Време е за разглобяване методи за извличане на корени. Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е вярно за всяко неотрицателно число b.

По-долу ще разгледаме на свой ред основните методи за извличане на корени.

Нека започнем с най-простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица на квадратите, таблица на кубовете и т.н.

Ако таблиците от квадрати, кубчета и др. не е под ръка, логично е да се използва методът за извличане на корена, който включва разлагане на коренното число на прости фактори.

Отделно, струва си да се спрем на това, което е възможно за корени с нечетни експоненти.

И накрая, помислете за метод, който ви позволява да намерите последователно цифрите на стойността на корена.

Да започваме.

Използване на таблица с квадрати, таблица с кубове и др.

В най-простите случаи таблиците с квадрати, кубове и т.н. позволяват извличане на корени. Какви са тези таблици?

Таблицата с квадрати на цели числа от 0 до 99 включително (показана по-долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, като изберете определен ред и определена колона, ви позволява да направите число от 0 до 99. Например, нека изберем ред от 8 десетици и колона от 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка негова клетка се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрат на съответното число от 0 до 99 . В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетици и колона 3 от единица има клетка с числото 6889, което е квадрат на числото 83.

Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени на числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. във втората зона. съответните числа.

Таблици на квадрати, кубове, четвърти степени и др. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубични корени, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното приложение при извличане на корени.

Да кажем, че трябва да извлечем корена на n-та степен от числото a, докато числото a се съдържа в таблицата на n-та степен. Според тази таблица намираме числото b такова, че a=b n . Тогава , следователно числото b ще бъде желаният корен от n-та степен.

Като пример, нека покажем как се извлича кубичният корен от 19683 с помощта на кубичната таблица. Намираме числото 19 683 в таблицата на кубовете, от което намираме, че това число е куб на числото 27, следователно, .

Ясно е, че таблиците от n-та степен са много удобни при извличане на корени. Те обаче често не са под ръка, а съставянето им изисква известно време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи се налага да се прибегне до други методи за извличане на корените.

Разлагане на корена на прости множители

Доста удобен начин за извличане на корена от естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разлагането на коренното число на прости множители. Неговата същността е следната: след като е доста лесно да го представите като степен с желания индикатор, което ви позволява да получите стойността на корена. Нека обясним тази точка.

Нека коренът на n-та степен е извлечен от естествено число a и неговата стойност е равна на b. В този случай е вярно равенството a=b n. Числото b като всяко естествено число може да бъде представено като произведение на всички негови прости множители p 1 , p 2 , …, p m във формата p 1 p 2 … p m , а коренното число a в този случай е представено като (p 1 p 2 ... p m) n . Тъй като разлагането на числото на прости множители е уникално, разлагането на коренното число a на прости множители ще изглежда като (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , което прави възможно изчисляването на стойността на корена като .

Обърнете внимание, че ако факторизацията на коренното число a не може да бъде представена във формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , тогава коренът на n-та степен от такова число a не се извлича напълно.

Нека се справим с това, когато решаваме примери.

Пример.

Извадете корен квадратен от 144.

Решение.

Ако се обърнем към таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, ясно се вижда, че 144=12 2 , от което става ясно, че квадратният корен от 144 е 12 .

Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме как се извлича коренът чрез разлагане на корена номер 144 на прости множители. Нека да разгледаме това решение.

Да се ​​разложим 144 на прости множители:

Тоест 144=2 2 2 2 3 3 . Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. следователно .

Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира малко по-различно: .

Отговор:

За да консолидирате материала, разгледайте решенията на още два примера.

Пример.

Изчислете коренната стойност.

Решение.

Разлагането на прости множители на корена от числото 243 е 243=3 5 . По този начин, .

Отговор:

Пример.

Стойността на корена цяло число ли е?

Решение.

За да отговорим на този въпрос, нека разложим коренното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.

Имаме 285 768=2 3 3 6 7 2 . Полученото разлагане не е представено като куб на цяло число, тъй като степента на простия множител 7 не е кратна на три. Следователно кубичният корен от 285 768 не се взема напълно.

Отговор:

Не.

Извличане на корени от дробни числа

Време е да разберем как се извлича коренът от дробно число. Нека дробният корен се запише като p/q. Според свойството на корена на частното е вярно следното равенство. От това равенство следва правило за дробен корен: Коренът на дроб е равен на частното от деленето на корена на числителя на корена на знаменателя.

