukšās vietas.

      • Mūsu gadījumā, ja domuzīmju vietā liekam skaitli 8, tad 48 x 8 = 384, kas ir vairāk nekā 380. Tāpēc 8 ir pārāk liels skaitlis, bet derēs 7. Svītru vietā ierakstiet 7 un iegūstiet: 47 x 7 = 329. Augšējā labajā stūrī ierakstiet 7 – tas ir otrais cipars vēlamajā kvadrātsaknē no skaitļa 780.14.

   6. Atņemiet iegūto skaitli no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē. Ierakstiet iepriekšējās darbības rezultātu zem pašreizējā skaitļa kreisajā pusē, atrodiet atšķirību un ierakstiet to zem apakšdaļas.

      • Mūsu piemērā no 380 atņemiet 329, kas ir vienāds ar 51.

   7. Atkārtojiet 4. darbību. Ja pārsūtāmais skaitļu pāris ir sākotnējā skaitļa daļdaļa, tad ievietojiet atdalītāju (komatu) starp veselo skaitļu un daļējām daļām vajadzīgajā kvadrātsaknē augšējā labajā stūrī. Kreisajā pusē nolaidiet nākamo skaitļu pāri. Divkāršojiet skaitli augšējā labajā stūrī un ierakstiet rezultātu apakšējā labajā stūrī, pievienojot "_×_=".

      • Mūsu piemērā nākamais skaitļu pāris, kas jānoņem, būs skaitļa 780.14 daļēja daļa, tāpēc ievietojiet veselā skaitļa un daļdaļas atdalītāju vēlamajā kvadrātsaknē augšējā labajā stūrī. Noņemiet 14 un ierakstiet to apakšējā kreisajā stūrī. Divkāršs skaitlis augšējā labajā stūrī (27) ir 54, tāpēc apakšējā labajā stūrī ierakstiet "54_×_=".

   8. Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Labajā pusē esošo domuzīmju vietā atrodiet lielāko skaitli (domuzīmju vietā ir jāaizstāj viens un tas pats skaitlis), lai reizināšanas rezultāts būtu mazāks vai vienāds ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē.

      • Mūsu piemērā 549 x 9 = 4941, kas ir mazāks par pašreizējo skaitli kreisajā pusē (5114). Augšējā labajā pusē ierakstiet 9 un atņemiet reizināšanas rezultātu no pašreizējā skaitļa kreisajā pusē: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ja kvadrātsaknei jāatrod vairāk zīmju aiz komata, ierakstiet pāris nulles pa kreisi no pašreizējā skaitļa un atkārtojiet 4., 5. un 6. darbību. Atkārtojiet darbības, līdz iegūstat atbildes precizitāti (citu skaitu aiz komata). nepieciešams.

   Procesa izpratne

   Lai apgūtu šo metodi, iedomājieties skaitli, kura kvadrātsakne jums jāatrod kā kvadrāta S laukumu. Šajā gadījumā jūs meklēsit šāda kvadrāta malas L garumu. Mēs aprēķinām L vērtību tā, lai L² = S.

   Katram atbildes ciparam piešķiriet burtu. Apzīmēsim ar A pirmo ciparu L vērtībā (vēlamā kvadrātsakne). B būs otrais cipars, C trešais un tā tālāk.

   Norādiet burtu katram pirmo ciparu pārim. Apzīmēsim ar S a pirmo ciparu pāri S vērtībā, ar S b otro ciparu pāri utt.

   Izprotiet saistību starp šo metodi un garo dalījumu. Tāpat kā dalīšanā, kur mūs interesē tikai nākamais cipars no skaitļa, kuru katru reizi dalām, aprēķinot kvadrātsakni, mēs secīgi apstrādājam ciparu pāri (lai kvadrātsaknes vērtībā iegūtu nākamo ciparu ).

   1. Apsveriet skaitļa S pirmo ciparu pāri Sa (mūsu piemērā Sa = 7) un atrodiet tā kvadrātsakni.Šajā gadījumā vēlamās kvadrātsaknes vērtības pirmais cipars A būs cipars, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar S a (tas ir, mēs meklējam tādu A, lai nevienādība A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Pieņemsim, ka mums ir jāsadala 88962 ar 7; šeit pirmais solis būs līdzīgs: mēs ņemam vērā dalāmā skaitļa 88962 pirmo ciparu (8) un izvēlamies lielāko skaitli, kas, reizinot ar 7, iegūst vērtību, kas ir mazāka vai vienāda ar 8. Tas ir, mēs meklējam skaitlis d, kuram ir patiesa nevienādība: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Garīgi iedomājieties kvadrātu, kura laukums jums ir jāaprēķina. Jūs meklējat L, tas ir, kvadrāta malas garumu, kura laukums ir vienāds ar S. A, B, C ir skaitļi L. To var rakstīt dažādi: 10A + B = L (par divciparu skaitlis) vai 100A + 10B + C = L (trīsciparu skaitlim) un tā tālāk.

      • Ļaujiet (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A+B ir skaitlis, kurā cipars B apzīmē vienības un cipars A apzīmē desmitus. Piemēram, ja A=1 un B=2, tad 10A+B ir vienāds ar skaitli 12. (10A+B)² ir visa laukuma platība, 100A²- lielā iekšējā laukuma platība, B²- mazā iekšējā kvadrāta laukums, 10A × B- katra no diviem taisnstūriem laukums. Saskaitot aprakstīto figūru laukumus, jūs atradīsiet sākotnējā kvadrāta laukumu.