Нека да разгледаме пример за извличане на корен от дроб.

Пример.

Колко е корен квадратен от обикновената дроб 25/169.

Решение.

Според таблицата на квадратите откриваме, че квадратният корен от числителя на оригиналната дроб е 5, а квадратният корен от знаменателя е 13. Тогава . Това завършва извличането на корена от обикновената фракция 25/169.

Отговор:

Коренът на десетична дроб или смесено число се извлича след замяна на коренните числа с обикновени дроби.

Пример.

Вземете кубичния корен от десетичната запетая 474,552.

Решение.

Нека представим оригиналния десетичен като обикновена дроб: 474.552=474552/1000. Тогава . Остава да извлечем кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената фракция. защото 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , тогава И . Остава само да завършим изчисленията .

Отговор:

.

Извличане на корен от отрицателно число

Отделно, струва си да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. Когато изучавахме корени, казахме, че когато показателят на корена е нечетно число, тогава под знака на корена може да стои отрицателно число. Дадохме на тези обозначения следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2 n−1, имаме . Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да извлечете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.

Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете коренната стойност.

Решение.

Нека трансформираме оригиналния израз, така че под знака за корен да се появи положително число: . Сега заместваме смесеното число с обикновена дроб: . Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: . Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: .

Ето обобщение на решението: .

Отговор:

.

Побитово намиране на коренната стойност

В общия случай под корена има число, което, използвайки техниките, разгледани по-горе, не може да бъде представено като n-та степен на което и да е число. Но в същото време е необходимо да се знае стойността на даден корен, поне до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно да получавате достатъчен брой стойности на цифрите на желаното число.

Първата стъпка на този алгоритъм е да откриете кой е най-значимият бит от стойността на корена. За целта числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно на степен n, докато се получи число, надвишаващо числото на корена. Тогава числото, което повдигнахме на степен n в предишната стъпка, ще посочи съответния висок ред.

Например, разгледайте тази стъпка от алгоритъма, когато извличате корен квадратен от пет. Взимаме числата 0, 10, 100, ... и ги повдигаме на квадрат, докато получим число, по-голямо от 5 . Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , което означава, че най-значимата цифра ще бъде цифрата на единиците. Стойността на този бит, както и на по-ниските, ще бъдат намерени в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.

Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно прецизиране на стойността на корена поради факта, че се намират стойностите на следващите цифри на желаната стойност на корена, започвайки от най-високата и преминавайки към най-ниската . Например стойността на корена в първата стъпка е 2, във втората - 2,2, в третата - 2,23 и така нататък 2,236067977 ... . Нека опишем как се намират стойностите на битовете.

Намирането на битове се извършва чрез изброяване на техните възможни стойности 0, 1, 2, ..., 9 . В този случай n-тите степени на съответните числа се изчисляват паралелно и се сравняват с коренното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се извършва преход към следващата стъпка на алгоритъма за извличане на корен, ако това не се случи, тогава стойността на тази цифра е 9 .

Нека обясним всички тези точки, използвайки същия пример за извличане на корен квадратен от пет.

Първо намерете стойността на цифрата на единиците. Ще повторим стойностите 0, 1, 2, …, 9, изчислявайки съответно 0 2 , 1 2 , …, 9 2, докато получим стойност, по-голяма от радикалното число 5 . Всички тези изчисления са удобно представени под формата на таблица:

Така че стойността на цифрата на единиците е 2 (защото 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Нека да преминем към намиране на стойността на десетото място. В този случай ще повдигнем на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с корена номер 5:

От 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, тогава стойността на десетото място е 2. Можете да продължите към намиране на стойността на стотното място:

Следващата стойност на корен от пет се намира, тя е равна на 2,23. И така можете да продължите да намирате стойности по-нататък: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност до стотни, използвайки разглеждания алгоритъм.

Първо, дефинираме старшата цифра. За целта събираме на куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато получим число, по-голямо от 2151.186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, така че най-значимата цифра е цифрата на десетиците.

Нека да определим неговата стойност.

От 103<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186, тогава стойността на десетицата е 1. Да преминем към единици.

Така стойността на мястото на единиците е 2 . Да преминем към десет.

Тъй като дори 12,9 3 е по-малко от радикалното число 2 151,186, стойността на десетото място е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност.

На този етап стойността на корена се намира до стотни: .

В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които проучихме по-горе, са достатъчни.

Библиография.

• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Факт 1.
\(\bullet\) Вземете някакво неотрицателно число \(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), при повдигането му на квадрат получаваме числото \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От дефиницията следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условие за съществуването на квадратен корен и трябва да се запомнят!
Спомнете си, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Какво е \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността \(\sqrt a\) се нарича извличане на квадратен корен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича коренен израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, изразите \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите на естествените числа от \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]

Факт 3.
Какво може да се направи с квадратни корени?
\(\bullet\) Сборът или разликата от корени квадратни НЕ Е РАВЕН на корен квадратен от сбора или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите \(\sqrt(25)\) и \(\sqrt (49)\ ) и след това ги съберете. следователно \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се преобразува допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) - това е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да бъде преобразуван по какъвто и да е начин, Ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Освен това, този израз, за ​​съжаление, не може да бъде опростен по никакъв начин.\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете части на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намирате квадратни корени на големи числа, като ги разлагате на множители.
Помислете за пример. Намерете \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от неговите цифри е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\) , т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (съкратено от израза \(5\cdot \sqrt2\) ). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбрахте, не можем по някакъв начин да конвертираме числото \(\sqrt2\) . Представете си, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо друго освен \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\) ). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Често се казва „не може да извлече корена“, когато не е възможно да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на дадено число. Например, можете да изкорените числото \(16\), защото \(16=4^2\) , така че \(\sqrt(16)=4\) . Но да се извлече корен от числото \(3\) , тоест да се намери \(\sqrt3\) , е невъзможно, защото няма такова число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така нататък. са ирационални.
Също така ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3,14\) ), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, приблизително равно на \(2 ,7\) ) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални (реални) числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички числа, които познаваме в момента, се наричат ​​реални числа.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулът на реално число \(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) върху реалното линия. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателни числа модулът „изяжда“ минуса, а положителните числа, както и числото \(0\) , модулът оставя непроменени.
НОтова правило важи само за числа. Ако имате неизвестно \(x\) (или някакво друго неизвестно) под знака на модула, например \(|x|\), за което не знаем дали е положително, равно на нула или отрицателно, тогава да се отървем от модула не можем. В този случай този израз остава такъв: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също нещо. Това е вярно само когато \(a\) е положително число или нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, това не е вярно. Достатъчно е да разгледаме такъв пример. Нека вземем числото \(-1\) вместо \(a\). Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (защото е невъзможно под знака за корен да поставите отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест при извличане на корен от число, което е в някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (обърнете внимание, че ако модулът не е зададен, тогава се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25 \) ; но помним, което по дефиниция на корена това не може да бъде: когато извличаме корена, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) Вярно за квадратни корени: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между кои цели числа е \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравнете \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да предположим \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадрат и двете части))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше грешно и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножението/делението на двете части на неравенството с положително число също не влияе на знака му, но умножението/делението с отрицателно число обръща знака на неравенството!
И двете страни на уравнение/неравенство могат да бъдат повдигнати на квадрат САМО АКО и двете страни са неотрицателни. Например в неравенството от предишния пример можете да повдигнете на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Обърнете внимание на това \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако е извлечен) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ е, след това между кои „десетки“, и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи с пример.
Вземете \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ е нашето число (това е, например, между \(120\) и \(130\) ). От таблицата с квадрати също знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си припомним какви едноцифрени числа при повдигане на квадрат дават в края \ (4 \) ? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Намерете \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!

За да се реши адекватно изпитът по математика, на първо място е необходимо да се изучи теоретичният материал, който въвежда множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Но намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена лесно и разбираемо за ученици с всякакво ниво на обучение, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. А намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се учи теория по математика, не само за тези, които се явяват на изпит?

1. Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за изпита по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли правилно и ясно. Той развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

Доста често, когато решаваме задачи, се сблъскваме с големи числа, от които трябва да извлечем Корен квадратен. Много ученици решават, че това е грешка и започват да решават целия пример. В никакъв случай не трябва да се прави това! Има две причини за това:

1. Корените на големи числа се срещат в проблеми. Особено в текста;
2. Има алгоритъм, по който тези корени се разглеждат почти устно.

Днес ще разгледаме този алгоритъм. Може би някои неща ще ви се сторят неразбираеми. Но ако обърнете внимание на този урок, ще получите най-мощното оръжие срещу квадратни корени.

Така че алгоритъмът:

1. Ограничете желания корен отгоре и отдолу до кратни на 10. Така ще намалим обхвата на търсене до 10 числа;
2. От тези 10 числа отсейте тези, които определено не могат да бъдат корени. В резултат на това ще останат 1-2 номера;
3. На квадрат тези 1-2 числа. Този от тях, чийто квадрат е равен на първоначалното число, ще бъде коренът.

Преди прилагането на този алгоритъм да работи на практика, нека разгледаме всяка отделна стъпка.

Roots ограничение

Първо, трябва да разберем между кои числа се намира нашият корен. Много е желателно числата да са кратни на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получаваме поредица от числа:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Какво ни дават тези числа? Просто е: получаваме граници. Вземете например числото 1296. То се намира между 900 и 1600. Следователно неговият корен не може да бъде по-малък от 30 и по-голям от 40:

[Надпис на фигура]

Същото е с всяко друго число, от което можете да намерите корен квадратен. Например 3364:

[Надпис на фигура]

Така, вместо неразбираемо число, получаваме много специфичен диапазон, в който се намира оригиналният корен. За да стесните допълнително обхвата на търсенето, преминете към втората стъпка.

Премахване на очевидно излишни числа

И така, имаме 10 числа - кандидати за корен. Получихме ги много бързо, без сложно мислене и умножение в колона. Време е да продължиш напред.

Вярвате или не, сега ще намалим броя на кандидатстващите номера до две - и отново без никакви сложни изчисления! Достатъчно е да знаете специалното правило. Ето го:

Последната цифра на квадрата зависи само от последната цифра оригинален номер.

С други думи, достатъчно е да погледнем последната цифра на квадрата - и веднага ще разберем къде завършва оригиналното число.

Има само 10 цифри, които могат да бъдат на последно място. Нека се опитаме да разберем в какво се превръщат, когато са на квадрат. Разгледайте таблицата:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Тази таблица е още една стъпка към изчисляване на корена. Както можете да видите, числата във втория ред се оказаха симетрични по отношение на петицата. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Както можете да видите, последната цифра е една и съща и в двата случая. И това означава, че например коренът на 3364 задължително завършва на 2 или 8. От друга страна, помним ограничението от предишния параграф. Получаваме:

[Надпис на фигура]

Червените квадрати показват, че все още не знаем тази цифра. Но в края на краищата коренът се намира между 50 и 60, на който има само две числа, завършващи на 2 и 8:

[Надпис на фигура]

Това е всичко! От всички възможни корени оставихме само два варианта! И това е в най-трудния случай, защото последната цифра може да бъде 5 или 0. И тогава единственият кандидат за корените ще остане!

Окончателни изчисления

И така, остават ни 2 кандидатски номера. Как да разберете кой е коренът? Отговорът е очевиден: повдигнете на квадрат двете числа. Този, който е повдигнат на квадрат, ще даде оригиналното число и ще бъде коренът.

Например за числото 3364 намерихме две кандидат-числа: 52 и 58. Нека ги повдигнем на квадрат:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Това е всичко! Оказа се, че коренът е 58! В същото време, за да опростя изчисленията, използвах формулата на квадратите на сбора и разликата. Благодарение на това дори не е нужно да умножавате числата в колона! Това е друго ниво на оптимизация на изчисленията, но, разбира се, е напълно незадължително :)

Примери за изчисляване на корен

Теорията е добра, разбира се. Но нека го тестваме на практика.

[Надпис на фигура]

Първо, нека разберем между кои числа се намира числото 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега нека да разгледаме последното число. Равно е на 6. Кога става това? Само ако коренът завършва на 4 или 6. Получаваме две числа:

Остава да поставите на квадрат всяко число и да го сравните с оригинала:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Страхотен! Първият квадрат се оказа равен на първоначалното число. Така че това е коренът.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Нека да разгледаме последното число:

1369 → 9;
33; 37.

Нека го повдигнем на квадрат:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Ето отговора: 37.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Нека да разгледаме последното число:

2704 → 4;
52; 58.

Нека го повдигнем на квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Получихме отговора: 52. Второто число вече няма да е необходимо да се повдига на квадрат.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис на фигура]

Ограничаваме броя:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Нека да разгледаме последното число:

4225 → 5;
65.

Както можете да видите, след втората стъпка остава само една опция: 65. Това е желаният корен. Но нека все пак го повдигнем на квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Всичко е точно. Записваме отговора.

Заключение

Уви, не по-добре. Нека да разгледаме причините. Има две от тях:

• Забранено е използването на калкулатори на всеки нормален изпит по математика, било то GIA или Единния държавен изпит. А за носенето на калкулатор в класната стая лесно могат да бъдат изгонени от изпита.
• Не бъдете като глупавите американци. Които не са като корените - не могат да събират две прости числа. А при вида на дроби обикновено изпадат в истерия.

Преди появата на калкулаторите учениците и учителите изчисляваха квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на корен квадратен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

стъпки

Разлагане на прости множители

Разложете коренното число на множители, които са квадратни числа.В зависимост от номера на корена ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да бъде извлечен целият квадратен корен. Факторите са числа, които, когато се умножат, дават оригиналното число. Например множителите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратни множители са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите коренното число на квадратни множители.

• Например, изчислете корен квадратен от 400 (ръчно). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни множители. 400 е кратно на 100, т.е. дели се на 25 - това е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16. Числото 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да се разложи на квадратни множители от 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Това може да се запише по следния начин: √400 = √(25 x 16).

1. Коренът квадратен от произведението на някои членове е равен на произведението от корените квадратни на всеки член, тоест √(a x b) = √a x √b. Използвайте това правило и вземете квадратен корен от всеки квадратен фактор и умножете резултатите, за да намерите отговора.

   • В нашия пример вземете корен квадратен от 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 х 4 = 20

2. Ако радикалното число не се разделя на два квадратни фактора (а в повечето случаи е така), няма да можете да намерите точния отговор като цяло число. Но можете да опростите проблема, като разложите коренното число на квадратен множител и обикновен множител (число, от което не може да бъде взет целият квадратен корен). След това ще вземете корен квадратен от квадратния множител и ще вземете корен от обикновения множител.

   • Например, изчислете корен квадратен от числото 147. Числото 147 не може да се разложи на два квадратни множителя, но може да се разложи на следните множители: 49 и 3. Решете задачата, както следва:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ако е необходимо, оценете стойността на корена.Сега можете да оцените стойността на корена (намерете приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратни числа, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до коренното число. Ще получите стойността на корена като десетична дроб, която трябва да бъде умножена по числото зад знака за корен.

   • Да се ​​върнем към нашия пример. Коренът е 3. Най-близките квадратни числа до него са числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). По този начин стойността на √3 е между 1 и 2. Тъй като стойността на √3 вероятно е по-близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в знака на корена: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ако направите изчисленията на калкулатор, ще получите 12,13, което е доста близо до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Коренът е 35. Най-близките квадратни числа до него са числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). По този начин стойността на √35 е между 5 и 6. Тъй като стойността на √35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само с 1 по-малко от 36), можем да заявим, че √35 е малко по-малко от 6. Проверката с калкулатор ни дава отговор 5,92 – бяхме прави.

4. Друг начин е коренното число да се разложи на прости множители.Простите множители са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Напишете простите множители подред и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от знака на корена.

   • Например, изчислете квадратния корен от 45. Ние разлагаме корена на прости множители: 45 \u003d 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 може да бъде извадено от знака за корен: √45 = 3√5. Сега можем да оценим √5.
   • Помислете за друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Имате три множителя 2; вземете няколко от тях и ги извадете от знака на корена.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можем да оценим √2 и √11 и да намерим приблизителен отговор.

   Ръчно изчисляване на корен квадратен

   Използване на разделяне на колони

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото деление и дава точен отговор.Първо начертайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, и след това нарисувайте хоризонтална линия вдясно и малко под горния ръб на листа до вертикалната линия. Сега разделете коренното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. И така, числото 79520789182.47897 е написано като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим корен квадратен от числото 780,14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и напишете числото в горния ляв ъгъл като "7 80, 14". Нормално е първата цифра отляво да е несдвоена цифра. Отговорът (коренът на даденото число) ще бъде изписан горе вдясно.

   2. Дадена е първата двойка числа (или едно число) отляво, намерете най-голямото цяло число n, чийто квадрат е по-малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число). С други думи, намерете квадратното число, което е най-близо до, но по-малко от първата двойка числа (или едно число) отляво, и извадете квадратния корен от това квадратно число; ще получите числото n. Запишете намереното n горе вдясно и квадратчето n долу вдясно.

      • В нашия случай първото число отляво ще бъде числото 7. След това 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Извадете квадрата на числото n, което току-що намерихте, от първата двойка числа (или едно число) отляво.Запишете резултата от изчислението под субтрахенда (квадрата на числото n).

      • В нашия пример извадете 4 от 7, за да получите 3.

   4. Запишете втората двойка числа и я запишете до стойността, получена в предишната стъпка.След това удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавено „_×_=".

      • В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това удвояването на числото от горния десен ъгъл дава 4. Напишете "4_×_=" от долния десен ъгъл.

   5. Попълнете празните полета вдясно.

      • В нашия случай, ако поставим числото 8 вместо тирета, тогава 48 x 8 \u003d 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 е добре. Напишете 7 вместо тирета и получете: 47 x 7 \u003d 329. Напишете 7 от горния десен ъгъл - това е втората цифра в желания корен квадратен от числото 780,14.

   6. Извадете полученото число от текущото число вляво.Запишете резултата от предишната стъпка под текущото число вляво, намерете разликата и я запишете под изваденото.

      • В нашия пример извадете 329 от 380, което е равно на 51.

   7. Повторете стъпка 4.Ако разрушената двойка числа е дробната част на оригиналното число, тогава поставете разделителя (запетая) на целите и дробните части в желания квадратен корен от горния десен ъгъл. Отляво пренесете надолу следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавено „_×_=".

      • В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде разрушена, ще бъде дробната част на числото 780.14, така че поставете разделителя на целите и дробните части в необходимия квадратен корен от горния десен ъгъл. Разрушете 14 и запишете долу вляво. Удвоете горния десен ъгъл (27) е 54, така че напишете "54_×_=" долу вдясно.

   8. Повторете стъпки 5 и 6.Намерете най-голямото число на мястото на тирета отдясно (вместо тирета трябва да замените същото число), така че резултатът от умножението да е по-малък или равен на текущото число отляво.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по-малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете резултата от умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знаци за квадратния корен, напишете двойка нули до текущото число отляво и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпките, докато получите точността на отговора, от който се нуждаете (брой десетични знаци).

   Разбиране на процеса

   За да овладеете този метод, представете си числото, чийто корен квадратен трябва да намерите, като лицето на квадрата S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчислете стойността на L, за която L² = S.

   Въведете буква за всяка цифра в отговора си.Означете с A първата цифра в стойността на L (желания квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C третата и така нататък.

   Посочете буква за всяка двойка водещи цифри.Означаваме с S a първата двойка цифри в стойността S, с S b втората двойка цифри и т.н.

   Обяснете връзката на този метод с дългото деление.Както при операцията за деление, където всеки път се интересуваме само от една следваща цифра от делимото число, когато изчисляваме квадратния корен, ние работим с двойка цифри в последователност (за да получим следващата една цифра в стойността на квадратния корен) .

   1. Помислете за първата двойка цифри Sa на числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете неговия корен квадратен.В този случай първата цифра A от търсената стойност на квадратния корен ще бъде такава цифра, чийто квадрат е по-малък или равен на S a (т.е. търсим такова A, което удовлетворява неравенството A² ≤ съб< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да кажем, че трябва да разделим 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на делимото число 88962 (8) и избираме най-голямото число, което, умножено по 7, дава стойност, по-малка или равна на 8. Тоест, търсим число d, за което е вярно неравенството: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Мислено си представете квадрата, чиято площ трябва да изчислите.Търсите L, тоест дължината на страната на квадрат, чиято площ е S. A, B, C са числа в числото L. Можете да го напишете по различен начин: 10A + B \u003d L (за две -цифрено число) или 100A + 10B + C \u003d L (за трицифрено число) и т.н.

      • Позволявам (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Не забравяйте, че 10A+B е число, чието B означава единици, а A означава десетици. Например, ако A=1 и B=2, тогава 10A+B е равно на числото 12. (10A+B)²е площта на целия квадрат, 100A²е площта на големия вътрешен квадрат, B²е площта на малкия вътрешен квадрат, 10A×Bе площта на всеки от двата правоъгълника. Добавяйки площите на описаните фигури, ще намерите площта на оригиналния квадрат.